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Full text of "Cours d'astronomie de l'École polytechnique"

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. • • • 



15151J 




/^^/ 




36 
ï 




"^a« 



COURS 



D'ASTRONOMIE 




a 



PAIUS. IMIMUMKIUI:: DK GALTIIIKU-MLLAKS 

ylAI DES AIGISTINS, 31. 



COURS f 

D'astronomie" 

DE 

L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, 

l'AB 

H. FAYE, 






PHEMIERE PARTIE. 



HONOIIIE SPIlERiatlB. — DESCRIPTION DUS IMSTIIUIIBNTS. 
THBOME DES EUBEURS. 
GÉODÉSIE ET GÉOGRAPHIE HATIIÉU ATIQUE. 



PARIS, 

GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE 

DU BUBEAU DBS LONGITUDES, DE L'ÏCOLB POLÏTECnNIQCE 

SUCCESSEUR DE MALLET-BACUELIER, 

Quai de* AuguMini, 55, 

1881 

(Toiu dnlH rtiirrtt.) 



AVERTISSEMENT. 



Le Cours de l'École Polytechnique ne comprend qu'une tren- 
taine de séances, dans lesquelles il faut exposer l'Astronomie sphé- 
rique, la théorie des instruments, celle des erreurs, l'Astronomin 
solaire, la théorie des planètes et des comètes, celle de la Lune, et 
Tapplication de cette science si vaste à la Géodésie, à la Géographie 
et à la Navigation. Pour traiter convenablement ces parties essen- 
tielles, on a dû sacrifier l'Astronomie sidérale et l'Astronomie phy- 
sique, malgré le vif intérêt que ces branches dérivées de la science 
mère présentent aujourd'hui. L'enseignement supérieur, donné 
dans nos Facultés, se mouvant dans les mêmes limites, j'ai cru 
qu'un Livre ainsi restreint aux parties essentielles serait utile à 
tous les étudiants. Il contient d'ailleurs tout ce qu'il faut pour 
mettre le lecteur en état d'aborder des études plus approfondies 
et plus complètes. 

Mais j'ai dû penser aussi à ceux qui n'iront pas au delà de ces 
programmes. C'est pourquoi je me suis attaché à la filiation his- 
torique des idées et des découvertes. L'Astronomie est la plus 
vieille des sciences ; son passé remonte, par d'authentiques docu- 
ments encore utilisés aujourd'hui, à près de trois mille ans, et 
son histoire, depuis les premiers âges jusqu'aux temps modernes, 
offre une série de phases parallèles au développement séculaire 
de l'esprit humain. C'est pour elle que la Géométrie est née; 



VI AVERTISSEMENT. 

c'est pour ses exigences que l'Analyse moderne a élé créée avec ses 
puissantes ressources; elle offre les premiers bégayements de la 
Mécanique et aussi ses plus beaux développements; enfin c'est là 
qu'il faut chercher et apprendre la véritable méthode scientifique. 
Il m'a donc semblé que je ne devais pas suivre ici le mode d'expo- 
sition plus rapide qui convient aux sciences de pur raisonnement 
ou aux sciences d'observation nées d'hier. 

J'ai été conduit ainsi à allonger cet Ouvrage et finalement à lui 
donner deux Volumes, sans pour cela le faire sortir du cadre pri- 
milit. 

Ce premier Volume contient rAstrononiie sphériquc, c'rst-à- 
dire l'étude du mouvement diurne de la Terre, la description 
des instruments et des observatoires, la théorie des erreurs, dont 
les utiles méthodes ne sont pas assez connues chez nous, la 
Géodésie, science toute franraise que tous les peuples civilisés 
s'attachent aujourd'hui a développer, enfin la Géographie mathé- 
matique. Le second Volume traite de l'Astronomie solaire , des 
planètes, des comètes, de la Lune et des applications à la Navi- 
gation. 



SYMBOLES ET CONVENTIONS. 



Coordonnées horaires des astres : /H, o. 

A\, angle horaire compté de o* à SCo» ou de o*" à a}**, dans le sens du mouvcmcnl 
diurne du ciel (vers Touesl), à partir de la région supérieure et australe du m;'- 
ridien local. 

0, distance polaire, comptée de o" à 180% à partir du pôle nord, en tout climat. 

Coordonnées zénithales : A , z. 

\, azimut astronomique ou géodésiquc, compté, en tout climat, de o*> à 3Go" ii 

partir du point S. de Thorizon, dans le sens S.-O.-N.-K. 
Zf distance zénithale, comptée de o" à 180", à partir du zénilh. 
^,, distance zénithale apparente, affectée de la réfraction. 

Mesure du temps. 

H, heure sidérale du lieu, comptée de o** à 34*' ^ partir de l'instant du passage du 

point Y au méridien du lieu. 
yj point vernal, nœud ascendant de Técliptiquc sur Téqualcur. 
11^, heure sidérale à Paris, 
m, marche ou retard diurne de la pendule. 



Coordonnées géog raph iques. 

L, longitude du lieu, comptée de o" à 36o" ou de o** à a'i**, dans le sens direct 

(vers l'est), à partir du méridien de Paris. 
>.« colatitude du lieu, comptée en tout climat à partir du p^le nord, de o® à 180**. 



Coordonnées uranograph iq ues. 

iR, ascension droite d'un astre, comptée de o" à 36o® ou de o** à a^**, dans le sens 

direct (vers Test), à partir du méridien céleste du point y, 
B, distance angulaire d'une étoile au p61e nord, comptée, comme plus haut, de o* 

à iSo*. 



VIII SYMBOLES ET CONVENTIONS. 



Théorie des erreurs. 

n, nombre des obscrvatiuns. 

erreur moyenne d'une observation. 
T„ erreur probable. 

hj mesure du degré de précision d'une série d'observations. 
pf poids d'une observation. 



Coordonnées géodésùjues, 

/*, r%yon do la Terre supposée sphériffue. 

ny demi-grand axe de l'ellipsoïde terrestre. 

<% excentricité du méridien. 

\ky apialisscmcnt. 

•^, angle de la verticale d'un lieu avec le rayon de rellipsoïde terrestre p. 

Ny grande normale. 

n, rayon de courbure du méridien. 

\, B, Cj angles dièdres des triangles spliériques. 

n^ bf c, ciHés géodésiqucs. 

v, angle au centre correspondant à un de ces côlé>. 



Sy/nl/oles m ath ém a t iq nés . 

log, logarithme ordinaire. 

-(^ y logarithme nc|>érien. 

/i, mis après un logarithme, rappelle que le nombre correspondant doit être pri^ 

avec le signe 
c, base des logarithmes né|>éricns. 
3, angle auxiliaire. 
fV, svmbolc (]ui remplace d dans les expressions diir«'rreiiliellcS| lor>qu'on donne .1 

eelles-ci des valeurs très petites, mai» liiiic^. 



Donbles emplois, 

t\ excentricité dans les cercles divisés; excentricité de l'ellipse terrestre; bas<: de 

l(»garithnics né|>criens. 
p, réfraction astronomique ou géodé^iquc: rayim local de l'ellipsoVdc terrestre. 
m, marche diurne de la pendule; coefficient de la réfraction géodésique. 



COURS 



D'ASTRONOMIE 



INTRODUCTION. 



Distinction fondamentale entre le monde solaire et Tunivers. 

Les étoiles que nous voyons briller au ciel sont de vrais soleils 
comme le nôtre, c'est-à-dire des globes considérables, sièges d'une 
vive incandescence et animés de mouvements divers. Le Soleil n*a 
rien qui le différencie physiquement des étoiles innombrables dont 
l'espace indéfini est peuplé, mais, pour nous, il a cela de particulier 
que nous luiappartenons ; il est le centre d'un groupe de petits corps 
obscurs et froids parmi lesquels notre globe, la Terre, occupe son 
rang; ces globes reçoivent de lui la lumière et la chaleur; ils l'ac- 
compagnent dans son mouvement de translation. L'ensemble des 
étoiles ou des soleils est l'univers; le petit groupe dont nous venons 
de parler, avec l'étoile qui lui sert de centre, est le monde solaire. 

L'univers forme probablement un tout dont les limites nous 
échappent; s'il est régi par des lois dans son ensemble, ces lois 
sont inconnues; il n'y a guère d'espoir que l'esprit humain s'élève 
jamais jusqu'à elles. Le monde solaire, au contraire, est un tout 
limité, bien circonscrit; par sa simplicité, par une heureuse réu- 
nion de circonstances favorables, ses mouvements intérieurs sont 
accessibles à l'analyse : l'étude de ces mouvements est un simple 
problème de Mécanique et ce problème a été si complctemenl ré- 

I 



Système 
de la Terre 



Système 
de Mars. 



Système 
de Saturne 




SYSTÈME SOLAIRE. - OrUtai 




Système 
de Jupiter. 




Système 
d'Uranus. 




le. 



\ et des comàtes périodiques. 



4 INTRODUCTION. 

solu, que rÂstronomie est aujourd'hui en possession non seulement 
de se représenter fidèlement ses états antérieurs, mais encore de 
prédire avec une précision singulière son état futur à une date 
quelconque. L'Astronomie sidérale, qui traite des étoiles, de leur 
distribution dans l'espace, de leur groupement plus ou moins ar- 
bitraire en constellations, de leurs mouvements propres, de leur 
éclat et même de leur constitution chimique au moyen du spec- 
Iroscope, est une science rndimentaire dont nous n'aurons pas à 
nous occuper, tandis que l'Astronomie proprement dite, celle du 
monde solaire, est, nous le répétons, une science achevée, digne 
de servir de modèle aux autres sciences. C'est pourquoi son étude 
est utile, non seulement pour les applications qu'on en fait chaque 
jour aux besoins de la société, mais encore à un point de vue jUus 
général, en ce qu'elle donne la vraie mesure de ce que peut l'esprit 
humain quand il s'attaque à un problème, non pas indéfini comme 
l'univers, mais nettement circonscrit comme notre pelit monde. 

Cette distinction fondamentale date de trois siècles à peine. 
L'antiquité se faisait une tout autre idée des choses. C'est qu'elle 
avait à surmonter et qu'elle n'a pas su résoudre une difficulté iné- 
vitable, tenant à ce que l'observateur est incorporé pour ainsi dire 
au petit ensemble dont il fait partie. Placé près du Soleil et à une 
distance immense des autres étoiles, il lui a été longtemps impos- 
sible de saisir leur intime analogie. Les planètes qui circulent 
comme la Terre autour du Soleil et ne brillent que de sa lumière 
lui faisaient l'effet d'étoiles comme les autres. Enfin l'observateur 
terrestre participe à tous les mouvements de la Terre; mais, comme 
il n'a pas de sens particulier qui l'en avertisse, il les a niés tout 
d'abord avec la plus intime conviction et a débuté, en Astronomie, 
par attribuer ses propres mouvements aux astres qui l'entourent. 

En revanche, la circonstance principale qui a permis de pousser 
si loin l'étude du monde solaire, c'est son indépendance presque 
absolue vis-à-vis du reste de l'univers, notion toute moderne sur 
laquelle nous aurons occasion de revenir. Quand on n'a en vue que 
ses mouvements intérieurs, tout se passe en effet comme si les 
autres soleils, les autres mondes, les autres systèmes stellaires 
n'existaient pas. C'est ce que nous allons faire voir en transportant 
l'observateur hors du système solaire pour le lui faire embrasser 
d'un coup d'œil et lui donner en même temps une idée de l'énorme 



LE STSTÉME SOLAIRE VU DE DEHORS. 5 

distance qui le sépare des astres les plus voisins ; ensuite nous re- 
placerons l'observateur sur le globe terrestre et nous analyserons 
les impressions bien difTércntes que le même spectacle fera alors 
sur lui. 

Le système solaire vu de dehors. 



La fig> I représente cet ensemble vu de face à Téchellc de 
1^. Le Soleil est marqué au centre par un simple 



I 



60 000000 00000( 



point, car ses dimensions sont évanouissantes à cette échelle. Au- 
tour de lui circulent huit planètes principales, Mercure, Vénus, 
la Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune, et, entre Mars 
et Jupiter, deux cent quatorze petites planètes qui ont été décou- 
vertes successivement dans le cours de ce siècle. 

Toutes ces planètes circulent de droite à gauche dans des plans 
peu inclinés les uns sur les autres, en sorte que, si Ton regardait 
cet ensemble par la tranche, on verrait à un moment donné les pla- 

Fig. 2. 
s J V M S T M II N 



nètes distribuées à droite et à gauche du Soleil, presque en ligne 
droite [^fig* a). 

Ces orbites, sauf celles des petites planètes, sont séparées les 
unes des autres par des intervalles croissants. 

Nous avons dit que ce système présentait une disposition inté- 
rieure favorable à Tappiication de l'Analyse. Ces circonstances fa- 
vorables sont : 

i® La prédominance du corps central. Nous verrons en effet que 
la force qui règle ces mouvements est proportionnelle aux masses, 
et que celles des planètes sont le plus souvent négligeables. 

2° Les grandes distances qui séparent les orbites Tune de Tautre. 
Nous verrons, en effet, que cette force varie en raison inverse du 
carré des distances, en sorte que les actions mutuelles des planètes, 
déjà si faibles à cause de leurs masses insignifiantes, sont encore 
affaiblies par leurs grandes distances. 

3° Le sens de leurs mouvements, qui est le môme pour tous, la 
presque parfaite circularité de leurs orbites et leur faible inclinaison 
mutuelle sont des circonstances éminemment favorables. 

I. 



Ci INTRODUCTION. 

4° Enfin et surtout l'indépendance presque absolue par rapport 
an reste de Tunivers. Pour s'en faire une idée, il faudrait marquer 
sur le plan du système solaire {/ig* i) les étoiles les plus rappro- 
chées de nous. Imaginons que la feuille de papier sur laquelle a été 
tracé ce plan soit prolongée de 2400" en tous sens : ce sera seulement 
à Textrôme bord de cette énorme feuille qu'on commencera à mar- 
quer une vingtaine d'étoiles, les plus voisines de nous. Il est aisé 
d'<în apprécier l'action sur notre système. Elle est proportionnelle 
à leur masse et en raison inverse du carré de la distance. Or l'at- 
traction de notre Soleil sur la Terre, placée si près de lui, se réduit 
à lui imprimer en une seconde une accélération de o"*,oo6. Celte 
même force, agissant sur une des étoiles les plus voisines, placée 
un million de fois plus loin, lui imprimerait une vitesse égale à 

o'",oo(> 
io'« 

Réciproquement, cette étoile, en lui supposant une masse égale à 
roUe du Soleil, communiquerait une accélération de même grandeur 
il notre système. Maisun mouvementcommunàtouslesmembresdece 
système ne saurait altérer leurs mouvements relatifs, les seuls que* 
nous ayons intérêt à connaître. Ce n'est donc que parla difl'érencc 
des actions que l'étoile étrangère exerce sur ces différents mem- 
bres qu'elle pourrait en troubler le système. Cette différence d'ac- 
tion, cette force perturbatrice, est bien proportionnelle à la masse 
troublante, mais elle varie en raison inverse du cube delà distance. 
Il faudrait donc mettre au dénominateur de l'expression précé- 
dente le cube de i 000000, c'est-à-dire 10*". A la vérité, il s'agit 
d'un nombre énorme d'étoiles et non d'une étoile unique; mais 
ces étoiles sont à des distances très différentes; la plupart d'entre 
elles sont probablement dix et même cent fois plus éloignées que 
celle sur laquelle nous venons de raisonner. 

Concluons que, dans l'étude de notre monde, on est parfaite- 
ment en droit de faire abstraction de l'univers. Du reste la dislance 
qui sépare les étoiles entre elles est du même ordre, en général, que 
celle qui nous en sépare nous-mêmes, en sorte que les petits sys- 
tèmes qui pourraient exister au loin, autour d'elles, jouiraient de 
la même indépendance. 

Continuons rcxarocn des mouvements intérieurs de notre svs- 



LE STSTÂME SOLAIRK VU DE DEHORS. 



lème. Toutes les grandes planètes, sauf Vénus et Mercure, sont 
accompagnées de satellites circulant autour d'elles et retenues par 
l'attraction de la planète centrale. Ce sont de vraies miniatures du 
système formé parles planètes autour du Soleil. Pour donner une 
idée des grandeurs relatives de ces mondes partiels, on a repré- 
senté dans \dijig» 3 le disque entier du Soleil, et à Tintérieur, à la 

Fig. 3. 



Petites 



»• •»• 



Nepliuie 
Uraiius 

Q ' 

Saturne 




Jupiter 




• ••,•••■ 



Mars 

9 

la Terre 
o 

Vénus 

o 

Mercure 



\ 



\ 



\ 



Planètes 



Lune 



/ 



/ 



même échelle, on a figuré les planètes et leurs satellites, ainsi que 
Tessaim des petites planètes (au nombre de deux cent quatorze ac- 
tuellement) qui circulent entre les orbites de Mars et de Jupiter. 
Ces satellites, tout en circulant au tour de leurs planètes respectives, 
les accompagnent dans leur mouvement de révolution autour du 
Soleil. Cette figure montre combien ces petits systèmes secondaires 
sont insignifiants vis-à-vis du monde solaire dont ils font partie. 

Le Soleil tourne autour d'un certain axe perpendiculaire, à quel- 
ques degrés près, au plan général du système solaire. Le sens de 



8 INTRODCCTIOX. 

cette rotation est le même que celui de la circulalîon de toutes ces 
'planètes, c'est-à-dire direct. 

', Les planètes tournent aussi sur elles-mêmes, et leurs satellites 
circulent autour déciles dans le même sens. Mais ici il faut remar- 
quer une singulière anomalie. Le système solaire se divise en deux 
régions: dans l'une, l'intérieure, qui va jusqu'à l'orbite de Saturne, 
les rotations de toutes les planètes et les circulations de leurs satel- 
lites sont directes; dans l'autre, l'extérieure, qui comprend les or- 
bites d'Uranus et de Neptune, toutes les circulations de satellites 
sont rétrogrades. 

Les rotations sont d'une grande lenteur; il n'en est pas de même 
des vitesses linéaires de circulation. La Terre, par exemple, se meut 
à raison de 7, 4 lieues par seconde. On comprend d'abord diflicile- 
ment qu'avec une pareille vitesse la faible attraction centrale du 
Soleil la maintienne dans son orbite à peu près circulaire; mais, si 
l'on considère que le rayon de ce cercle est de 37 000 000 de lieues, 
on trouvera que la force centrifuge provenant de cette circulation, 

V« . , 51 

c'est-à-dire tt» se réduit à - — — exprimée en lieues ou à 

U 37 000 000 ' 

o^yOoG environ, et qu'elle est parfaitement équilibrée par l'attrac- 
tion du Soleil. 

Ainsi le système solaire est un ensemble de corps obéissant à 
leurs attractions mutuelles, parmi lesquelles celle du Soleil est de 
beaucoup la force prépondérante. Tous ces corps circulent autour 
de leur commun centre de gravité, placé très près du Soleil ; en 
outre, ce centre de gravité se meut lui-même en vertu d'actions ex- 
térieures inconnues. Sa direction et surtout sa vitesse sont mal 
déterminées; on sait seulement qu'il marche, avec son cortège de 
planètes, vers la région de l'espace où se trouve un groupe d'é- 
toiles formant la constellation d'Hercule. 

Le système solaire vu de la Terre. 

Replaçons maintenant l'obserNateur sur son globe. 11 ne le verra 
plus, comme tout à l'heure, sous la forme d'une boule dont son 
regard embrassait une moitié entière; son contour apparent sera 
déterminé par le cercle de contact d'un cône circonscrit à ce 
globe et ayant son sommet à l'œil du spectateur ; mais ce cône se 



LB SrSTBMB 80LAIRB VU DE LA TERRE. 







réduit presque à un plan, et lapartlc visible à un élément circulaire 
de la surface. Soient [^fig- 4) Aa = A la hauteur de l'œil, BAB'une 
section centrale de la Terre, aB, aB' deux tangentes issues du 

Fig. \. 



/ 




r 

\ 
\ 



.- V 



— ►! 



^^'^>; 



"^^ 



point a\ BaC sera Tangle du cône complément de Tangle au 
centre f, et l'on aura, en désignant par r le rayon CB ou CA, 



( r -h A ) ces r = r 



d'où 



^'"^'-v/S' 



expression qui se réduit à 







en remplaçant le sinus par l'arc et en négligeant h vis-à-vis de r au 
dénominateur. Par suite 

arc AB i= rç' = sji lir . 

Pour tenir compte de la réfraction atmosphérique qui courbe 
légèrement le rayon visuel AB, il suffit, comme on le verra par 
l'étude de la réfraction géodésique, d'introduire sous le radical le 
facteur f, et, comme r = 6366^™, on aura finalement, h étant 



lO INTRODUCTION. 

donné en mètres, 

arc A B 1= 38oo"* sfh. 

Ainsi, Tœil étant à i",75 au-dessus de la surface de la Terre, ce qui 
est la taille moyenne d'un homme, le rayon sphérique du cercle de 
contact qui comprend dans son intérieur la partie visible de cette 
surface se réduit à i { lieue (*). Ce cercle de contact prend le nom 
iV horizon. On voit que son plan se confond presque avec le plan 
tangent en A, ou même avec le plan horizontal passant parTœil de 
l'observateur. 

Une autre conséquence, c'est que la moitié à peu près deTunivers 
sera masquée par Topacité du globe terrestre; Tobservatcur ne 
verra que les astres situés en dehors du cône circonscrit ou, si l'on 
veut, au-dessus de son horizon. Le plan de l'horizon et le prolon- 
gement Aa du rayon perpendiculaire à ce plan, c'est-à-dire la ver- 
ticale de l'observateur, jouent un grand rôle en Astronomie. Comme 
la Terre est à très peu près sphérique, la résultante des attractions 
que toutes ses parties exercent sur un point quelconque de sa sur- 
face passe sensiblement parle centre et se confond avec un rayon ; 
par conséquent, en chaque point, la direction de la pesanteur, si 
facile à obtenir par un (il à plomb, donne la verticale ou la direction 
du centre. La surface des eaux tranquilles devant être, pour l'équi- 
libre, normale à la direction de la pesanteur, cette surface dounr 
en chaque lieu le plan de l'horizon. 

Voûte céleste. 

Mais le globe terrestre est entouré d'une atmosphère gazeuse, 
transparente, à travers laquelle les rayons de lumière doivent passer 
pour arriver jusqu'à nous. L'interposition de cette atmosphère 
donne naissance à un remarquable effet de perspective aérienne. 
Les gaz ne sont pas d'une transparence absolue; ce défaut est 
encore singulièrement augmenté par les poussières de toutes sortes, 
solides ou aqueuses, que les couches les plus basses tiennent en 



(*) I^s accidents du sol et surtout les montagnes se voient de beaucoup plus 
loin; il n'est question ici que de la surface géométrique de la Terre, telle qu*on la 
perçoit en pleine mer. 



VOUTE CELESTE. 



Il 



suspension. Ces particules opaques réfléchissent en tous sens la 
lumière du Soleil et forment la lumière difi'use ; celle-ci pénètre par- 
tout, produisant un éclairement général sans lequel nous tombe- 
rions dans une obscurité absolue dés que nous ne recevons plus 
les rayons directs du Soleil. Il y a plus : ces particules opaques, bien 
que disséminées, forment par leur ensemble un véritable fond de 
tableau Bee'B' (^fig- 4)i sur lequel tous les objets, tels que E, E', .,. 
dont nos yeux ne peuvent apprécier la distance, vont se peindre en 
^, e\ ... comme s'ils y étaient attachés. Ce fond de tableau, pure- 
ment atmosphérique, a la forme d'une calotte sphérique aplatie, 
dont Taxe vertical aboutit à Toeil du spectateur en a, et dont la 
base semble coïncider avec le cercle de l'horizon dont le diamètre 
est BB'. Sa couleur est bleue comme celle de l'air vu par transmis- 
sion sur une grande épaisseur. Même la nuit, la faible clarté qui 
tombe des étoiles et la lumière qui vient par réflexion multiple drs 
portions encore éclairées de notre atmosphère suffisent pour 
maintenir cette apparence. C'est ce qu'on appelle le ciel. Chaque 
spectateur a son ciel et son horizon qui le suivent partout où il 
se transporte sur le globe. 

Fig. 5. 

I t: 










\ 



■■^^ 




^ 



On reproduit aisément ce phénomène par l'expérience suivante 
(yî^. 5). Dans une chambre faiblement éclairée par une lampe, 



Ja IXTRODUr.TION. 

pendant la nuit, regardez le ciel à travers une des vitres de la fe- 
nêtre. Le plafond se réfléchira sur cette vitre faisant ofBce de 
miroir et formera extérieurement une image symétrique du plafond, 
qui apparaîtra comme un voile sur lequel les étoiles se dessineront 
en perspective. Si Ton ménage convenablement réclairement inié- 
rieur, on croira les voir attachées à ce ciel plan, de même qu'elles 
nous paraissent fixées au ciel concave formé par Tatmosphère. 
Quant à cette forme du ciel, en voûte plus ou moins surbaissée 
suivant les circonstances atmosphériques, elle n'est pas facile à 
expliquer; j'ai entendu dire cependant à des aéronautes que le sol 
lui-même, ou la couche de nuages qui le cache à leur vue, semble 
se creuser de plus en plus à mesure qu'ils s'élèvent davantage. 
C'est comme un ciel inférieur qui tend à se former au-dessous de 
nous, concave comme le ciel supérieur. Il est possible que la forme 
de l'œil et de la rétine y soit pour quelque chose. 

C'est à la forme surbaissée de cette voûte qu'il faut attribuer un 
phénomène bien connu, mais bien mal expliqué, à savoir les di- 
mensions exagérées que prennent les astres, comme le Soleil ou la 
Lune et les constellations, quand on les voit près de l'horizon, 
tandis qu'au haut du ciel ils reprennent leur grandeur ordinaire. 
Ici la sensation de grandeur est complexe : elle dépend à la fois de 
l'angle sous lequel on voit le diamètre d'un objet et de la distance 
du tableau sur lequel il se peint pour nous. L'angle sous lequel on 
voit un astre ne change pas, mais le fond sur lequel il se projette 
est plus loin à l'horizon qu'au zénith. Ce n'est donc pas, comme on 
l'a dit, qu'en regardant un astre à l'horizon on voit en même temps 
des objets terrestres qui font mieux apprécier son éloignement: 
il suflGt, en effet, de masquer ces objets avec la main pour con- 
stater que l'illusion ne change pas. 

Cette apparence de voûte céleste, à laquelle il est impossible de 
se soustraire, a joué un grand rôle dans l'histoire de l'Astronomie. 
Les premiers hommes ont matérialisé dans leur imagination cette 
coupole bleue qui leur semblait comprendre tout l'univers. Tout 
comme les enfants, ils se sont imaginé qu'en marchant bien dans 
une même direction ils atteindraient le pied de cette voûte et ver- 
raient comment elle repose sur le sol. Les voyages, les migrations 
des peuples n'ont abouti qu'à leur donner une grande idée de son 
étendue. Pour eux, l'univers n'était rien de plus que le sol inébran- 



ILLUSION PROVENANT d'uN MOUVEMENT DE TRANSLATION. l3 

lable et plan sur lequel nous marchons, el le ciel posé par-dessus 
comme une vaste cloche. C'est à ces illusions que se rattache la 
fable d'Atlas et d'Hercule soutenant le ciel sur leurs épaules. Les 
astres étaient tous renfermés sous cette voûte; ils s'y mouvaient 
sous la direction de divinités spéciales. Le Soleil lui-même, après 
avoir disparu chaque soir au couchant, se hâtait de regagner lo 
levant pendant la nuit pour recommencer le lendemain sa course 
journalière. 

Ce fut une grande révolution dans le domaine des sciences nais- 
santes lorsqu'on se vit forcé de renoncer à cette conception naïve 
de l'univers, de reconnaître que la Terre est un globe isolé dans 
l'espace. Mais l'idée d'un ciel matériel résista : on en fît une vaste 
sphère solide tournant autour du globe terrestre et renfermant les 
astres dans sa concavité. Abordons maintenant la question des mou- 
vements. 

Le globe terrestre en a trois : un mouvement de translation rec- 
tiligne qui lui est commun avec le Soleil; sa rotation propre autour 
de l'axe de Téquateur ; enfm sa circulation annuelle autour du 
Soleil. L'observateur n'en sent aucun ; les objets terrestres qui 
l'entourent, le sol qui le porte, lui semblent jouir d'une immobilité 
parfaite. Il est dans la situation d'un voyageur en wagon, ou en 
bateau à vapeur, ou en ballon : il attribue ses mouvements en sens 
inverse à tous les objets extérieurs à la Terre. 



Illusion provenant d'un mouvement de translation rectiligne. 

Soient aad' ... {fig- 6) la trajectoire de l'observateur, b un point 
(ixeplus ou moins éloigné, ab la direction où ce point est vu à un 
momentdonné. La position de b sera définie par l'angle baa = 5 et la 
distance 6a = D. Si au boutd'uneseconderobservateurvientena', 
l'objet sera vu dans une autre direction a b\ au bout de deux se- 
condes dans la direction a!' b et ainsi de suite. Le changement de ces 
directions et, en certains cas, celui de la distance, seront les seules 
choses qui impressionneront le spectateur, car ses sens ne perçoi- 
vent pas le mouvementqui l'anime. Ayant au contraire le sentiment 
de son immobilité en un point quelconque |de l'espace, en a par 
exemple, et voyant le pointé changer de direction, il lui attribuera 



un mouvement. Si l'on mène par le point a des lignes égales et pa- 
rallèles aux droites bayba", ba", ....maisde sens opposé, l'impres- 
sion visuelle n'aura pas changé pourvu que le point b paraisse 
décrire bb'b"..., c'est-à-dire une droite égale et parallèle à la tra- 
jectoire de l'observateur, en sens opposé. Telle est en effet la tra- 




jectoire apparente du point observé b. Il est aisé d'en déduire la vi- 
tesse angulaire apparente de ce point, la senlc ebosc que la vue 
permette d'apprécier quand il s'agit des astres. En désignant aa' ou 
son égal bb' par v et par m l'angle bab', on aura 



Pour les astres, D est très grand par rapport à c et u est un petit 
angle ; on peut donc remplacer la tangente par l'arc et négliger les 
puissances de ■=: supérieures à la première dans le développement 



D 
Ici <jd est exprimé en parties du rayon; si Ton veut l'avoir en se- 
condes, il faut multiplier le second membre par la valeur du ravoii 
en secondes, c'est-ù-dirc par a(i(>a65'. Nous reviendrons un peu 
plus loin sur ce point là. 



ILLUSION PROVENANT d'UN MOUVEMENT DE ROTATION. l5 

Illusion provenant d'un mouvement de rotation. 

L'observateur placé sur la Terre participe à sa rotation; le spec- 
tacle des objets terrestres tourne avec lui et rien ne l'avertit de son 
mouvement tant qu'il ne dirige pas ses regards vers des points exté- 
rieurs au globe, extérieurs môme à notre atmosphère, car celle-ci 
tourne avec la Terre comme si elle faisait corps avec elle. En outre, 
comme il se trouve à quelque distance de l'axe de rotation, il aura un 
double mouvement : une circulation sur un petit cercle dont le 
rayon sera une perpendiculaire à l'axe, et une rotation autour d'une 
droite passant par l'œil et se transportant avec lui parallèlement à 
l'axe de la Terre. Nous ne considérerons d'abord que le second, 
le premier étant absolument négligeable quand il s'agit des étoiles, 
dont la distance est comme infinie par rapport aux dimensions de 
la Terre. 

Soient ijig. 7 ) 

O le centre optique de l'œil et en inémc temps la projection sur le 

plan de la figure de l'axe de rotation ; 
b un point extérieur au globe terrestre, situé dans le plan de la 

figure ; ' 
a l'image de ce point sur la rétine. 



5' 



I 
I 






y 






i 

I 



1 

; '■/■ 



/ 



• 



«'a 



L'œil venant à tourner par l'effet de la rotation terrestre, l'image 
de l'objet b viendra se peindre successivement en différents points 
rt, a', d! ^ ... de la rétine. 

Supposons que l'œil soit maintenu dans sa première position et 



iH 



I^TftO»irGTIO?l. 



cpie l'objet h âoit animé d*oiie vitesse angnlalre aatoar da centre O 
égale et de sens contraire à la rotation ; il est clair qae son image 
•«e fera .^accessivement aax mêmes points a ^ a\ a!'^ . . . ^en sorte qne 
les impressions perçues par Tobservatenr seront identiquement les 
méme^i dans les den!( cas. Mais l^obsenrateor n*a aocnn sens qui 
Ta^ertisse de âon monvement^ tandis que le sens de la vne loi montre 
le point // dans des directions différentes. II attribuera donc sa 
propre rotation à ce point, et, comme il en est de même pour tous 
les astres, ceux-ci lui âerobleront tourner autour de lui, en sens in- 
verse de sa propre rotation, d'un mouyement angulaire commun, 
totalement indépendant de leur distance. 

S'il s'agit de points situés d'une manière quelconque dans Tes- 
pQce et non de points situés dans un plan passant par O perpendi- 
cnlairement à Taxe, cVst-à-dire dans Téquateur de la rotation, Tob- 
^rvateur rapportera involontairement ces points à une sphère 
idéale, a^ant son centre à Fœii en O. 11 est clair que tons ces points 
paraîtront ^e mouvoir comme si la sphère sur laquelle ils se projet- 
tent tournait autour de Taxe de la rotation réelle avec la même vi- 
tesse, mais en sens renversé. 

Soient (Jig- 8) 

PP' Taxe de la rotation ; 

a la perspective sphérique d'un point extérieur A ; 

Pae un arc de méridien; 

ee/\f, cercle de Téquateur. 

Fig. S. 




Cf) 



Si dans l'unité de temps la sphère paraît tourner de Tanglc 
= (?Pe' = ee\ le point a décrira dans le même temps Tare aa\ 



ILLUSIONS PROVENANT DU MOUVEMENT DE LA TERBE. I7 

dont l'extrémité se trouvera sur le méridien primitif transporté 

en Pe'. On aura donc, en désignant par 8 la distance Pa du point 

a au pôle, 

aa' =: ee' sin 8 =z CD sin 8. 

Au pôle, où 8 est nul, la vitesse sçra nulle aussi ; elle atteindra 
son maximum à Téquateur. 

A partir de l'époque où l'on s'est aperçu que le ciel ne reposait 
pas sur la Terre, on en a fait une vaste sphère concentrique à la 
Terre et renfermant l'univers. Cette illusion s'est d'ailleurs mer- 
veilleusement combinée avec celle que nous venons de décrire. 
Partant toujours de l'idée préconçue que le globe terrestre est 
immobile, on a transporté sa rotation journalière en sens in- 
verse à la sphère céleste, et, comme il serait absurde de supposer 
que des points très inégalement distants, comme le sont réelle- 
ment les étoiles, s'accordassent à tourner tout d'une pièce autour 
d'un même axe, on a cru que les étoiles étaient des points bril- 
lants fixés dans la concavité de cette sphère tournante. De là vient 
le nom ^étoiles fixeSj par opposition aux étoiles errantes ou 
planètes dont nous nous occuperons plus loin. 

Illusion provenant du mouvement de circulation de la Terre 

autour du Soleil. 

L'observateur parcourant le cercle aa!a" .,,^ un point quel- 
conque fixe b {fig* 9), indépendant du globe terrestre, sera vu 
successivement dans les directions 6a, 6a', 6a", .... L'observateur, 
n'ayant aucune conscience de son mouvement, croira voir le point 
6 se déplacer, et l'on obtiendra la trajectoire apparente de ce 
point en menant d'un centre quelconque où l'observateur se 
croira placé (*), par exemple du centre de la trajectoire réelle de 
la Terre, des droites SB, SB', SB'', . . . égales, parallèles, mais de 
directions opposées aux précédentes. Cette construction géomé- 
trique transporte évidemment au point 6, comme centre, la tra- 



(*) Nous prenons pour centre un point quelconque^ parce que la position de la 
Terre ou de l'observateur, dans l'espace absolu, n'est pas définie. Il suffit que dans 
nos constructions ou nos calculs les directions oà nous voyons les aslres soient 
conservées. 

1* 



l8 INTRODCCTIOX. 

jectoire réelle, mais renversée, de la Terre, en sorte que ce même 
objet b sera vu en B, B', B', . . . sur cette trajectoire, animé d^une 
vitesse constamment égale et contraire à celle du spectateur a. 
Néanmoins, Torbite apparente du point fixe sera décrite par B 
dans le même sens que Forbite réelle de a. Il v a là une sorte 
de contradiction avec la loi générale d*après laquelle le spectateur 
transporte aux objets extérieurs son propre mouvement en sens 

Fig. 9. 



\ 



I 







I i 

^ S 

\ 
\ 



contraire, mais elle tient simplement à la nature du mouvement 
dans une orbite fermée, car il v a toujours, dans ce cas, pour chaque 
point de cette orbite, une région diamétralement opposée dans la- 
quelle le mouvement s'opère on sens inverse. Ainsi l'astre B est 
toujours, sur son orbite apparcnle. de iSo** en arrière de a sur la 
sienne. En effet, si l'on mène les rayons Sr/ el /;B, ces deux ravons 
senml évidemment égaux, parallèles, mais de sens opposés. 

\insi toutes les étoiles du ciel, considérées comme des points 
fixes, nous paraîtront décrire en un an, durée de la circulation de 
la Terre autour du Soleil, une orbite précisément égale et parallèle 
à celle de notre globe. Nous donnerons plus tard les formules qui 
en permettent le calcul. Ce cercle décrit par chaque étoile porte 
le nom d'épirvcie annur/ ; on en verra tout à l'heun» la raison. La 
distance des étoiles les plus voisines étant énorme par rapport aux 
dimensions de Torbile que la Terre décrit autour du Soleil, leurs 
orbil#*s apparentes annuelles, vues delà Terre, ne sous-tendent pour 



ILLUSIONS PROVENANT DU MOUVEMENT DE LA TERRE. 



19 



nous qu'un angle extrêmement petit, malgré leur diamètre com- 
mun de 74 millions de lieues. Il faut toute la puissance des plus 
grandes lunettes pour les rendre appréciables. Comme elles échap- 
paient complètement à l'observation à Tœil nu, les contemporains 
de Copernic, peu préparés à concevoir un si gigantesque univers, 
en faisaient une objection au vrai système du monde. Nous allons 
voir que ces mêmes épicycles annuels, si peu sensibles pour les 
étoiles à cause de leur distance, sont au contraire très sensibles 
pour les astres voisins, c'est-à-dire les planètes, et s'y révèlent d'une 
manière frappante. 

Les choses se passeront en effet de la même manière si le point i, 
au lieu d'être immobile comme nous venons de le supposer, 
se meut lui-même sur une courbe quelconque hVh" {Jig* 10), 

l'ig. 10. 




comme font les planètes; seulement sa trajectoire apparente se 
composera de deux mouvements, l'un réel qui lui appartient en 
propre, l'autre apparent qui provient de la circulation dont l'ob- 
servateur est animé. Cette combinaison est une question de pure 
Géométrie. Pendant que le point apparent B décrit son épicycle 
annuel autour de la position vraie ft, ce dernier décrit sa propre 
trajectoire, en sorte que la courbe résultante se réduit à une 
épicycloïde dont il est facile d'obtenir l'équation. Le cas le plus 
simple est celui où la trajectoire du point b est située dans le 
plan même de l'orbite terrestre. Construisons cette courbe par 
points sur l'épure ci-jointe. La planète étant en ft'et la Terre en a', 



20 INTRODUCTION. 

on aura le lieu apparent de la planète, vue du centre S des 
mouvements de la Terre, où l'observateur se croit immobile, en 
menant SB' égal, parallèle et de sens contraire à Va! ou, ce qui 
revient au même, en menant 6'B' égal, parallèle et opposé à So^. 
La même construction donnera les points suivants de l'épure. On 
obtient ainsi une épicycloïde à boucles dont les sommets se repro- 
duisent chaque fois que les trois points S, a, 6 sont en ligne droite, 
c'est-à-dire lorsque la planète 6, vue de la Terre a, est en opposition 
avec le Soleil. Sur une pareille courbe les mouvements des planètes 
sont très compliqués; en suivant le sens des flèches marquées sur 
la figure, on voit qu'à l'époque des oppositions la planète semble 
être animée d'un mouvement rétrograde; ailleurs elle marche dans 
le sens direct. Aux changements de sens, son mouvement s'eflectue 
dans la direction du rayon visuel alors tangent à l'épicycloïde, 
et la planète semble s'arrêter. Ce sont les stations et rétrogra- 
dations des planètes. La période de ces apparences compliquées 
est facile à trouver quand on suppose que les mouvements réels 
sont circulaires et uniformes. Les deux planètes a ci b ont pour 

vitesse angulaire n = -T^y n=: ■=^i en désignant par T et T' 

la durée de leurs révolutions; par conséquent, leur vitesse rela- 
tive sera n — n'. Si donc elles partent d'une opposition, elles se 
retrouveront de nouveau en opposition au bout d'un temps égal à 

-(*). Cette période se nomme la révolution synodique de la 



2it 



n — /* 

planète b\ c'est une combinaison simple des durées des révolutions 

de la planète et de la Terre autour du Soleil. 

Si l'orbite de la planète b n'est pas située dans le même plan que 
celle de la Terre ou du spectateur a, la trajectoire apparente sera 
une épicycloïde à double courbure. 

A propos delà rotation delà Terre, nous décomposions le mou- 
vement du spectateur en une rotation autour d'un axe parallèle à 
celui de notre globe, et une circulation de petit rayon et d'un jour 
de durée autour de cette dernière droite. L'observateur trans- 
porte aussi ce dernier mouvement à tous les points extérieurs ; 



(*) C'est exactement le problème élémentaire bien connu de la rencontre des 
deux aiguilles d'une montre. 



CONCEPTION DE L*UXIVERS DANS l'ANTIQUITÉ. 21 

ceux-ci lui paraissent décrire en un jour une circonférence de même 
rayon autour de leur position \Taie. C'est donc une nouvelle courbe 
épicycloïdale qui se superpose , comme une sorte de festonnage, à 
la précédente. Peu sensible sur les planètes éloignées, elle Test 
davantage pour les planètes les plus voisines de nous. 

Conception de l'univers dans Tantiquité. 

On voit par là combien les mouvements apparents sont compli- 
.quésy tandis que les mouvements réels sont simples. De là deux 
systèmes astronomiques, celui des anciens et celui des modernes. 
Les anciens, fermement convaincus de l'immobilité de la Terre, 
étaient forcés d'attribuer en sens inverse tous ses mouvements aux 
autres astres : d'abord, à tous les astres, une rotation diurne rétro- 
grade autour d'un axe commun passant par le centre du monde, 
c*est-à-dire de la Terre; puis, à tous les astres, la Lune exceptée, 
une orbite annuelle égale à celle de la Terre, mais renversée; en- 
fin aux planètes, une combinaison de leurs mouvements réels avec 
l'épicycle d'un an, combinaison qui fait prendre pour des réalités 
des mouvements qui ne sont tantôt directs, tantôt rétrogrades 
qu'en apparence. Je ne parle pas de l'épicycloïde diurne, qui n'est 
sensible que pour les observations précises. Si l'hypothèse d'une 
Terre immobile ne s'était pas si fortement imposée à leur esprit, 
ils auraient aisément reconnu la simplicité des mouvements réels 
s'effectuant toujours dans le même sens autour du Soleil; ils au- 
raient compris qu'il s'agit là, non pas d'un mécanisme à deviner, 
mais d'une question de Mécanique à résoudre ; ils auraient vu que 
les planètes sont retenues dans leurs orbites par l'attraction du So- 
leil, et ils en auraient obtenu la mesure en comparant ces mouve- 
ments de circulation avec ceux que nous réalisons nous-mêmes 
lorsque nous faisons tourner une pierre au bout d'une corde et que 
nous étudions la manière dont la tension de celle-ci varie avec la 
vitesse. Ce qui a empêché pendant deux mille ans la Mécanique 
céleste, et par suite la Mécanique ordinaire, de naître dans l'es- 
prit des profonds géomètres de l'antiquité, c'est cette intime per- 
suasion de l'immobilité de notre globe. Elle les a conduits au sys- 
tème absurde que voici. 

L'univers est contenu tout entier dans une grande sphère tour- 



'Xi. INTRODUCTION. 

nnnte dont la Terre occupe le centre. Les étoiles sont fixées, atta- 
chées à sa concavité. Il y a sept planètes qu'on rangeait dans Tordre 
(le leurs distances probables à la Terre, à savoir la Lune, Mercure, 
Vénus, le Soleil, Mars, Jupiter et Saturne, et elles ont donné leurs 
noms aux sept jours de la semaine. Ces planètes sont attachées à 
des sphères concentriques, emboîtées dans la première. Pour ex- 
pliquer le mouvement diurne du ciel, commun aux planètes et aux 
étoiles, on croyait que la sphère des fixes était animée d'une rota- 
tion rétrograde autour d'un certain axe nommé axe du monde 
et qu'elle entraînait les sept autres sphères dans son mouve- 
ment journalier, à peu près comme le premier mobile d'une horloge 
conduit toutes les autres roues. Quant aux planètes portées par ces 
sphères, on leur donnait du jeu pour expliquer les phénomènes si 
compliqués de leurs trajectoires, au moyen d'une combinaison de 
cercles et d'épicycles d'ailleurs identique à celle que nous venons 
d'exposer. On supprimait jusqu'à la possibilité d'établir quelque 
analogie entre les mouvements des corps terrestres, susceptibles 
d'être étudiés expérimentalement, et ceux des corps célestes, car on 
se trouvait amené à croire que ceux-ci étaient d'une nature plus 
noble, d'une essence supérieure, conduits par des intelligences 
divines. Enfin, comme toute machine fait du bruit, on assurait 
(|ueles mouvements de ces sphères, y compris celle Ags fixes, pro- 
duisaient des sons difierents , et que, si nous ne percevons pas 
celte céleste harmonie, c'est que nous l'entendons depuis Tenfanco 
et que nos oreilles y sont habituées. 

Cependant ce système, malgré son absurdité, est encore en usage 
journalier parmi les astronomes aussi bien que dans le public, 
parce qu'il est l'immédiate traduction de nos impressions. On 
continue à dire que le Soleil se lève au lieu de dire que le plan 
de l'horizon de Tobservateur s'est abaissé, par la rotation de notre 
globe, au-dessous de cet astre. On continue à représenter le ciel 
comme une sphère et les étoiles comme des points brillants qui y 
seraient attachés; on dit encore le mouvement diurne du ciel, 
comme si tout cela avait quelque réalité. Mais ce n'est là qu'un 
langage familier et commode dont nous allons faire usage à tout 
instant, sachant bien quelles sont les réalités masquées sous ces ap- 
parences. 



CLASSIFICATION DES ÉTOILES ET MESURE DE LEUR DISTANCE. 2^ 

Classification des étoiles et mesure de leur distance. 

Les étoiles vues à Toeilnu sont entourées d^appendices lumineux 
qui n'ont d'existence que dans les humeurs de l'œil. Ces rayons 
disparaissent dans les télescopes, et les étoiles se réduisent alors à 
de simples points d'un vif éclat. Rien n'est plus propre à imprimer 
dans l'esprit d'un commençant l'idée de la grande distance où sont 
les étoiles que de lui montrer, l'une après l'autre, avec des gros- 
sissements de plus en plus forts, une planète de notre système, 
Jupiter par exemple, et une belle étoile quelconque. D'abord la 
planète présente un disque sensible; ce disque augmente à mesure 
qu'on augmente le grossissement; on finit par y distinguer les 
détails de sa figure. L'étoile, au contraire, reste toujours un point 
brillant (*), quel que soit le grossissement; sur les étoiles, en un 
mot, les plus puissants télescopes échouent complètement. 

Les étoiles sont distribuées dans le ciel sans ordre apparent, 
comme au hasard. Cependant les petites étoiles se trouvent parti- 
culièrement accumulées dans une zone assez peu régulière qu'on 
nomme la voie lactée. Les astronomes les rangent en groupes fan- 
tastiques qu'on nomme constellations, groupes qui n'ont qu'une 
valeur purement mnémonique. Ils les classent, en outre, par ordre 
de grandeur ou plutôt d'éclat, car il ne saurait être question de 
grandeur pour de simples points sans dimensions appréciables. 

On en compte : 

20 de i" grandeur, 

65 de a* » 

190 de 3" >» 

4'25 de 4* " 

iioo de 5" » 

3200 de 6* » 

d'où il paraît bien que, si les étoiles diffèrent tant d'éclat entre 
elles, cela ne tient pas seulement à une inégalité réelle, mais aussi 
et surtout à la distance, c'est-à-dire à leur dissémination dans 
un espace de plus en plus grand. Au delà de la 6^ grandeur, un 
œil ordinaire ne distingue rien de net. 11 remarque seulement en 

(*) Saaf un effet de diffraction dont il sera question plus loin. 



a4 INTRODUCTION. 

certaines régions, telles que la voie lactée, une lueur diffuse pro- 
duite par des étoiles trop petites pour être perçues isolément. En 
eflety pour TcBil armé d^une lunette ordinaire, cette lueur se dé- 
compose en étoiles qu^on classe comme les précédentes. On en 
compte ainsi : 

i3ooo de 7* grandeur, 
40000 de 8* » 

142000 de 9* 9 



C'est, grossièrement, une progression géométrique ayant 3 pour 
raison. 

Mais, si en certaines régions du ciel on voit les dernières 
étoiles de 10*, 11*, ... grandeur se projeter sur le fond noir du 
ciel, ce qui semble indiquer que Tœil atteint là les limites de 
l'univers, dans d^autres on retrouve encore cette vague lueur dont 
nous parlions tout à Theure, lueur qui accuse la présence d'étoiles 
encore plus petites et plus éloignées de nous. Avec les puissants 
télescopes dont les astronomes sont armés aujourd'hui, on a 
compté 18000000 d'étoiles, jusqu'à la i5* grandeur, dans la seule 
voie lactée, mais sans atteindre encore la limite de l'univers 
stellaire. 

Un tel ensemble, auquel il faut joindre d'autres corps tout dif- 
férents des étoiles, les mystérieuses nébuleuses, échappe évi- 
demment à notre faible entendement. Tout ce qu'on a pu faire 
par rapport à cet immense agrégat d'étoiles, parmi lesquelles 
notre Soleil ne compte que comme une étoile de moyenne gran- 
deur, c'a été d'essayer de mesurer la distance de quelques-unes 
d'entre elles. 

Nous avons vu que toute étoile, comme d'ailleurs tout point de 
l'univers, hors la Terre et son satellite, paraît décrire en un an, 
autour de son lieu réel, une orbite égale et parallèle à celle de la 

Fig. II. 

/• » 

, f--^ n 



\ î«' ai 



Terre, mais renversée. Si donc à l'aide d'une lunette on mesure les 
dimensions de cette orbite apparente, on aura, en désignant par R 



CLASSIFICATION DES ETOILES ET MESURE DE LEUR DISTANCE. 2J 

ijig' II) son rayon et par D sa distance, par a a l'angle sous-tendu 
par le diamètre de cette orbite qui se présente perpendiculairement 
au rayon visuel, on aura 

R 

sina=g. 

Ry ou la distance de la Terre au Soleil, est connu ; on le prend pour 
unité de distance en Astronomie ; a ayant été mesuré, on en conclut 



sina 



On peut présenter les choses d'une autre manière. Pour détermi- 
ner la distance d'un objet inaccessible, les arpenteurs commencent 
par mesurer une base, puis de ses deux extrémités ils mesurent les 
angles à la base du triangle formé par cette ligne et l'objet. En ré- 
solvant ce triangle, on obtient la distance cherchée. Quand il s'agit 
des étoiles, il serait impossible de prendre une base sur le globe 
terrestre, car ses dimensions sont, comme nous allons le voir, éva- 
nouissantes vis-à-vis de la distance des étoiles. Mais le mouvement 
annuel de la Terre nous transporte, à six mois de date, aux deux 
extrémités d'un diamètre de son orbite, diamètre dont la longueur 
est de 74 millions de lieues. C'est là la base la plus grande dont nous 
disposions. 

Si donc, à six mois de distance, on détermine la direction d'une 
étoile, on y trouve un léger changement, i\ne parallaxe due au dé- 
placement de l'observateur; en appelant aRla base, 2a l'angle au 
sommet, on a, comme tout à l'heure, 



sinx 



La grande difliculté de ces mesures consiste en ce que la paral- 
laxe est alors excessivement petite, presque du même ordre de 
grandeur que les erreurs dont ces observations sont susceptibles. 
Il arrive même que ces erreurs l'emportent sur la quantité à me- 
surer, en sorte qu'on trouve des résultats tout à fait erronés, 
par exemple une parallaxe négative, ce qui n'a aucun sens. Voici 
les mesures les moins incertaines que nous possédions à ce sujet : 



26 INTRODUCTION. 

Temps tmpiojé 
Distance en rayons par la Inmlère 
Parallaxe de de l'étoile 

Noms des étoiles. Éclat. oa a. Erreur probable, l'orbite terrestre. àTenlrJasqa'ànoas 

Années. 
... » I» 

Etoile polaire . . •;►, o,o3 ri- 0,02 6870000 108,0 

La Chèvre 1 o,3i r^ 0,04 665 000 10,'» 

Sirius (*) 0/20 rb o, 10 1 o3i 000 16, 3 

Castor 2 0,21 rb 0,06 982000 i5,5 

Arcturus i o,i3 r't 0,08 1587000 25, o 

a Lyre i 0,20 rr: o,o3 1 o3i 000 16, 3 

a Cygne 2 —0,08 :' o,oî ? ? 

3 Centaure 1 o,5i r- 0,08 4o4 000 6,3 

6i* du Cygne.. . 5-6 o,35 dz 0,08 589000 9,3 

Les distances sont ici exprimées à Taide de Tunité astronomique, 
c'est-à-dire la distance moyenne du Soleil à la Terre. Pour en don- 
ner une idée plus saisissablc,on Ta exprimée aussi par les temps que 
la lumière mettrait à les franchir. On verra plus loin que sa vitesse 
est telle, qu'elle n'emploie que huit minutes dix-huit secondes à 
venir du Soleil jusqu'à nous. 

D'après ce Tableau, on voit que, sauf a du Centaure, les étoiles 
les plus voisines de nous ont en moyenne une parallaxe de o*^, a au 

plus, et par suite une distance de -; — = — > ou environ un million de 
^ ^ sino'',2 

fois la distance de la Terre au Soleil (2). 

Bien que les étoiles les plus brillantes ne soient pas nécessaire- 
ment les plus proches, il y a lieu de croire que la plupart des étoiles 
moins brillantes sont encore plus éloignées. 

Si le Soleil, dont le diamètre angulaire vu de la distance moyenne 
R = I est de 82' ou 1920'', était relégué dans la région des étoiles 
les plus voisines, il serait vu d'ici sous un angle de 

1020" - 

— ^ = ,001020, 

1 000 000 *^ 



(*) Siriuft est la plus belle étoile du ciel; son éclat esl bien su^rieur à celui 
des étoiles de première grandeur, telles que la Chèvre, la Lyre, Arcturus, etc. 

(*) L'erreur probable de ce résultat est au-dessus de dio',o5, c'est-à-dire du 
quart de la parallaxe ou de la distaace conclue. Ainsi les astronomes n'ont pu dé- 
terminer la position de notre système dans l'espace (rapporté aux étoiles voisinent 
prises comme repères) qu'avec une incertitude de plus de aSo 000 rayons de Torbite 
terrestre, c'est-à-dire de plus de 3; 000 000 x aSo 000 lieues. 



MOUVEMENT DE TRANSLATION DU SYSTEME SOLAIRE. aj 

quantité insensible; il nous apparaîtrait comme un simple point 
brillant, absolument comme les étoiles vues avec les plus puissants 
télescopes. Quant à la Terre, dont le diamètre est cent huit fois 
plus petit que celui du Soleil, elle n'aurait qu'un diamètre angu- 
laire de o", 000018. 

Il découle de là deux conséquences capitales pour Tétude que 
nous allons entreprendre. La première, c'est que, Tépicycle annuel 
et à plus forte raison Tépicycle diurne étant insensibles pour les 
étoiles à cause de leur distance énorme, ces astres-là ne présentent 
qu'une seule des trois illusions dues aux mouvements de l'obser- 
vateur, à savoir la rotation diurne apparente, tandis que les planètes 
sont affectées à la fois de ces trois mouvements. Il est donc tout 
indiqué de commencer l'Astronomie parles étoiles, non pour elles- 
mêmes, mais pour Tétude de la rotation de la Terre qui se trouvera 
ainsi dégagée de toute circonstance accessoire. La seconde consé- 
quence, c'est qu'en raisonnant sur les étoiles nous serons en droit 
de faire abstraction des dimensions de notre globe et de le consi- 
dérer, lui et tout ce qu'il porte, comme réduit à un simple point. 
La première partie de notre science se nomme étude du mouve- 
ment diurne o\x Astronomie sphérique, parce qu'on y conserve la 
sphère céleste des anciens à titre de pure conception géométrique. 
Je veux dire que nous considérerons, non pas les étoiles elles- 
mêmes, dont nous n'aurons plus à nous occuper, mais leurs perspec- 
tives sur une sphère idéale d'un rayon infîni par rapport à celui de 
la Terre, ces perspectives n'étant elles-mêmes que des points ma- 
thématiques. 

Mouvement de translation du système solaire. 

Il n'affecte nullement les planètes, puisque le Soleil les en- 
traîne avec lui, ainsi que la Terre. Examinons les mouvements 
apparents qui en résultent pour les étoiles. 

Ici nous pouvons nous placer par la pensée sur le Soleil lui- 
même, au centre de la sphère étoilée dont nous venons de parler. 
Soit AM {Jig- 1 a) la direction dans laquelle le Soleil marche, en sorte 
que le point M soit le point de mire du système solaire, et le point 
diamétralementopposéFsonpointde fuite. ConsidéronsuneétoileB 
et sa projection sphérique en b. D'après ce que nous avons vu, 



28 INTRODUCTION. 

l'observateur attribuera son propre mouvement en sens inverse au 
point B; celui-ci paraîtra décrire la ligne BB' avec la vitesse même 



Fig. 11. 



Bl. B' 



dont le Soleil est animé. Sur la sphère, la projection b décrira donc 
le petit arc bb' dont les prolongements passeront par les points M et 
F. Sa vitesse angulaire w sera donnée par 

iù=z -=- sinOy 

en désignant sa distance linéaire au Soleil par D, sa distance 
angulaire au point M par o et la vitesse linéaire du Soleil par v. 
Cette vitesse angulaire est la seule chose que nous puissions 
mesurer. Elle varie, d'une étoile à l'autre, avec D et 5. A distances 
égales elle est maximum pour 8 = 90^, c'est-à-dire pour les étoiles 
situées sur le grand cercle dont le plan est perpendiculaire à FM. 
On vient de voir que les étoiles sembleront décrire de très petits 
arcs de grand cercle divergeant du point M et convergeant vers le 
point F. Il y aura donc deux régions en M et en F où les étoiles 
resteront immobiles. 

Comment peut-on découvrir par l'observation du ciel ce point M 
vers lequel marche le Soleil? Par un procédé très simple. Les 
astronomes ont déterminé depuis deux siècles, à plusieurs reprises, 
les positions des principales étoiles à la surface de cette sphère. En 
comparant des observations faites à de longs intervalles, ils con- 
statent que les étoiles se sont déplacées quelque peu. Si ces mou- 
vements étaient dus uniquement à l'illusion produite par la trans- 
lation rectiligne du système solaire, il suffirait de porter ces petits 
arcs sur une sphère matérielle et de les prolonger pour obtenir, 



MOUVEMENTS PROPRES DES ETOILES. %g 

par leurs points d'intersection, les deux points M et F. C'est ce 
qu'a fait Herschel pour une vingtaine d'étoiles les plus brillantes; 
il a trouvé, non pas un point, mais une région de convergence de 
ces arcs dans la constellation d'Hercule. Le même résultat a été 
obtenu par le calcul en employant plusieurs milliers d'étoiles. Il 
paraît donc bien établi que le Soleil marche efTectivement dans 
cette direction. 

Mouvements propres des étoiles. 

Les étoiles se meuvent aussi bien que le Soleil, en sorte que la 
supposition précédente, sur laquelle est basée la recherche de 
notre point de mire, ne semble pas justifiée. Mais les petits mou- 
vements propres des étoiles paraissent n'être soumis à aucune loi. 
Si donc ils offrent quelque chose de commun, ce ne pourra être 
qu'une tendance commune à diverger d'une région quelconque de 
la sphère, et alors on est en droit de l'attribuer à l'effet du mou- 
vement propre de notre système. Dans la pratique, on ne tient 
nul compte de cette distinction entre les mouvements propres des 
étoiles et leur mouvement apparent dû à la translation de notre 
système. On détermine comme on vient de le dire, pour chaque 
étoile en particulier, le mouvement angulaire dont elle paraît 
animée, quelle qu'en soit la cause, et l'on trouve qu'il suffit d'un 
très petit terme proportionnel au temps pour être en état de 
ramener à une époque quelconque les coordonnées observées à 
une autre date. On est ainsi dans le même cas que si les étoiles 
étaient réellement et absolument fixes. 

Ces corrections sont toujours très faibles, souvent même insen- 
sibles; elles ne s'élèvent guère, en général, qu'à des fractions de 
seconde et dépassent rarement i'' ou 2," par an. Cependant, dans la 
suite des siècles, leurs effets deviennent sensibles, même à l'œil nu, 
en s'accumulant. Arcturus, par exemple, a déjà franchi un demi- 
degré depuis le temps d'Hipparque, c'est-à-dire à peu près l'équi- 
valent du dianiètre angulaire de la Lune. A compter le temps par 
milliers de siècles, l'aspect des constellations en serait singulière- 
ment modifié. 

Les astronomes ne déterminent ainsi que la vitesse angulaire des 
étoiles, estimée perpendiculairement au rayon visuel. Nous ne sau- 



3o INTRODUCTION. — MOUVEUENTS PROPRES DES ÉTOILES. 

rions rien sur l'autre composante, à savoir la vitesse estimée dans 
le sens du rayon visuel, si l'analyse spectrale n'avait trouvé, dans 
les petits déplacements des raies du spectre de chaque étoile, le 
moyen de mesurer cet élément. Seulement, cette fois, il ne s'agit 
plus de vitesse angulaire, mais de vitesse absolue, estimée à tant 
de kilomètres par seconde. 



Mouvements propres de quelques étoiles dans la direction 

du rayon visuel (^). 

U. Unggins. ObterTatoIre de Greenwich. 

a Orion -f- t»!*^™ -r- 35^» 

Sirius... -+- 9,0 -r- 3a 

Castor -f- a5 -f- io 

Pollux ~ Î9 — 78 

P Grande Ourse... -- 17 à -f- 21 -h ^7 à -r- 34 

a Grande Ourse... - 46 à — 60 — 74 à — 100 

Y Grande Ourse... f- 17 à -f- 21 -^ 'ly à -f- 34 

8 Grande Ourse .. . -- 17 à -}- ui -^ 27 à -t- 3» 

E Grande Ourse... -;- 17 à -r- 21 -;- 27 ù ~ 34 

Arcturus — 55 --88 

a Lyre - .\o — 64 

a Cygne - - 39 — 62 

Le signe — désigne un mouvement vers l'observateur, le signe 
le mouvement opposé. 



(') Nous donnons ici les résultats obtenus par M. Huggins, à qui est due cette 
remarquable découverte, et ceux qu'on a obtenus après lui à l'Observatoire de 
Grecnwicb, pour permettre au lecteur de juger à la fois de la réalité de ces mou- 
vements et du faible degré de précision avec lequel on parvient à les estimer. 



PREMIÈRE PARTIE. 



ASTRONOMIE SPHÉRIQUE. - DESCRIPTION DES INSTRUMENTS. 

THÉORIE DES ERREURS. 
GÉODÉSIE ET GÉOGRAPHIE MATHÉMATIQUE. 



THEORIE DU MOUVEMENT DIURNE DU CIEL. 33 



LIVRE PREMIER. 



THÉORIE DU MOUVEMENT DIURNE DU CIEL. 



Description du mouvement diurne apparent du ciel. 

La Terre est un sphéroïde légèrement aplati qui tourne autour 
de son plus petit axe. L^espace où elle se meut, vide de toute ma- 
tière, n'oppose aucune résistance capable d'altérer cette rotation. 
La Mécanique nous apprend que dans ces conditions la rotation est 
éminemment stable, c'est-à-dire qu'elle s'opère autour du même 
axe avec une parfaite uniformité, malgré les mouvements oscil- 
latoires de l'atmosphère et des mers. D'autre part, la translation 
annuelle de la Terre autour du Soleil n'influe en rien sur la rotation ; 
l'axe de celle-ci reste toujours parallèle à lui-même et affecte par 
conséquent une direction absolument fixe (*). Nous avons dit que 
l'orbite terrestre vue des étoiles est imperceptible; il en résulte que 
nous sommes en droit de négliger entièrement ce mouvement de 
translation et de raisonner comme si la Terre était immobile dans 
l'espace, sauf la rotation que nous allons étudier. D'ailleurs il est 
naturel de rapporter les étoiles à une sphère idéale ayant pour 
rentre l'œil du spectateur et sur laquelle elles se projettent, car 
nous n'aurons jamais à nous occuper de leurs distances, mais seu- 
lement de leurs directions, et, comme les dimensions du globe ter- 
restre sont absolument insensibles par rapport à ces distances, il n'y 
aura aucune distinction à faire entre les diverses régions de la Terre 
et l'œil de l'observateur ; tout cela se réduit à un simple point, centre 
de la susdite sphère céleste. Enfin, comme la rotation réelle de la 



(') Nous faisons ici abstraction de la précession et de la outation. 

3 



34 LIVRE PREMIER. 

Terre engendre l'illusion de la rotation, en sens opposé, de tous les 
points extérieurs, nous raisonnerons comme si l'observateur était 
immobile au centre de la sphère céleste, tandis que celle-ci tour- 
nerait avec les étoiles autour de Taxe terrestre, dans le même temps, 
mais en sens inverse. 

Si Ton examine le ciel pendant une nuit claire, on voit cette 
conception se réaliser; seulement il faut un peu de temps pour 
saisir la lente rotation des étoiles. En y revenant à plusieurs 
reprises, en rapportant les étoiles à des alignements pris sur des 
repères terrestres désormais considérés comme fixes, on constate 
le mouvement régulier dont elles sont animées. On voit les con- 
stellations se lever successivement sur Tun des bords de l'horizon, 
monter lentement dans le ciel, atteindre leur plus grande hauteur, 
puis décliner de l'autre côté et finalement disparaître au bord 
opposé de l'horizon. Le même phénomène affecte le Soleil et la 
Lune, ainsi que les planètes ou les comètes, dont nous aurons à 
nous occuper plus lard. Avec un peu d'attention on constate que 
ce mouvement s'effectue tout d'une pièce autour d'un axe incliné 
qui va percer le ciel très près de l'étoile a de la petite Ourse. Cette 
étoile semble ne pas bouger, parce que le cercle qu'elle décrit en 
vingt-quatre heures n'a guère que i"ao' de rayon. Lorsqu'on se place 
par la pensée dans la direction de l'axe du monde, lé sommet de la 
tète tourné vers cette étoile, on constate que la rotation apparente 
de la sphère céleste a lieu de gauche à droite, dans le sens des 
aiguilles d'une montre. C'est le sens que les astronomes nomment 
rétro prado ('). 

Enfin le jour vient; le Soleil se lève à l'horizon de gauche, c'est- 
à-dire à Test ou au levant, et sa lumière, en éclairant l'atmosphère, 
efface toutes les étoiles pour l'œil nu. On peut suivre néanmoins 
les plus belles avec une lunette; elles restent visibles tout le jour, 
sauf dans la région la plus voisine du Soleil. 

Les particularités de ce mouvement sont toutes géométriques. 
Désignons par SON {fig- i3) le cercle de l'horizon qui divise la 
sphère céleste en deux moitiés. Tune visible, Tautre invisible; par 



(•) Par cons<^qucnt, la rotation réelle de la Terre, qui donne lieu à cette appa- 
rence, s'effectue de droite à gauche pour l'observateur ainsi placé, c'est-idiro 
dans le sens direct. 



THÉORIE iri- MOUVEHBNT DIl'RNB DL' CIEL. 35 

PP" l'axe incliné de la rotation diurne. L'observateur et la Terre 
loul entière étant en A, centre de cette sphère, si l'on mène AZ, 
verticale de l'observateur, cette droite, perpendiculaire au plan de 
l'horizon, sera l'axe de symétrie de la portion visible du ciel. D'autre 
part, l'axe AP est l'axe de symétrie de la rotation. Par conséquent, 
le plan SZPN, qui passe par ces deux axes, sera un plan de symé- 



trie pour tous les phénomènes du mouvement diurne au-dessus de 
l'horiïon. C'est le plan méridien du lieu A; sa trace horizontale 
SN est la méridienne. Le méridien vertical SZPN contient les points 
culminants de tous les parallèles décrits par les étoiles; il divise en 
parties égales et symétriques les portions visibles de ces parallèles, 
c'est-à-dire les arcs situés au-dessus de l'horizon. Ainsi du lever 
d'une étoile en l, jusqu'à l'instant de son passage au méridien en e, 
il s'écoule juste autant de temps que du méridien au coucher en c. 
Si par les points N et 5 on mène des plans perpendiculaires à l'axe 
du monde PP', ces plans détermineront trois zones. L'intermédiaire 
est celle des- étoiles qui se lèvent et se couchent. La calotte qui a 
pour centre le pôle visible P contient les étoiles qui ne se couchent 
jamais, c'est-à-dire dont les parallèles sont situés en entier au-dessus 
de l'horizon ; la calotte qui a pour centre le pôle invisible P est celle 
des étoiles qui ne se lèvent jamais et que l'observateur ne peut voir 
tant qu'il restera au même point du globe terrestre. 

Ces notions de pure Géométrie céleste vont nous permettre de 
rapporter les astres à un système de coordonnées sphériques et 
d'établir une mesure parfaite du temps. 



36 LIVRE PREMIER. — CHAPITHE I. 



CHAPITRE I. 

SYSTÈMES DE COORDONNÉES USITÉS EN ASTRONOMIE. 



Coordonnées locales des étoiles. 

Le mot locales veut dire ici relatives à un lieu donné A. Si l'on 
considère une étoile quelconque e {fig- i3), il est évident que sa 
distance au pôle P de la rotation reste constante. Désignons celle 
distance polaire Pe, Pe', Pc", . . . par 5. D'autre pari, la rotation 
étant uniforme, les angles dièdres SPe', SPe", SPe'" seront pro- 
portionnels aux temps écoulés à partir de l'instant où l'étoile aura 
passé en e au méridien. Désignons cet angle dièdre variable par A\, 
signe abrévialif des mots angle horaire. Nous pourrons prendre 

S =z const., 
M proportionnel au temps 

pour les coordonnées sphériques de cette étoile ; elles en détermine- 
ront évidemment la position à un instant quelconque, si l'on donne 
la valeur de l'angle horaire if! à cet instant et, une fois pour toutes, 
la distance polaire o. 

Nous conviendrons de compter A\ de o** à 36o** dans le sens du 
mouvement diurne, c'est-à-dire dans le sens rétrograde marqué par 
les flèches de la figure. I/inslrumrnt destiné à mesurer celte espèce 
de coordonnées porte le nom à*c*quatorial; on en trouvera plus 
loin la figure. 

Tout instrument de ce genre doit avoir un a\c de rotation qu'on 
dirige suivant l'axe même du système de coordonnées, c'est-à-dire 
ici suivant AP. 11 doit en outre avoir une lunette fixée à un second 
axe de rotation perpendiculaire au premier. La lunette peut ^ive 
placée excentriquement, car, vis-à-vis de la dislance des étoiles, les 
dimensions de l'instrument ne comptent pas. En faisant tourner la 
lunette autour de son axe propre, la ligne de visée parcourt vin 



SYSTÈMES DE COORDONNÉES USITÉS EN ASTRONOMIE. 



37 



grand cercle du ciel passant par le pôle P. Si donc on fixe un limbe 
divisé à cet axe, on pourra mesurer la distance polaire d'un astre 
situé sur ce grand cercle. En faisant tourner tout l'instrument au- 
tour de l'axe AP, on amènera le plan décrit par la lunette à occuper 
successivement toutes les positions autour de AP, et, si cet axe 
principal porte lui-même un limbe divisé, on sera en état de me- 
surer l'angle horaire AI ou SPe' d'une étoile quelconque e. 

Mesure du temps. Jour sidéral. Heure. 

Nous prendrons naturellement, pour mesurer le temps, la durée 
même de la rotation du ciel. C'est le temps compris entre deux 
retours consécutifs d'une même étoile à la même direction, ou bien 
entre deux passages successifs de cette étoile au méridien du lieu. 
Cet intervalle prend le nom de jour sidéral (il est plus court de 
quatre minutes que le jour solaire moyen, dont les astronomes font 
aussi usage). 

II se divise en vingt-quatre heures sidérales, l'heure en soixante 
minutes et la minute en soixante secondes. 

Ce n'est pas tout que de fixer la durée du jour, il faut encore lui 
assigner une origine. Nous conviendrons de prendre, pour marquer 
en un lieu quelconque le commencement du jour sidéral, c'est- 
à-dire l'instant où la pendule sidérale doit marquer o** o™ o*, celui 
où un certain point du ciel, fixé par une convention, passera au 
méridien du lieu. Nous lui donnerons le nom de point vernal et 




pour signe la lettre y* H serait assez difficile actuellement de dé- 
finir ce point, dont le choix se rapporte à la théorie du Soleil; sup- 
posons simplement qu'il y ait là une étoile y dont on puisse à tout 



instant mesurer l'angle horaire A\^. 



Cet angle horaire varie de 36o° en vingt-quatre heures, parcon- 



38 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE I. 

séquent de 1 5** en une heure, de 1 5' en une minute et de 1 5"^ en une 
seconde. Nous disions tout à l'heure qu'il varie proportionnelle- 
ment au temps écoulé depuis l'instant du passage du point origine 
Y au méridien : ce temps n'est autre chose que l'heure sidérale H. 
On aura donc 

I j ' 

et, comme rien ne nous empêche de diviser la circonférence en 
vingt-quatre parties égales appelées heures et de compter les angles 
par la même numération que le temps, nous écrirons dans ce sys- 
tème 

Il =: A\^ 

et nous dirons que l'heure sidérale à un instant donné est égale à 
l'angle horaire du point y à cet instant. Nous allons voir qu'à ce 
point Y on peut substituer une étoile quelconque dont les coor- 
données uranographiques soient bien connues. 

Coordonnées uranographiques. 

Considérons actuellement la sphère céleste indépendamment de 

lig. I ). 




^ C»t.:V' 




«... ' ■// ( V r.-'A.: 







son mouvement de rotation journalière qui en amène successive- 
ment les diverses parties au-dessus de notre horizon. Pour en faire 



BTBTÉHBB DK COORDONNÉES USITÉS BN ASTBONOMIE. 



39 



la descriplion, c'esl-à-dire pour déterminer les positions relatives 
des étoiles à la surface de cette sphère, les anciens avaient imaginé 
de distinguer les groupes qu'elles forment çà et là et d'y superposer 
des figures d'hommes ou d'animaux : ce sont les constellations. 

AJDsi le groupe de sept étoiles assez hrillantes(^^r. i5) formant, à 
l'intérieur du cercle de perpétuelle apparition, un trapèze suivi d'une 
longue queue de trois étoiles a pris le nom de la Grande Ourse. La 
constellation de la Petite Ourse a même figure, mais une autre posi- 
tion ('). L'étoile qui se trouve îk l'extrémité de la queue est la Po- 




laire et désigne à peu près la position du pâle visible. Orion est un 
grand rectangle (yî^. 16) portantàl'intéricurlrois belles étoiles très 
voisines qui figurent le baudrier de ce chasseur céleste. Il est suivi de 
la constellation du Grand Chien, dont l'œil est Sirius, la plus belle 



(') Cctlc rigion des Ourses célestes s'appelle région arctique, du grec âpKtot, 
Ourte; de M aussi le oom du pôle arctique, donnû au pûte cOlcsle qui, pour 
noire Umisphére, se trouve au-dessus de l'hariinn. 



4o 



LIVRE PREMIER. — CHAPITRE I. 



étoile du ciel. Les anciens aslronomes se reconnaissaient ainsi dans 
le ciel, grâce à ces configurations dont l'idée remonte à la plus haute 
antiquité. On s'en sert encore, dans les observations à l'œil nu, pour 
indiquer la place où l'on a vu quelque phénomène, une comète, une 
étoile filante, un bolide. Mais, pour l'étude plus scientifique du ciel, 
on a recours à un système de coordonnées sphériques dont l'axe 
sera naturellement la ligne des pôles PP'. Chaque étoile e est dé- 




terminée par sa distance Pe au pôle, ou S, et par l'angle dièdre vPr, 
compris entre son méridien Pe et un méridien de convention Py. 
Cet angle dièdre se nomme X ascension droite I^ de l'étoile e. Il s<* 
compte à partir du méridien du point y dans le sens direct, de 
o** à v36o° ou de o^ à 24**- 

Ainsi les coordonnées uranographiqucs d'une étoile quelconque e 

seront 

Vc ou distance polaire de réloile =: 8, 

Y Pc ou ascension droite de réloile = !^, 

Coordonnées géographiques. 



De même, pour décrire le globe terrestre, nous rapporterons les 
points de sa surface, considérée comme sphérique,à l'axe de rotation 
de la Terre /?/>', lequel se confond avec l'axe de rotation du ciel PP'. 
Un point A de ce globe sera donné par 

/;A, dislance polaire ou colalilude )., 
i:/?A, angle dièdre ou Ipngilude L. 

Cet 'angle dièdre sera compté, comme le précédent, dans le sens 



SYSTEMES DE COORDONNEES USITES EN ASTRONOMIE. 



4l 



direct, de o° à 36o® ou de o** à 24**, à partir d'un méridien terrestre 
pris comme point de dépari . En France, on compte les longitudes 
géographiques à partir du méridien de Paris; en Angleterre, à 



Fig. 18. 




partir du méridien de Greenwich. Les colatitudes \ se comptent, 
à partir du pôle nord/>, de o" à ï8o". 

On voit qu'il y a un axe commun à ces trois systèmes. Il en ré- 
sulte entre eux des relations fondamentales que nous allons exposer; 
elles conduisent à Tune des plus grandes applications que Ton ait 
jamais faites des sciences, à savoir l'art de déterminer dans le ciel 
la position qu'un observateur occupe sur le globe terrestre. 



Relations mutuelles de ces trois systèmes de coordonnées 

sphériques. 

Reprenons les coordonnées locales des étoiles. Le plan fonda- 
mental de ce système, c'est-à-dire le méridien du lieu, passe par 
Taxe AP et par la verticale AZ. L'angle ZAP peut être mesuré soit 
avec l'équatorial que nous avons décrit sommairement, soit avec 
d'autres instruments dont il sera question plus loin. Cet angle est 
la distance zénithale du pôle. Evidemment il varie quand l'obser- 
vateur change de position sur le globe, en marchant dans le sens 
d'un méridien terrestre. L'aspect du ciel change alors pour lui parce 
que l'horizon, perpendiculaire à AZ, s'incline de plus en plus, ou 
de moins en moins sur Taxe de rotation du ciel. Sans avoir besoin 
de faire ici une figure, on verra bien que, si l'angle ZAP était nul, 
l'observateur se trouverait posté au pôle même; toutes les étoiles 
décriraient, dans leur mouvement diurne, des cercles parallèles à 
l'horizon ; il n'y aurait plus d'astres qui se lèvent ou se couchent 



4'2 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE I. 

Si, au contraire, l'angle ZAP était de 90®, Tobservateur se trouverait 
sur Téquateur terrestre, à égale distance de l'un ou l'autre pôle; 
l'horizon passerait par la ligne des pôles ; il n'y aurait plus d'étoiles 
circumpolaires toujours visibles ni d'étoiles constamment invi- 
sibles; tous les astres resteraient un demi -jour au-dessus de 
l'horizon et un demi-jour au-dessous. Ainsi il y a des relations in- 
times entre l'aspect du ciel, ou les coordonnées locales des étoiles, 
et la situation géographique de l'observateur. 

Première relation, — Elle consiste en ce que ZAP {Jig» 19), 



ou distance zénithale du pôle céleste en un lieu quelconque, est 
égale à la colatitude X de ce lieu, c'est-à-dire à sa distance sphé- 
rique/>A au pôle terrestre p. 

En effet l'arc/) A, sur la sphère terrestre, répond à l'angle />CA 
compris entre l'axe de rotation pp' et le rayon CA qui aboutit à 
l'observateur. Construisons autour de lui l'horizon, la sphère cé- 
leste, le pôle P et le zénith Z. Pour ce dernier, il suffira de prolonger 
le rayon CA ; quant au premier, on mènera par A une parallèle AP 
à CP, car les dimensions de ce globe terrestre, que nous avons am- 
plifiées, sont nulles vis-à-vis de celles de la sphère céleste. En 
d'autres termes, Taxe de rotation de la sphère céleste est déterminé 
par la seule condition d'être parallèle à celui de la Terre et de 
passer par l'œil de l'observateur. Par conséquent, />CA = X est la 
même chose que PAZ, ou distance zénithale du pôle. 

De là cette conséquence capitale. Un observateur placé en un 
lieu A quelconque du globe terrestre peut, sans se déplacer, dé- 
terminer l'arc/? A qui exprime sa distance au pôle nord de la Terre. 
Pour cela il lui suffit de mesurer dans le ciel la distance angulaire 
du pôle au zénith. L'équatorial dont nous avons parlé plus haut lui 
donnerait cette mesure, car la verticale s'obtient toujours à Taide 
du fil à plomb. 



SYSTEMES DE COORDONNÉES USITÉS EN ASTRONOMIE. 



43 



Deuxième relation. — Elle consiste en ce que la longitude tc/? A 
du point A, comptée à partir du méridien /?tu de Paris, est égale à 
l'heure du lieu à un certain instant quelconque, moins l'heure de 
Paris au même instant. Pour le prouver il suffit d'une figure mon- 
trant, au même instant, Tangle horaire du point y en A et en t:. 
Puisque les dimensions de la Terre sont évanouissantes par rap- 

Fig. 20. 




port à celles de la sphère céleste, projetons à cet instant les lieux A 
et 7w sur cette sphère, et notons en même temps la position actuelle 
du point y. L'heure sidérale du lieu A est H = yP^» celle de Paris 
H, = YP'ir. La longitude du lieu A par rapport à Paris est irPA. 
Or la figure montre que 



donc 



7rPA=:YPA — yPtt; 



L=zH-lI«. 



Ainsi un observateur, en un lieu A quelconque sur le globe ter- 
restre, peut, sans se déplacer, déterminer l'angle de son méridien 
avec celui de Paris, c'est-à-dire sa seconde coordonnée géogra- 
phique. Pour cela il lui suffît de connaître, à un moment quel- 
conque, l'heure du lieu et celle qu'on noterait au même instant à 
Paris. 

Il est évident que tous les lieux situés sur un même parallèle du 
globe terrestre ont même colatitude, et que les lieux situés sur un 
même méridien ont même heure et même longitude. 

Voilà comment il se fait que la Géographie, c'est-à-dire la con- 
naissance du globe terrestre, est une dépendance immédiate de 
l'Astronomie; c'est ainsi que les navigateurs déterminent chaque 



44 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE I. 

jour leur position au milieu des mers par de simples observations 
célestes. 

Troisième relation, — Ce n'est pas la moins importante. Elle 
consiste en ce que Theure sidérale d*un lieu A est égale non seu- 
lement, comme nous Tavons vu, à Tangle horaire M^ du point y, 
mais aussi à l'angle horaire Me d'une étoile quelconque e aug- 
menté de son ascension droite JRey en sorte qu'on a 

\\ = M^ — Me 4- Mey 

e désignant une étoile quelconque. 

En eflfet, traçons sur la sphère céleste le méridien PA du lieu A, 

Fig. M. 




et marquons sur cette sphère les positions occupées par le point y 
et l'étoile e à l'heure H du lieu A. Nous aurons 

APy- APe-} YPe 
ou bien 

Il — M, 4- Me, 

Notez que cette relation suppose que les M sont comptés dans 
le sens direct, vers la droite, ainsi que nous en sommes convenus, 
tandis que les M le sont dans le sens rétrograde, c'est-à-dire vers 
la gauche de la figure. 

Les astronomes s'attachent à déterminer avec la plus grande 
exactitude les coordonnées uranographiques iR et o des principales 
étoiles. Il est donc facile à tout observateur de choisir parmi elles 
celle qu'il voudra substituer au point y pour obtenir l'heure. 

De même, un observateur n'a pas à se mettre en peine de déter- 
miner le pôle céleste P pour obtenir ZP = \ c'est-à-dire sa colati- 



SYSTÈMES DE COORDONNÉES USITÉS EN ASTRONOMIE. 45 

tade. Il lui suffira de mesurer, dans le méridien de sa station, la 
distance Z& d^une étoile quelconque au zénith. 

Fig. 21. 




La figure ci-jointe montre que 

PZ — Pe — Ze, 

c'est-à-dire 

en désignant par z^ la distance zénithale de Tétoile observée dans le 
méridien du lieu et par 8 la distance polaire de cette étoile fournie 
par les astronomes. 

On remarquera qu'au moment où l'étoile e passe au méridien 
son angle horaire est nul ; la relation 

H = Me -h Me 
se réduit alors à 

H z= Me. 

Par conséquent, l'ascension'droite M d'une étoile n'est autre 
chose que l'heure marquée par une pendule sidérale bien réglée 
quand ladite étoile passe au méridien du lieu. 

Enfin, pour déterminer le pôle indépendamment des coordon- 
nées uranographiques des étoiles, il suffit de remarquer que toute 
étoile circumpolaire passe deux fois en vingt-quatre heures au mé- 
ridien d'un lieu quelconque A, une première fois en e, au-dessus 
du pôle, et une seconde fois en e\ au-dessous. 

Comme Pe = Pe'= S, on aura 

Ze' — Ze =1 2 Pe = 20, 

Zef'H-Ze — 2ZP=:2X. 

La seconde relation montre qu'on a la distance du pôle au zénith 
du lieu par la demi-somme des distances zénithales d'une même 
étoile observée, dans le méridien, à son passage supérieur et à son 



4G LIVRE PREMIER. — CHAPITRE I. 

passage inférieur. Quant au zénith, il est toujours obtenu, à volonté 
et avec précision, soit par le fil à plomb, soit par le niveau à bulle 
d'air. 

En récapitulant ces relations si simples, conséquences immé- 
diates de la stabilité de Taxe de la sphère céleste et de Tuniformilé 
de sa rotation, on voit que Taslr^nome parviendra aisément à dé- 
terminer les coordonnées uranographiques des astres, et que le 
voyageur ou le marin, en possession de ces premiers résultats astro- 
nomiques, saura déterminer les coordonnées géographiques de 
tous les lieux de la Terre. 

Par la première, on a la colatitude du lieu en mesurant la dis- 
tance zénithale du pôle. 

Par la deuxième, on a Theure sidérale du lieu, a un instant 
donné, en mesurant, à cet instant, Tangle horaire d'une étoile 
connue. 

Par la troisième, on a la longitude en comparant Theure du lieu, 
à un instant donné, à celle que Ton compte à Paris, au même 
instant. 

Toute l'Astronomie sphérique est là. Il ne nous reste plus qu'à 
exposer en détail les moyens d'exécution applicables en tel ou tel 
cas, et le» procédés que possède la Science pour donner aux ré- 
sultats la plus grande exactitude possible. 



Usage des globes céleste ou terrestre. 

Dans une foule de questions d'Uranographie ou de Géographie 
où l'on peut se contenter d'à peu près, on se sert souvent de globes 
célestes ou terrestres, c'est-à-dire de sphères sur lesquelles on a 
figuré les étoiles ou les points principaux du globe terrestre. Ces 
globes tournent autour d'un axe dont les deux bouts sont engagés 
dans un limbe en bois ou en cuivre qui représente un méridien. Ce 
limbe est porté lui-môme verticalement par un second limbe horizon- 
tal figurant l'horizon. En faisant glisser le premier dans les rainures 
du second, on donne à l'axe de la sphère l'inclinaison voulue pour 
représenter la position du pôle en un lieu donné. Cette inclinaison 
est le complément de la colatitude du lieu. Si l'on veut avoir la 
position des étoiles sur Thorizon du lieu à une heure donnée, par 



SYSTÈMES DE COORDONNEES USITÉS EN ASTRONOMIE. 47 

exemple au moment où H = i**, on amènera sous le limbe vertical 
le méridien céleste qui coupe Téquateur à la division i^. Alors 
les étoiles qui ont i^ d'ascension droite se trouveront sous ce mé- 
ridien; celles qui se lèvent ou se couchent à i^, pour ce lieu-là, se 
trouveront dans le plan du limbe horizontal. Avec un pareil globe, 
qu'on identifie ainsi avec le ciel, il sera aisé de retrouver dans le 
ciel les constellations, les principales étoiles, et de se familiariser 
avec TAstromonie qu'on peut faire à l'œil nu, sans instruments. 

Par une disposition analogue le globe terrestre permettra de ré- 
pondre à diverses questions de Géographie. Veut-on, par exemple, 
savoir en quels lieux de la Terre le Soleil se lève, en un jour donné, 
quand il est midi à Paris? On commencera par amener l'axe du 
globe sous l'inclinaison voulue pour que le Soleil se trouve au 
zénith du cercle horizontal. Cette inclinaison est le complément de 
la distance polaire du Soleil. Puis on fera tourner le globe jusqu'à 
ce que Paris vienne se placer sous le méridien vertical. Enfin on 
cherchera les points du globe marqués alors par le limbe horizon- 
tal. Puisque la Terre tourne de droite à gauche devant le Soleil, les 
points pour lesquels cet astre se lève se trouveront à la partie du 
limbe située à droite, c'est-à-dire dans l'ouest. Enfin, veut-on sa- 
voir quelle heure il est à New-York quand il est midi à Paris? 
Aucune manœuvre n'est nécessaire; il suffira de lire sur le globe 
la division de l'équateur qui répond au méridien de New-York. On 
trouvera, si la division est tracée en heures d'après nos conven- 
tions, 18** 55" en temps astronomique ou 6** 55*" du matin en langage 
civil. Une dépêche câblée de New-York à 6^55"* du matin arrive 
presque instantanément à Paris, mais à Paris, il est midi. 

Nous donnons ici un Tableau des coordonnées uranographiques 
des plu* belles étoiles et un autre Tableau des coordonnées géogra- 
phiques des principaux lieux du globe terrestre. 



48 



LIVRE PREMIER. — CHAPITRE 1. 



Coordonnées urano graphiques des étoiles principales {pour 1881). 

Noms. ii^> 0. Graadear. 

h m s o / * 

a Andromède o. -i^i^^'X'?. 61. 33. 59, 8 a 

a Petite Ourse (Polaire) i.i5. 7,65 1.19.31,8 -x 

a Éridan (Achernar) i. 33. 16, 61 147. 50.28,9 i 

a Bélier 2. 0.27,96 67. 6. 3,3 1 

p Persée (Algol) 3.0.25,70 49.30.14,2 2-3 

a Taureau (Aldébaran) î.29. 5,57 73.43.52,6 i 

a Cocher (la Chèvre) j. 7.53,96 4»- 7*29» 7 ' 

p Orion (Rigel) 5. 8.49,14 98.20.25,5 i 

a Argo (Canopus) 6.21.18,70 ij2.37.52,4 1 

a Grand Chien (Sirius) 6.39.54,16 106. 33. 14,9 i 

a Petit Chien (Procyon) 7.33. 4î33 84.28.17,0 i 

a Hydre 9.2i.44j37 108. 8.36,8 2 

a Lion (Régulus) 10. 2. 1,98 77-^-7' 6,5 1-2 

a' Croix du Sud 12.19.58,66 1 52. 26. 18,1 . i doubla 

a Vierge (l'Épi) i3.i8.35,{6 100. 32. 23, 2 i 

a Bouvier (Arclurus) if. 10. 13,98 70.11.50, 5 i 

«iBalance.. i4.44''7>75 105.32.46,2 2-3 double 

a Couronne (la Perle) 15.29.38,96 62.53. 2,0 2 

a Scorpion (Antarès) 16.22. 6,71 116. 9.59,4 i-ti 

a Hercule 17. 9.1 3, 25 75.28.22,1 3-| 

« Lyre (Véga) 18. 32. 54, 49 51.19. 34, 5 ' 

a Aigle I9.44'58,58 81.26.41,2 i-^t 

a Paon 20.16.13,90 147. 6.5o,^ 2 

a Cygne (Deneb) 20.37.22,38 4^« 8.39,1 1 

a Poisson austral (Fomalhaul).. 22. 5i. (,3o 120. i5. 10,1 i 

a Pégase 22.58. 49, y 5 7). 26. {,7 2 

On trouvera deux Tables de ce genre beaucoup plus étendues 
dans la Connaissance des Temps. 



Coordonnées géographiques de quelques points de la Terre. 



Lonffitudr. 
h m s 

Paris o. o. o 

Alger o. 2.57 

Genève o . 1 5 . 1 5 

Home o . 40 . 28 

Berlin 0.4 J. 14 



rolalllade. 

!'• 9- 19 
53 .12. Jo 

43.47.56 

48. j.'j.\ 

37.î.8.i7 



Observatoire. 
Phare. 
Saint-Pierre. 
Saint-Pierre. 
Ancien observatoire. 



SïSTÂMBS DE COOBDONNÉES USITÉS EN ASTRON'OUIB. 



49 



Coordonnées géographiques de quelques points de la Terre. 

(Suite.) 



Loofilnde. 
h m t 

Vienne o . 56 . 9 

Cap de Bonne-Espérance. i. 4*^4 

Cap Nord 1.34. o 

Constantinople 1 .46.35 

Saint-Pétersbourg i .5i .53 

Aden a.5i.20 

Bombay 4 • 4 ' • 56 

Calcutta 5.4i. o 

Saigon 6 . 57 . 24 

Pékin 7.36.34 

Sydney 9 . 55 . 33 

Tahiti 1 3 . 52 . 451 

Mexico 17. 4'ï8 

^ew-York 18.54.39 

Cap Horn 19.21.42 

v<a]7 enne ........••.••..• 20.21 .21 

Rio-Janeiro 20. 58. 55 

Saint-Louis 22.44*35 

iMadrid 23 . 35 . 56 

Londres 23.5o. 16 



Coialitade. 
41.47.27 

123.56. 3 
18. 5o. o 
48.59.44 
3o. 3.3o 
77.13.45 
71. 3.53 
67.26.49 

79. l3.20 

5o. 5.47 
123. 5 I .41 
107.29.45 

70.34. i5 

145.58.40 
85. 3.32 

112. 54.15 
73.59. 12 
49.35.3o 
38 . 29 . I I 



Point précis. 

Saint-Étienne. 
Observatoire. 

Sainte-Sophie. 

Observatoire. 

Ile Sîrah. 

Eglise. 

Fort William. 

Observatoire. 

Observatoire impérial. 

Observatoire. 

Pointe Vénus. 

Saint-Augustin. 

City-Hall. 

Sommet. 

Le fort. 

Observatoire impérial. 

Phare. 

Observatoire. 

Saint-PauL 



Coordonnées zénithales. 



Dans tout ce qui précède, nous avons supposé, pour fixer les 
idées, qu'on se servait d'une lunette montée équatorialement pour 
déterminer les coordonnées des étoiles, la colatitude d'un lieu, 
riieure sidérale, etc. Il est bien vrai que cet instrument est em- ' 
ployé par les astronomes, mais dans un tout autre but. Il sert à re- 
trouver aisément un astre dans le ciel et à le suivre dans son mou- 
vement diurne. Quand on connaît la distance polaire de l'astre 
cherché, on a recours au limbe gradué, fixé à Taxe propre de la 
lunette, pour donner à celle-ci rinclinalson 8 sur Taxe principal 
qui reste parallèle à l'axe du monde. Alors, en faisant tourner Tin- 
strument entier autour de celui-ci, l'axe optique de la lunette par- 
courra sur le ciel le parallèle de l'astre cherché, et l'on aura bien 

4 



5o LIVa£ PREMIER. —CHAPITRE I. 

vite fait de trouver celui-ci. Lorsqu'on emploie de forts grossisse- 
ments, le champ de la vision est très restreint; Fastre Ta bientôt 
traversé, en vertu du mouvement diurne ; mais on le suit aisément 
en faisant tourner, à la main^ Tinstrumcnt autour de Taxe principal. 
On adapte même à celui-ci un mouvement d'horlogerie pour lui im- 
primer une vitesse de rotation exactement égale à celle du ciel, et 
alors la lunette suit l'astre dans son mouvement et reste ainsi tou- 
jours pointée sur lui. 

Mais, quand il s'agit de mesures précises, un pareil instrument ne 
vaut rien. La première condition pour mesurer des coordonnées 
célestes, c'est de pouvoir retrouver et vérifier à chaque instant 
la direction de l'axe auquel ces coordonnées se rapportent. Or ce 
n'est pas le cas de l'équatorial. Il faut beaucoup de temps pour 
le régler sur la direction du pôle, et encore n'y parvient-on qu'à 
peu près. Une fois réglé, je suppose, rien ne garantit qu'il con- 
servera cette direction. Le moindre dérangement introduirait des 
erreurs intolérables dans la mesure des coordonnées célestes. La 
seule direction qu'on puisse toujours et à tout instant retrouver 
avec une précision illimitée, c'est celle de la verticale. Il faut donc 
adopter, pour les mesures, un système de coordonnées sphériques 
ayant cette ligne-là pour axe, et un instrument dont l'axe principal 
soit vertical. Ce système est celui des coordonnées zénithales ; l'in- 
strument correspondant est le théodolite. 

Soient 

Fig. a3. 

z 



Z le zénith de l'observateur T ; 

P le pôle ; 

SZPN le méridien ; 

NS la méridienne ; 

OE une droite menée par T perpendiculairement à la méridienne. 

Les quatre points cardinaux seront S, O, N, E. Un point quel- 



SYSTEMES DE COORDONNEES USITÉS EN ASTRONOMIE. 5l 

conque e de la sphère aura pour coordonnées 

la distance zénithale Ze = ^, 
Tazimut SZe := A. 

Les z se compteront à partir du zénith de o® à i8o^ (il sufïirait 
de dire de o" à go", puisque au-dessous de l'horizon on ne voit plus 
rien). Les A. se compteront de o° à 36o°, à partir de la partie sud ZS 
du méridien, dans le sens SONE. Ces conventions comptent pour 
toute la Terre, aussi bien pour Thémisphère sud que pour l'hémi- 
sphère nord. 

Le même système nous servira, en Géodésie, pour rapporter à 
une station T les divers points du globe terrestre situés sur l'horizon 
de ce point. Les azimuts seront comptés encore à partir du point 
cardinal sud, dans le sens où marchent les aiguilles d'une montre 
posée à plat, c'est-à-dire de gauche à droite ; c'est le sens rétro- 
grade. 

Mais ces coordonnées zénithales n'ont d'autre mérite que l'ex- 
trême précision avec laquelle elles peuvent être obtenues. Elles ne 
se rapportent en rien au mouvement diurne de la sphère céleste. 
Pour utiliser les relations que nous venons de formuler, il faut 
opérer par le calcul une transformation et passer, des coordon- 
nées zénithales d'un point, aux coordonnées du même point par 
rapport au pôle. Nous allons traiter cette question d'une manière 
générale avant de décrire le nouvel instrument de mesure, c'est-a- 
dire le théodolite. 



52 



LIVRE PREMIER. ~ CHAPITRE II. 



CHAPITRE IL 



TRANSFORMATION DES COORDONNÉES. 



Transformation par déplacement de Torigine. 

Soit E un point rapporté à l'axe OY et dont les coordonnées 

soient 

;; 1= YOE, D = OE. 



1^. j |. 




Si Torigine est transportée en 0| sur Taxe lui-même (c'est le cas 
usuel), les nouvelles coordonnées seront 

^, =:YO»E, D, =:0,E. 

Il s'agit d'obtenir les relations qui lient Tune à l'autre ces diverses 
coordonnées. Prenons pour intermédiaire un système de coordon- 
nées reclilignes rapportées aux axes OY, OX; celles du point B 

seront 

jT^Dcosc, jrz^Dsinj, 

et, si l'origine vient en 0|,on aura 

j, =DiCos^,, Xi=:Di sinj,. 

Pour passer des unes aux autres, on a, en posant 00| == r, les 



TRANSFORMATION DBS COORDONNÉES. 53 

relations 

Xi =z Xj 

yx^y — r. 

Par substitution, il vient 

D| sin^i =:Dsin>j, 

Di cos-^i =: D cos^ — r. 

Les astronomes n'ayant que des déplacements d'origine 00| 
ou r extrêmement petits par rapport aux distances des astres D 
etD|, ils préfèrent calculer la différence 

(i) z^ — z=p. 

Pour cela retranchons la deuxième équation de la première, après 
les avoir multipliées respectivement par cosz et sins : 

(2) Di sin/^ =: /• sin ^. 
Ajoutons-les, après les avoir multipliées parsin^ et cos5 : 

(3) D, cos/?= D ^ rcos j. 

On en tire 

/• . 

tanffp=— — — ■ — . 

/• 

I — Y^C0S5 

Les équations (i), (2), (3) contiennent toute la Trigonométrie 
rectiligne (équations du triangle 00|B) si Ton y remplace z^ par 
BOO| = 180** — -3|. Par exemple, en élevant au carré (2) et (3) 
et en les ajoutant, on a 

D} =z D* 4- /•' — 2 D r ces z. 



Coordonnées sphériques. Manière de représenter une direction 

ou un plan. 

Soient T le centre de la sphère, TA Taxe des coordonnées, XY un 
grand cercle, un équateur, dont le plan est perpendiculaire à TA, 
AX le méridien à partir duquel on compte les angles dièdres autour 



54 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE II. 

de Taxe TA, de gauche à droite pour un observateur placé dans 
Taxe, les pieds sur le plan de l'équateur. Une direction quelconque 
TCE sera représentée par le point C où la sphère est percée par la 
droite TE. Faisons passer un méridien AC par ce point; ses coor- 

r ig. lô. 



données seront : i^^Tangle dièdre XAC = A ; V Tare AC = 6, qui 
mesure l'angle de TE avec TA. 

Les angles dièdres A peuvent se compter de o" à 36o** en deux 
sens opposés autour de Taxe TA, soit de gauche à droite pour un 
observateur placé le long de Taxe, les pieds sur Téquateur du sys- 
tème, ou bien de droite à gauche. Nous adopterons dans la figure 
le premier sens. La coordonnée b se compte à partir du point A, de 
G*» à i8o* seulement. 

Un plan passant par le centre T coupe la sphère suivant un grand 
cercle qui rencontre Téquateur sous une inclinaison i, en deux points 
opposés û et O. Ces deux points portent les noms de nœud ascen- 
dant et de nœud descendant. Les astronomes ne considèrent que 
le premier, dont voici la définition : c'est le point où un mobile par- 
courant ce grand cercle de gauche à droite, sens adopté ici pour 
le moment, rencontrerait Téquateur en montant de la région infé- 
rieure à la région supérieure, c'est-à-dire à celle où se trouve 
Taxe TA. Pour fixer ce point, il suffit évidemment d'en donner la 
coordonnée dièdre XAû = N qui peut varier de o à 3tio®. Ainsi 
les deux éléments qui servent à fixer la position d'un plan passant 
par T sont i et N, i variant de o à 90°. 

Comme nous aurons souvent besoin de rapporter une direction 
ou un plan à des coordonnées rectangulaires, nous prendrons pour 
axe des z la ligne TA, les z positifs étant comptés, comme TA, au- 
dessus du plan fondamental ; pour axe des X la ligne TX, trace 
du plan méridien pris pour origine des angles dièdres ; pour axe des 



TRANSFORMATION DES COORDONNÉES. 55 

Y une droite dirigée dans le plan fondamental à 90® de TX, dans 
le sens où Ton compte les A. 

Si l'on projette le rayon TC = r sur l'axe des ^, on aura 
z^=.r cosb. Si on le projette sur le plan des XY, on aura rsinè. 
Cette dernière droite faisant l'angle A avec TX, sa projection sur 
l'axe des^ sera rsinècosA et sa projection sur celui des y sera 
rsinb sinA. On aura donc 

z=: r cos by 
x=: r sin6cosA, 
y =z rsinb sin A, 

expressions où l'on peut effacer le facteur r en le prenant pour 
unité. 

Quant au plan, son équation sera 

mz -h nx '\- py=z o, 

— > — > — étant les cosinus des angles a, p, y que la normale TQ à 

ce plan (sa partie située au-dessus du plan des XY) fait avec les 

axes, en posant 

/n' -h n' -h /?' =: c*. 

Pour trouver les relations qui doivent exister entre i et N d'une 
part et ces coefficients de l'autre, projetons TQ sur le plan XY en 
TQ'. La coordonnée dièdre du point Q aura pour mesure l'arc 
XûQ'y compté dans le sens convenu. Elle est évidemment égale à 
Xû-4-270** ou à N 4- 270°. D'après cela, les coordonnées recti- 
lignes du point Q pourront s'exprimer de deux manières : 

rcosa, rcosp, rcosy 
ou 

rcosi, r sine cos (N H- 270"), rsini sin(N -h 270°). 

On aura donc les relations 

— =:cosi, — =sm«sinIN, — =: — siiwcosIN. 



Condition pour que trois points de la sphère , donnés par leurs 
coordonnées angulaires, soient sur un arc de grand cercle. 

Autrement dit, il faut que les trois points G, C, G" soient dans 
un plan passant par le centre T. Les neuf coordonnées rectilignes 



56 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE II. 

de ces points devront donc satisfaire aux trois relations . 

n p 

Z H X -|-^-Vz=:0, 

z' -\ — x' 4-— y = o, 

z" -^ x" -h-^ y^z^o. 

m m ^ 

La condition cherchée résultera de Télimination des deux con- 
stantes — et ~ entre ces trois équations. Faisons la somme de ces 
m m ^ 

trois équations, après avoir multiplié la deuxième par \ et la troi- 
sième par [JL. Les termes en — et — disparaîtront si nous posons 

.r -\-\x' -\- \xx" ^z o, 

VH-Xy-f-|X7'=:0. 

Les valeurs correspondantes de X et de [jl ont pour expressions 

. xy — Yx" xy' — yx^ 

"~ ~~ yor' — x'y' ^^ ~~ yx" —^x'y" ' 

La condition cherchée sera donc, en chassant le dénominateur 
dans la somme susdite, 

(yx" — x'y)z — (xy" —yx'')z' -h (xy — yx')z'' — o. 

Remplaçons ces neuf coordonnées par leurs expressions angu- 
laireS) divisons tous les termes par le produit sinfc sinfc'sini'^, et 
remarquons qu'alors 

y x" — x'y se réduit à siii(A'' — A'), 
xy - - yx" n sin (A" — A ) , 

xy — yx' )) sin (A' -A); 

nous aurons Cnalcment la condition 

sin(A'— A')cot6 — sinCA"— A)cot^>'-hsin(A'— A)cot^*'=o. 

Pour déterminer ce plan, il faudra tirer — et — des deux nre- 



TRANSFORMATION DES COORDONNÉES. 67 

mièrcs équations, ce qui donne 

n zy' — vz' cot6sinA' — cot6'sinA . . ^, 

ni xy — yx sin ( A — A ) 

p zx' — xz' cot b cos A' — cos b' col A . , 

-^ = - , — , = ; — T-7 T = — tang£ cosN. 

m xy — yx sinA — A 

d'où l'on tire i etN sans ambiguïté, car, d'après nos conventions, il 
sufïit de prendre i<^Qo^\ tange est alors positif, et le quadrant où 
il faut prendre N est indiqué par les signes de son sinus et de son 
cosinus. 



Changement de direction de Taxe des coordonnées sphériques. 

Nous supposerons que les angles dièdres des deux systèmes soient 
comptés dans le même sens. Soient donc TA l'axe primitif, A et h 
les coordonnées d'un point G de la sphère. 

rig. jC}. 



Inclinons vers la gauche l'axe de ce système d'un angle r, en TB, 
dans le plan même que nous avons choisi pour origine des angles 
dièdres A, et prenons ce même plan pour origine des angles diè- 
dres B comptés autour du nouvel axe. Les coordonnées nouvelles 
de C seront XBC = B, BC = a. 

Pour opérer cette transformation, prenons comme intermédiaires 
les coordonnées rectilignes du point G rapportées aux axes ÏZ, TX, 
TY; nous aurons 

z^=zcosbf .r=: sin 6 cos A, ^=1 sin 6 sin A. 

Faisons tourner les axes TX et TZ de l'angle ATB = c, en ap- 
pelant 3|, ûCty^i les nouvelles coordonnées. 



58 LIVRB PREMIER. — CHAPITRE II. 

Elles auront pour expressions 

^izzrcosa, j:|Z= sinacosB, j'i= sinasinB. 

Les formules de transformation pour les coordonnées linéaires 
étant 

j?i rzz: ^ sin c -f- j: cosc, 

celles des coordonnées angulaires seront 

cosa=z cosc ces 6 — sincsin6cosA, 
sinacosB= sinccos6 -h cosc sin6cosA, 
sinasinB= sin6sinA. 

Ces formules sont absolument générales. Tous les angles peuvent 
être comptés de o® à 36o° ; mais, comme nous n'avons besoin de 
compter les a, 6, c que de o" à i8o°, [il n'y aura jamais ambiguïté 
dans leur interprétation. En effet, pour calculer a et B au moyen 
de 6, A et c, les deux dernières donnent les signes de cosB et sinB, 
puisque sina sera toujours positif. 

Ces trois équations ne sont pas entièrement distinctes; si on les 
ajoute après les avoir élevées au carré, on aboutit à Tidentité i = i ; 
mais leur ensemble aTavantagc défaire disparaître toute ambiguïté. 
Elles s'appliquent au cas où Ton passe du pôle A au pôle B. Pour 
la transfor-mation inverse, il suffirait de changer a, B en 6, A et c 
vn — c. 

Application de ces formules aux coordonnées célestes. 

Introduisons dans ces formules les notations relatives à nos 
systèmes de coordonnées célestes. Si, après avoir mesuré la distance 
zénithale A et Tazimut z d'une étoile, en un lieu de colatitudc X, on 
veut en déduire pour le même instant les coordonnées horaires 8 
et Alj il suffira de remplacer dans les formules précédentes les 
lettres b, A, c, a, B par 5, A, \ 8, ifl, ce qui donne 

cos 8 = cosX C0S5 — sin X sîn^ cosA, 
5in5coSifî== sinXcos5-f- cosX sin^cosA, 
sin8sinifl=: sin^ sin A. 



TRANSFORMATION DES COORDONNÉES. Sq 

Si au contraire on avait 8 et M, et qu'on en voulût conclure les 
coordonnées zénithales z et A, on opérerait une simple permutation 
de lettres en remplaçant X par — X, De là 

cos z ^rz cosX coso 4- sin X sinScoSiU, 
sinz cosA = — sinX cos8 -f- cos X sino cosiîl, 
sin 5 sin A = sin 8 sin M» 

Il serait bien facile de rendre ces formules calculables, comme 
Ton dit, par logarithmes (*). Les astronomes ne s'en préoccupent 
guère. L'essentiel pour eux est d'obtenir les résultats avec toute la 
précision que les Tables comportent. Pour cela il importe de déter- 
miner les angles par leurs tangentes qui, dans la région la moins 
favorable des Tables, celle où la différence des logarithmes des tan- 
gentes est la plus petite, c'est-à-dire vers 45", donnent une exactitude 
double de celle des sinus ou cosinus. Or, en divisant la troisième 
équation du dernier groupe, par exemple, par la deuxième, on a 
tang A ; puis, connaissant A sans ambiguïté, puisque les signes de 
sin A et de cos A sont ^donnés par les deux dernières, on divise la 
deuxième ou la troisième par la première et on a :; par sa tangente. 

Il est facile devoir que, si l'angle horaire ^ï croît proportionnel- 
lement au temps, il n'en est pas de même de l'azimut A. II n'y a 
qu'une chose de commune à ces deux angles dièdres : c'est qu'ils se 
trouvent du même côté du méridien, à la fois plus petits ou à la 
fois plus grands que i8o°. Ces formules revenant sans cesse dans ce 
Cours, elles se graveront d'elles-mêmes dans la mémoire. 

C'est ici le lieu d'exposer la Trigonométrie sphérique qui est con- 
tenue tout entière dans ces formules. 



(*) En posant cos 6 =: m cos cp, sin 6 cos ^H = m sin ç, on aura 

cosz = m cos (9 — X), 
sin 5 cos A — m sin(o — X), 
sin^ sin A = sinÔ siniH. 

Rien n'empéchc de convenir que m sera positif; dès lors 9 est obtenu sans ambi- 
guïté. 



6o LIVRE PREMIER.' — CHAPITRE II. 

Trigonométrie sphérique. 

Les premières équations se rapporteront au triangle sphérique 
ABC, à la seule condition d*y remplacer A par son supplément 
i8o** — A et de limiter les angles dièdres A, B à i8o®. On a ainsi, 
pour le triangle quelconque ABC, 

(i) cosazricosccos^ 4- sincsin6cosA, 

(2) sinacosB ^= sincco$6 — coscsin^cosA, 

(3) sinasinBi= sin^sinA. 

En divisant (2) par (3), on aura une nouvelle forme d'équation : 

(4) sinAcotB = sine col 6 — cosccosA. 

Ces équations s'appliqueront au triangle supplémentaire dont les 
angles sont les suppléments des cotés du triangle ABC et dont les 
côtés sont les suppléments des angles dièdres du même triangle. 
(3n obtiendra donc de nouvelles relations entre les six éléments «, 
/>, c, A, B, C en remplaçant, dans ( i ) et (2), « par 180° — A, etc. 
et réciproquement. Il vient ainsi 

(5) cosA = — cosGcosB -h sinC sinB cosa, 

(6) sinAcos^=: sinCcosB -+- cosGsinBcosa. 

La même substitution dans (3) et (4) ne donnerait pas lieu à des 
formes nouvelles. 

Par simple permutation des lettres, on obtiendra trois équations 
des formes ( i ), (3), (5) et six des formes (2), (4), (()). Telles sont 
les relations suffisantes pour résoudre tous les problèmes des 
triangles sphériques. Remarquons seulement qu'il faut trois don- 
nées; par suite, les seules relations immédiatement utilisables sont 
celles qui n'en comprennent que quatre, comme les groupes (i), 

(3), (5). 

Formules calculables par logarithmes. 

En partant de l'équation ( i ), on a 

co'^a — cosccosA 

COSA = — — : — ', — . • 

snie^sinc 



TRIGONOHÉTRIE SPUÉRIQUE. 6l 

Par une transformation connue (*), on en tire 

. cosflr -h r()s(^ — r) , ... 

i — cos \ =z ^ — ; — -. zm 2 siii*i A , 

sint^siiic ' 

. cosflr — cos(^-i-r) ... 

I -h COsA=r ; — j—r^ i :=: aCOS^jA, 

sint^sinc ' 

d'où, en posant rt -f- ft -|- r = 25, 



siii IA=: 



/siii(,y — b) siii(5 — c) 
y sin^siiic 



, V ; f 4 /siii(.ç — rtisiii.ç 

\ \ smo9>inc 



, . , siii ( .V — h ) sin (s — c) 
laiig^A= 4/ :— . 

' y SlIl(.V --- <7) SlIl.V 

On doit prendre le radical positivement, parce que, A ne pouvant 
dans un triangle dépasser 180", sa moitié ne peut dépasser 90°. 
Demémeondéduiraitdugroupe(5),en posant A 4- B-f-C = 2S, 



, / — cos s cos (S — A ) 

SIII J // ~ i / —^ 



.ov ' I . /cos(S — B)cos(S — C) 

(8) < ros \fi— i / ■ » . . , 1 

I Y siiiHsinli 

/ — ros S ros (S — A) 
i.ui,,..- y ,.os(S-B)cos.(S-C) 



Analogies de Delambre et de Neper. 

Ecrivons ici les deux premières analogies des sinus ( i ) : 

sin a sin B = sin^ sin A, 
sin a sin C =: sin c sin A. 



(*) Nous rappelons ici les formules usuelles : 



sina ■+• sinA = 2sin\{a -\- b) rosî(a — A), 
sina — sinô^ 2sin[(a — 6)0057(0-1-6), 
cosrt -+■ cosb -~ acosj (a -i- b) cos|(a — 6), 
cosa — cos6 - — jsinj (a — b) sinï(a 4- b). 



6a LIVRB PREMIER. — CHAPITRE II. 

Combinons-les par addition cl soustraction, en remplaçant les 
sommes ou les difTérences de sinus par des produits: 



(«) 



(à) 



sinja CCS Art sin|(B -h C) cos|(B — C) 
=: sin|A cos^A sin|(6 ■+- c) cos{(6 — c), 

sin|acosja sin}(B — C) cos{(B H- C) 
= sin^A ces J A sin^(6 — c) cos{(6 ■+- c). 



Ces équations, décomposées en facteurs, donnent immédiate- 
ment les équations de Delambre: 

sin^acos|(B — C) = sin^A sin^(6 -f- c), 
cosja sini(B -4- G) = ces JA cos|(6 — c), 
sin \a sin J(B — C) = cosj A sin \(b — c), 
cos}acosA(B -i- C) = sinJA cos|(6 4- c). 

Le produit des deux premières reproduit Téquation (a); le pro- 
duit des deux dernières reproduit Téquation (6). Pour vérifier la lé- 
gitimité de cette décomposition , il suffira de remplacer dans les der- 
nières équations les sinus et les cosinus des angles -^A, -^B, ^C 
par leurs expressions tirées du groupe (7); elles se réduisent alors 
à des identités. 

Chacune de ces analogies comprend les six éléments du triangle 

sphérique ; mais, en les divisant deux à deux , on obtient les analogies 

deNeper, qui se prêtent parfaitement à la résolution des triangles. 

Ce sont 

. /T> /^v cosl(6 — c) , . 
tangUB -+-€)= J-tt r cet a, A, 



(9) 



CCS J(6h- c) 

lang-HB — C) = . ? , ^ coti A, 

./i V cosUB — C) , 

tangi(6 -H c) = ^^^l^-jj-^ Ungja. 

I 1 / 1 X sin J(B — C) , , 



TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE. 63 

Triangles rectangles. 

11 sufTit de faire A = 90** dans les trois formules fondamentales 
(i), (2), (3); elles deviennent 

(i) cosa= cosccos6, 

(2) sinacosB = sinccos6, 

(3) sina sînB = sin6. 

d'où, par permutation, 

(4) sinacosCnz sin6cosc, 

(5) sina sinC::=: sine. 

En divisant (2) et (4) par (i), puis par (5) et (3), puis par (3) 
et (5), respectivement, on aura 

(6) 
(7) 
puis 

(8) 

(9) 
puis 

(10) cotB=:sinc cot6, 

(11) cotC = sin6cotc, 

dont le produit donne enfin 

(12) cotB cotC:= cos6cosc = cosa. 
A titre de moyen mnémonique, posons 

b = 90** — 6', c=: 90*» — </ ; 

les équations utilisables pourront être écrites ainsi: 

cosa ^sinc/sinô', cosa=:cotB cotC, 

cos 6' =: sin a sin B, cos b' = cote' cotC, 

cose'^: sina sinC, cose'=cot6'cotB, 

cosB = sinô'sinC, cos B z= cota cotC, 

cosC = sine' sin B, cosC=i colacotB. 



tangacos 


B 


tange, 


tangacos 


>G 


— tang6, 


cosB 
sin G 




cos by 


cosC 
sinB 


— 


cose, 



G4 LIVRE PREAIIER. —.CHAPITRE II. 

Si Ton considère Tordre dans lequel se suivent les cinq quan- 
tités b\ c\ B, a, C,Iorsqu'on tourne autour d'un triangle rectangle 
en sautant l'angle droit A, on voit que le cosinus de l'une d'elles 

« irr •»•• 




^» 



est égal au produit des cotangentes des deux éléments adjacents 
ou au produit des sinus des deu\ éléments non adjacents. 

Résolution des triangles quelconques. 

Ktant donnés trois des six éléments d'un triangle, les formules 
que nous venons d'exposer permettent de calculer les trois autres, 
de même (jue la Géométrie permettrait de les construire à Taide 
dune sphère et d'un compas. 

On peut donner : 

I** Les trois côtés; 

•>.° Les trois angles ; 

V^ Deux côtés et l'angle compris ; 

4** Deux angles et le côté commun ; 

j*' Deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux ; 

6** Deux angles et le côté opposé à l'un d'eux. 

Inutile d'ajouter que les données doivent satisfaire avant tout aux 
conditions d'existence des triangles; en d'autres termes, chaque 
angle ou cliaque côté doit ôlre compris entre o® et iSo*', un côté 
(|uelcon(|uc doit être plus petit que la somme des deux autres, la 
somme des trois côtés doit être moindre que 36o^, et celle des 
trois angles doit être comprise entre ï8o® et 540*^. 

I^es quatre premiers cas ne donnent lieu à aucune discussion. \jt 
triangle peut toujours être construit géométri(|uement, et il est 
unique; il en sera de même du calcul. Les deux premiers sont tout 
résolus par les groupes ( i ) ou (5), et, si l'on tient à emplover des 
formules dites calculables par logarithmes^ par les groupes (7) 
ou (8). Les deux cas suivants se ramènent aux premiers par les 
i'ormules ( 1 ) ou (5). 11 est plus simple d'y employer les analogies 



TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE. 65 

de Neper. Si par exemple les données sont 6, c, A, on calculera 
B — C et B -h C par les deux premières analogies, puis a par Tune 
des deux autres. 

Les deux derniers cas peuvent conduire à une, à deux solutions 
ou à une impossibilité. On s'en rend compte aisément par la Géo- 
métrie. Si les données sont, par exemple, a, b et B, on construira 
sur une sphère l'angle dièdre B et sur Tun des côtés on portera le 
côté a; puis de l'extrémité de ce côté comme centre on décrira, 
avec un compas d'ouverture 6, un arc de petit cercle qui coupera 
le côté indéfîni de l'angle B en deux points, ou qui le touchera en 
un seul, ou ne le rencontrera pas. 11 y aura même à examiner, dans 
le cas de la double rencontre, si les deux solutions sont acceptables. 
Il nous suffira de faire remarquer que, dans le calcul, on est obligé 
de se servir d'une analogie des sinus pour obtenir l'angle A. 

sinô sin A = sina sinB. 

Si la valeur qu'on en tire pour sin A est plus grande que i, le 
problème n'a pas de solution ; il n'en a qu'une si cette valeur est 
égale à l'unité; il en a deux si sinA<^i, puisqu'à chaque sinus 
répondent deux arcs supplémentaires également admissibles pour 
un triangle. Il reste à savoir, dans ce dernier cas, si les doux solutions 
sont acceptables et cadrent avec les données. Or, dans tout triangle, 
de deux côtés, le plus grand est opposé au plus grand angle; en 
d'autres termes, B — A doit être de même signe que b — a. Si les 
deux valeurs trouvées pour A satisfont à cette condition, il y a deux 
solutions; autrement il faudra rejeter celle qui n'y répond pas. 

Il n'y a pas lieu d'insister beaucoup sur ces discussions, car les 
astronomes ont l'habitude de se procurer d'avance, par des moyens 
que nous aurons l'occasion d'exposer, des valeurs approchées des 
éléments inconnus. D'ailleurs on ne rencontre pas dans la pratique 
de triangle impossible, puisque les phénomènes observés sont de 
toute réalité. 

Sur les calculs trigonométriques. 

Avant tout il faut se rendre compte du degré de précision des 
données, afin d'y proportionner la précision des calculs. Si les ob- 
servations sont faites à la minute ou même au dixième de minute 

5 



i)(\ LIVRE PREMIER. — CHAPITRE II. 

près, des logarithmes à cinq décimales suffisent. Si elles pn'- 
tendent à la précision de la seconde, on emploiera des Tables à six 
ou même à sept décimales. 

Quel que soit ce nombre, le dernier chilFre d'un logarithme pris 
par interpolation dans la Table sera aficclé d'une erreur comprise 
ontre o et i. Entre ces limites, toutes les erreurs sont également 
probables ; au delà elles sont impossibles (sauf le cas, excessivement 
rare, d'une faute d'impression). Il est essentiel de remarquer que 
ces erreurs sont indifféremment en plus ou en moins :1a probabilité 
est absolument la même pour les deux cas. 

Cela posé, lorsque Ton combine plusieurs logarithmes par voie 
d'addition ou de soustraction, comme dans tous les calculs dont 
nous aurons à nous occuper, il y aura une compensation au moins 
partielle des erreurs dont ils seront affectés, puiscjue celles-ci sont 
positives pour les uns, négatives pour les autres. Cette compensation 
spontanée d'erreurs qui se produisent indifféremment dans un sens 
ou dans l'autre, et qu'on pourrait appeler /b/7//i7(?.ç, joue un si grand 
rôle en Astronomie et même dans toutes les sciences d'observation 
<*t de mesure, que nous devons nous y arrêter un moment pour 
vn donner une preuve de fait. 

Prenons, dans une Table à cinq décimales, les vingt premiers lo- 
garithmes et faisons-en la somme. Chacun de ces nombres (il s*agit 
<le logarithmes irrationnels) est aflecté d'une erreur comprise 
<;ntre o et ^ unité du sixième ordre décimal. L'erreur résultante 
s'obtiendra avec une très grande précision si nous faisons la même 
somme au moAcn d'une Table à sept décimales. On trouve alors que 
l'erreur, qui pourrait en toute rigueur s'élever à près de lo unités, 
n'est que de — i,66. Il y a donc eu une large compensation d'er- 
reurs. Si l'on répète celte expérience sur les vingt logarithmes sui- 
vants, on trouve que l'erreur est -f- •>-,! 6» Eu opérant ainsi vingt 
fois de suite, on obtient les résultats suivants: 

i3 erreurs comprises entre o et i, 
i » » I et 'i, 

•4 n n •?. et 3, 

i » » 3 et /|. 

Ainsi, une compensation partielle des erreurs est énormément 
plus probable que leur accumulation soit dans un sens, soit dans 



TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUB. G7 

l'autre. Le Calcul des probabilités, appliqué à cette question, 
montre qu'il y a 

•>. \^2 900 000 000 000 000 

à parier contre i que la somme de vingt logarithmes pris au hasard 
ne sera pas en erreur d'une quantité comprise entre 9 et 10 unités 
du dernier ordre. 

Dans le calcul dos formules trigonométriques, Terreur probable 
du résultat, en tant qu'elle provient des Tables et de l'interpolation, 
«*st d'environ i unité du dernier ordre décimal. 

Il est aisé, d'après cela, de juger du degré de précision qu'on at- 
teindra avec une Table à cinq décimales. Les angles étant obtenus 
par leurs tangentes, consultons la région la plus défavorable, celle 
où la difjférence de deux logarithmes tangentiels consécutifs est la 
plus petite. Nous trouvons que, vers 45*^, cette différence est de 26 
pour 1'. L'erreur probable de 1 unité introduira donc dans l'angh; 

conclu une erreur de — r> c'est-à-dire d'un peu plus de a". L'erreur 

serait cent fois moindre, c'est-à-dire d'un peu plus de o", 02, si l'on 
avait recours au\ Tables à sept décimales. 

Il est très facile d'acquérir l'habitude du calcul, pourvu qu'où 
observe les prescriptions suivantes, qui tiennent à un ordre d'idées 
connu sous le nom de division du traitai/. En premier lieu, in- 
scrire avec soin les données numériques et réunir les formules à 
employer; en second lieu, faire le Tableau des calculs en blanc, de 
manière à n'avoir plus qu'ày porter les nombres. Par exemple, s'il 
s'agit d'appliquer la formule 

y siiiA'sm(.y — a) 

on dressera d'abord le Tableau suivant : 



a 
b 
r 


logsinf^ — b) 
lojî;sin(* — c) 
C Ion; sin s 


'À s 


ri*loj;sin(5 — a) 


s 

s — a 
s b 
s — c 


1%'tan-^A 
A 



Vérif. somme = s 



68 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE II. 

Alors on ouvre la Table de logarithmes, et l'on n'a plus à se 
préoccuper que de ne pas commettre d'erreurs de transcription. 
Quant aux additions ou soustractions, il est de règle de n'en jamais 
passer une sans la vérifier immédiatement. Les parties proportion- 
nelles se calculent sur une petite feuille séparée, afin de ne pas 
gâter l'aspect des calculs, car, si les calculs sont bien écrits, bien 
ordonnés, et qu'une faute vienne à s'y glisser, un coup d'œil sur la 
marche des nombres suffit souvent pour la faire reconnaître. 

Les Tables à trois, quatre ou cinq décimales sont si commodes, 
que les astronomes s'attachent le plus souvent à ramener ces cal- 
culs à leur emploi. Pour cela ils se servent du développement 
des formules en séries, lorsque cela est praticable, c'est-à-dire 
lorsque celles-ci renferment une ou plusieurs quantités assez petites 
pour que leur carré ou leur cube, etc., soit négligeable. 

Formules différentielles des triangles sphériques. 

Ces formules sont d'un continuel usage en Astronomie. 

En effet, les mesures des coordonnées des astres ou des éléments 
de certains triangles sont toujours affectées d'erreurs plus ou 
moins sensibles; il importe donc d'apprécier l'influence que ces 
erreurs peuvent avoir sur'les éléments conclus, angles ou côtés. Ces 
erreurs étant toujours très petites, de sorte que leurs puissances 
supérieures à la première sont parfaitement négligeables, on est 
autorisé à les traiter comme de simples différentielles du premier 
ordre. Dès lors, en différentiant les équations du triangle par rap- 
port aux éléments affectés d'erreurs, on obtiendra les relations 
nécessaires. 

Supposons, par exemple, que dans le triangle ABC la mesure du 
côté c soit affectée d'une erreur ± de : quelle sera l'influence que 
cette erreur exercera sur les éléments conclus a, B, C? Il suflira, 
pour l'apprécier, de dilférentier les équations fondamentales ( i ), 
(2), (3) par rapport à c, «, B, et, comme l'angle C n'y entre pas, 
on y joindra une équation du groupe ( i ) : 

cosc=- cosrtcos^-h sin« sin/y cosC. 

Par ( 1 ) on aura, A et b étant invariables, 

— s'inada =z ( — sînccos6 -h coscsinft cosK)dc, 



, TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE. 69 

d'où, en tenant compte de (2), 

da = cosBt/c. 
L'analogie ( 3 ) donnera 

cosasinB<ia H- sinacosBe/B = 0, 

d'où 

sinat/B :== — cosasinB^fc. 

Enfin la relation susdite en cosc donne 
— sincd/c= ( — sinacos^ -f- cosasinôcosC)efa — sinasin^sinCt/C 

ou bien 

sine de = sinccosB^a 4- sina sinôsinCefC. 

En y portant la valeur de da et en comparant avec la troisième 
analogie des sinus, on aura 



SI 



in a dC 1= — sin B de. 



Ainsi, une erreur sur le côté mesuré c aura d'autant plus d'in- 
fluence sur les angles conclus B et C que le côté a sera plus petit. 
Comme les triangles célestes sont perpétuellement variables, cela 
nous avertit de ne mesurer les éléments du triangle ACB, dont 
on a besoin pour en conclure B et C, que lorsque le côté a aura 
acquis une grandeur suffisante. 

On obtient souvent les mômes résultats par la Géométrie, plu»' 
simplement que par le calcul. Soit BD (sans figure) l'erreur infi- 
niment petite commise sur le côté AB, et E la projection du point 
D sur CB. Le triangle élémentaire BDE, rectangle en E, donne 

BE=BDcosB ou c?a = cosBt/c, 

puis 

DE = BDsinB. 

Or le triangle rectangle DEC donne, par l'analogie des sinus, 

sin DCE I . li- ' Tt j 

— ;— iCT^ = ---w^T-^ ou sinaaLi := — sm bac, 
sinDE sinDC 

en tenant compte du sens attribué à BD sur la figure. 

C'est ici le lieu de faire une remarque importante. Quand on 



70 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE II. 

voit figurer dans une formule de ce genre les différentielles des 
angles dièdres mêlées à celles des côtés, on observe que les pre- 
mières sont toujours multipliées par le sinus du côté variable dr 
l'angle dièdre. Cela tient à ce que rfB et da ne sont pas des quantités 
de même espèce; da est une portion d'arc de grand cercle; rfB, 
à lui seul, n'exprinfie rien de semblable. Les variations des coor- 
données d'un point doivent représenter les petits déplacements de 
ce point mesurés sur des arcs de grand cercle. Si le point C, par 
exemple, a pour coordonnées BC = z et CBA ou B, dz représen- 
tera un déplacement du point C dans le sens BC; rfB n'exprime- 
rait qu'une variation de l'angle dièdre B qui laisse indéterminé Ir 
déplacement du point C dans le sens perpendiculaire à BC. Poui- 
définir celui-ci, il faut écrire sin ^</B, forme qui exprimera, comnir 
dz^ un petit déplacement linéaire CD. 



Nous n'insisterons pas davantage sur ces relations différentielles, 
parce que nous aurons sans cesse occasion d'y revenir. Il suffira de 
les indiquer au fur et à mesure des besoins. 

Développement en série des fonctions trigonom étriqués. 

Les astronomes font un continuel usage de ces développements 
lorsqu'il se présente, dans les formules, des angles ou des arcs assez, 
petits pour qu'on soit en droit d'en négliger les puissances supé- 
rieures. Ils réduisent ainsi ces formules à de petits termes pour 
lesquels des Tables à trois ou quatre décimales suffisent amplement . 
Le procédé général consiste dans l'application de la série de 
Maclaurin. Une fonction y =zjl^x) peut être mise sous la forme 



.r« 



V=y(0)-^^/(0)4-— /"(O)-^..., 



TRIGONOMETRIE SPUERIQIE. 7I 

pourvu que celle fonclion el ses dérivées reslent continues dans 
Tinlervalle où on les emploie, el que la série soil convergente. 
Prenons pour exemple Féqualion des Iriangles rectangles 

taille = tanjïrt cosB. 

Si B n'est pas très grand, c différera peu de a, et il y aura avan- 
tage à développer c — a en série procédant suivant les puissances 
ascendantes, non pas de cosB, mais d'une autre fonction deB dont 
les puissances décroissent très rapidement. Posons 

i — cosB ,,^, -, ,- I — .r 

— 1^ = laiiîî'iB = X, (1 où cosli 1= — - — 

I -f- cosB ^ * I H- j" 

En portant celte expression dans celle de tang(c' — a\ 

lange — lancrtr laniir^(i — cosB) 
i -f- lange tanga i h- tang*^ cosB 

on aura, toutes réductions faites, 

c — flr =: arc taiiii: r=r/(x). 

I -h JTCosaa '' 

^ En différentiant/(j:*) plusieurs fois de suite : 

.., ^ — sins?<r7 ^„, , 2J" sinsîr/ -h sin/i^ 
f{x)— , f\x)—-. , 

I H- oT* 4- c? J'- COS 9. rt' ^ (l -h J^-^-h '^J-COS'.i/'/j- 

Il n y aura plus qu'à faire ^ = o dans/^j') et ses dérivées, ce qui 

donne 

/(o) = o, /'(o) = — sin2flr, f\o) — û\\^\a. ..., 

et Ton aura, en mettant pour x sa valeur, 

c — «=: — lang*-J^B sin!2rt H--ilang*{B siii:4rt — ^tang*^B sin6fl 4- 

Lagrange a donné une autre méthode plus simple et plus élégante 
pour obtenir ces développements d'une manière purement algé- 
brique. Elle consiste à remplacer les lignes trigonométriques pi:r 
leurs expressions en exponentielles imaginaires. Dans le cas aclueU 
en employant l'expression précédente de lang(e — a) en fonction 
de Xj nous aurons 

7 e'^'*-"^ 4-e '"-'*^ ~~ 7 2~4- .re*''* -h xe-^'" ' 



72 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE II. 

Combinons les deux termes de chaque fraction par voie d'addi- 
tion et de soustraction ; il viendra 



Prenons les logarithmes népériens des deux membres et rempla- 
çons, par des développements, les logarithmes des deux termes du 
second : 

2i(c — a) = a:e-*''^ — ^x^e-''^" -h\jc^e-^"^ -•••, 
— are*'" H- ^jc^e^'"" — J x»e«"» -h . . .. 

On divisera par 2/, on repassera des exponentielles aux sinus 
et on retombera finalement sur la série précédemment obtenue, 
série que nous retrouverons plus tard. 

Lagrangc a donné une formule plus générale pour le développe- 
ment de certaines fonctions implicites de x, telles que F( ^ ), 5 étant 
relié à la variable x par Téquation 

Z—x-h:L/(z), 

dans laquelle a est une quantité assez petite pour que la série 
procédant suivant ses puissances successives ait une convergence 
marquée. Nous nous bornerons à donner cette formule, don t l'emploi 
n'exige que des diiïiérentiations, et nous l'appliquerons plus tard : 

F{z) = F{x)-hoLF\x)/{x) 

^ 7} d[r(x)(/xy] ^ 7} fi^\v'(x)(fxy] ^ 

i.i dx \,'\.6 (ix* 

Enfin les astronomes ont souvent recours à la simple substitution 
des séries qui expriment s\nx, cosj:, tangx dans les expressions 
trigonométriques où figurent de petits angles. 11 ne s'agit pas, dans 
ce cas, d'obtenir des séries complètes qui représenteraient analytî- 
quement les fonctions proposées, mais simplement les termes les 
plus sensibles de ces séries, de manière à faciliter le calcul numé- 
rique. Nous en trouverons des exemples en Géodésie. 

Terminons par une remarque essentielle pour la pratique. Dans 
ces séries et dans bien d'autres formules où l'on rencontre à la fois 
des arcs et des lignes trigonométriques, il ne faut pas oublier que 



TRIGONOMÉTRIE 8PIIÉRIQUE. '3 

les arcs sont censés exprimés en parties du rayon et non en parties 
de la circonférence, c'est-à-dire en minutes ou en secondes. Si on 
veut les avoir en secondes, il faut opérer un changement d'unité 
tout semblable à ce que Ton fait pour écrire en toises une longueur 
exprimée en mètres. Dans ce dernier cas, on multiplie le nombn» 
par le rapport du mètre à la toise. De même ici, il faudra mul- 
tiplier la valeur do Tare tirée de la formule par le rapport du rayon 
à la seconde, c'est-à-dire par 206260. Par exemple, dans la série 

c — a=i — tang*-lB sin^rt 4- . . ., 

€ — a est exprimé en parties du rayon ; dans la formule 

c — a^= 206 265" [ — tang*-iB sin2rt 4- . . .], 

c — a est exprimé en secondes. 



-i 



74 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE III. 



CHAPITRE m. 



THÉORIE DES INSTRUMENTS DE MESURE ANGULAIRE. 
PRINCIPAUX ORGANES DE CfilS INSTRUMENTS. 



Le théodolite est Tinstrument destiné à la mesure des coor- 
données zénithales ^ et A des astres ou des objets terrestres. Ce 
n'est pas autre chose que féquatorial dont nous avons déjà parlé à 
l'occasion des coordonnées polaires o et JI, mais redressé de manière 
que son axe, au lieu d'être dans la direction inclinée de l'axe du 
monde, soit placé dans celle de la verticale. La grande supériorité 
du théodolite consiste en ce qu'on peut, à tout instant, retrouver 
In direction de son axe à l'aide du niveau ou du fil à plomb, et la cor- 
riger avec précision si cet axe venait à s'écarter de la verticale. 
Avant de décrire le théodolite et les méthodes d'observation qui 
lui sont applicables, nous examinerons successivement divers or- 
ganes qu'on rencontre dans tous les instruments de mesure angu- 
laire, il savoir: les cercles divisés, l'alidade à pinnules ou à lunette, 
les verniers, les vis de rappel ou de rectification, les niveaux ou le 
fil à ])loinb. 

Alidade à pinnules. 

Pour mesurer Tangle compris entre les directions de deux objets 
A et B vus d'un point O, on place dans le plan AOB un cercle di- 
visé en degrés et en minutes, au centre duquel tourne une règle ou 
alidade que l'on dirige successivement sur les deux objets, dans le 
sens où les divisions croissent sur le limbe. A cette alidade est fixée 
une seconde règle, en forme de rayon OF, qui porte un trait de 
repère, ou, comme on le dit souvent, la ligne de foi. Les pinnules 
sont deux petites plaques assemblées perpendiculairement sur la 
première règle; l'une d'elles porte un petit trou oculaire, Tautre 



THÉORIE DES INSTRUMENTS DE MESURE ANGULAIRE. yS 

une ouverture plus large au travers de laquelle oh a tendu deux fils 
en croix. La ligne de visée est déterminée par le point de croi- 
sement de ces deux fils et le centre du trou oculaire derrière lequel 
l'œil se place. On voit ainsi une faible partie de Tespace, limitée 

Fig. AC). 




circulairement, et sur laquelle vient se projeter la croisée des fils 
du réticule. Lorsque Talidade est dirigée sur l'objet A, cet objet 
apparaît couvert centralement par la croisée des fils. On lit alors 
sur le limbe la division qui répond à la ligne de foi, puis on fait 
tourner Talidade de manière à la pointer sur Tobjet B. 

Si, dans les deux positions, on a lu sur le limbe les divisions // et 
u marquées successivement par la ligne de foi, l'angle cherché a 
pour mesure u' — //. 

Les conditions qu'un tel instrument doit remplir sont faciles à 
énumérer. La ligne de visée doit être parallèle au plan du limbe 
gradué; l'axe autour duquel tourne l'alidade doit être perpendi- 
culaire à ce plan; le centre de la rotation de l'alidade doit coïn- 
cider exactement avec le centre du limbe. La graduation doit être 
exacte; il faut être en état d'apprécier la petite quantité dont la 
ligne de foi aura dépassé le trait de la graduation le plus voisin; 
enfin il faut pouvoir imprimer, à la main, des mouvements doux 
1res délicats à l'alidade, afin de l'amener à pointer exactement dans 
la direction voulue. 

Substitution des lunettes aux pinnules. 

L'alidade à pinnules est encore usitée dans l'arpentage, dans les 
pièces d'artillerie et dans toutes les mesures qu'on effectue à Tœil 
nu. Elle ne peut donner qu'un pointé grossier, dont la précision 
ne dépasse pas i' ou 2'. Son inconvénient capital et irrémédiable 
consiste en ce que le pointé se fait par vision confuse, car l'œil ne 
saurait s'accommoder à la fois à trois points inégalement éloignés. 



76 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE III. 

à savoir les deux plnniiles et Tobjel. De plus, quand il s'agit des 
astres, l'observateur ne les voit jamais avec netteté; il lui faudrait 
pour cela un œil infiniment presbyte. Vers la fin du xvii" siècle, les 
astronomes (Picard elAuzoul) eurent Tidéede subsliluerunelunetle 
aux pinnules de Talidade sur leurs instruments de mesure. Ils rem- 
placèrent la règle par le corps même de la lunette, la croisée des 
fils par une lentille biconvexe, et le petit trou oculaire par une 
ouverture circulaire un peu plus large où ils placèrent la croisée des 
fils. On se refusa d'abord à croire à la légitimité de cette substitu- 
tion; les observateurs vovaient bien un des points de la ligne de 
visée, mais, dans la lentille objective, ils ne retrouvaient plus le 
second point, nécessaire pourtant pour définir une direction. Il 
suffit de se reporter à la formation des images dans une lunette pour 
comprendre que ce second point n'est autre que le centre optique 
de la lunette objective. 

En effet, tout faisceau de lumière émané d'un point éloigné et 
tombant sur la surface de l'objectif est transformé, parla réfraction 
qu'il subit en traversant cette lentille, en un autre faisceau conique 
de lumière convergent, dont le sommet n'est autre que l'image de 
ce point. Ces deux faisceaux ont même axe, et cet axe passe toujours 
et dans tous les cas par un certain point situé a l'intérieur de la 
lentille et qui en forme le centre optique. Il suffit donc que l'image 
du point extérieur se forme dans le plan du réticule et coïncide 
avec la croisée des fils pour que Taxe optique soit dirigé sur ce 
point, avec la même exactitude géométrique que dans le cas des 
deux pinnules. 

Pour opérer cette coïncidence, l'œil doit se placer en arrière du 
réticule, à la distance de la vision distincte, de manière à voir à la 
fois ce réticule et l'image du point visé, laquelle vient justement 
se former dans le plan du réticule. La vision est donc parfaitement 
nette. Si les objets visés successivement se trouvent à des dis- 
tances très grandes par rapport à la longueur de la lunette, dix ou 
vingt mille fois plus grandes, par exemple, leurs images se for- 
meront dans un seul et même plan focal principal de l'objectif, 
plan où le réticule pourra être fixé une fois pour toutes. 

Afin de mieux voir la croisée des fils et l'image de l'objet, on se 
sert d'une petite loupe nommée oculaire y et fixée au tube de la 
lunette de manière que chaque observateur puisse la faire glisser 



THÉORIE DES INSTRUMENTS DE MESURE ANGULAIRE. 



// 



dans ce tube et la placer à la portée de sa vue. Alors il voit avec- 
une netteté parfaite et avec un certain grossissement la croisée des 
fils et rimage de l'objet, et le pointé acquiert une exactitude tout 
à fait inconnue des anciens. Autrefois les observations se faisaient 
avec une erreur probable de i' à 2'; aujourd'hui Terreur probable 
n'est guère que de c/', i à o'', 2 avec des lunettes* de dimensions 
médiocres, comme celles des instruments portatifs. 

Lunettes astronomiques. 

Les lunettes actuelles doivent être achromatiques; à cet cflTet 
leur objectif se compose de deux lentilles, l'une biconvexe et 
extérieure en verre commun (crotv/i glass), l'autre biconcave ou 
plan-concave en cristal, c'est-à-dire en verre lourd à base de plomb 
{Jlint glass)y placée en arrière de la première. L'oculaire astrono- 

Fig. 3o. 



mique se compose de deux lentilles plan-convexes, disposées de 
manière à former une loupe, c'est-à-dire à donner, très près de la 
dernière lentille, une image réelle des objets éloignés. On le nomme 
oculaire positif, par opposition aux oculaires négatifs qui ne 
donnent que des images virtuelles, et dont on ne saurait tirer parti 
-dans les lunettes destinées aux mesures. 

Pour éprouver une lunette on la dirige vers une étoile brillante. 
Le diamètre angulaire d'une étoile étant tout à fait inappréciable, 
celle-ci se comporte comme un simple point lumineux. L'image 
d'un tel objet ne saurait se réduire à un point, à cause des phéno- 
mènes de diffraction qui se produisent aux bords de l'objectif; elle 
a néanmoins un caractère géométrique très net, lequel devient 
sensible lorsque le ciel est pur. Elle apparaît en effet comme un 
très petit disque dont l'intensité décroît très rapidement sur les 
bords, et présente un peu plus loin une série très accentuée de 
minima et de maxima, c'est-à-dire une série d'anneaux alternative- 



t8 livre premier. — chapitre m. 



/ 
\ 



ment obscurs et lumineux entourant le point brillant. Si Tobjectii' 
est de mauvaise qualité, ces anneaux sont déformés el l'image prend 
un aspect irrégulier. Pendantle jour, réclairenient du fond du ciel, 
sur lequel Tétoile est aperçue au moyen d\ine lunette, réduit 
rimage de Téloile à la pelile masse centrale de lumière. C'est sur ces 
astres que le pointé acquiert la précision dont nous avons parlé plus 
baut. 

Mise au point. Réticule. 

Pour se servir d'une lunette il faut avant tout la bien mettre au 
point. Cette opération est double. En premier lieu, il faut que le 
réticule soit placé dans le plan focal où se forme Timage du point 
visé; en second lieu, Toculaire doit être mis à la distance exacte du 
réticule où l'on volt d'une vision parfaitement nette les iîls et 
l'objet. 

Pour cela on commence par mettre l'oculaire au point du réticule 
en renfonçant plus ou moins dans le tube porte-fils. Quand on voit 
nettement les fils, on fait glisser le tube porte-fils (avec l'oculaire, 
bien entendu) dans le tuyau de la lunette, de manière k bien voir 
l'image. Alors la croisée des fils et l'image sont dans le même plan. 

Pour opérer cette indispensable rectification avec exactitude, il 
faut la soumettre à une petite épreuve, qui consiste à abaisser ou à 
élever l'œil autant que possible devant Toculaire. Si l'étoile ne 
(|uitte pas le fil liorizontal, la mise au point est parfaite. Si au con- 
traire l'étoile s'élève au-dessus du fil quand l'œil s'élève, le réticule 
est un peu trop en avant: c'est ce qu'on nomme la /jarallfijre </es 
/ils. Pour la détruire, il faut enfoncer le tube du réticule dans la" 
lunette; on devra le retirer un peu dans le cas contraire. C'est ce 
que montre la figure suivante. 



Fiff. 3i. 






I" 



Le réticule doit être ensuite fixé invariablement au tuvau de la 
lunette à l'aide de ses vis propres; ou est certain alors que le 



THÉORIE DES INSTRUMENTS DE MESURE ANGULAIRE. -ri 

poinléne sera pas influencé par la situation que l'œil peut prendre 
devant Toculaire. 

C'est près de l'axe géométrique, sur lequel les lentilles de Tobjeel il* 
ont été centrées par l'artiste, que les images sont les meilleures. 11 
convient donc que la croisée des fils soit située à très peu près sur 
cet axe. Mais cette condition n'est nullement nécessaire; on peut 
déplacer la croisée des (ils dans son plan pour donner une position 
convenable à l'axe optique, c'est-à-dire à la ligne de visée. Le tube 
porte-fils a même deux vis opposées qui pressent sur la plaque cir- 
culaire du réticule et permettent de le mouvoir dans son propre 
plan, à la condition de tourner ces deux vis en sens opposés. On a 
besoin de recourir à cette manoeuvre quand on veut rendre l'axe 
optique ou la ligne de visée exactement perpendiculaire à l'axe de 
rotation de la lunette. 

Pour la tliéorie des lentilles et des lunettes, nous renvoyons aux 
Traités de Physique. Nous rappellerons seulement que la définition 
qu'on y donne du champ d'une lunette n'est pas applicable à nos 
instruments. Pour ceux-ci, le champ, non pas de la vision, mais de 
l'observation, est l'angle sous lequel on verrait, du centre optique 
de l'objectif, l'ouverture circulaire de la plaque du réticule. Le 
champ de vision est d'ordinaire bien plus restreint par le dia- 
phragme intérieur de l'oculaire lui-même; mais on peut mouvoir 
l'oculaire devant le réticule de manière à parcourir entièrement le 
champ que nous venons de définir. 

Disons aussi, en terminant, que la notion ordinaire du centre 
optique de l'objectif suppose que l'épaisseur de l'objectif est négli- 
geable par rapporta sa longueur focale. Dans le cas contraire, c'est- 
à-dire dans la réalité, cette notion doit être modifiée. A la place 
d'un centre optique unique par lequel passeraient les axes des pin- 
ceaux de lumière incidents et réfractés, il y a, pour chaque objectif, 
deux points principaux I et E, placés sur la ligne des centres des 
surfaces sphériques de l'objectif. La ligne de visée est déterminée 
intérieurement par le point principal intérieur I et la croisée des 
fils; extérieurement parle point principal extérieur E et l'objet. 
Ces deux droites ne coïncident pas en toute rigueur, mais sont pa- 
rallèles. 



8o LIVRE PREMIER. — CHAPITRE I II. 



Verniers. 

Les vernîers appliqués aux cercles gradués sonl fondés sur le;» 
jiiéines principes que les verniers appliqués aux règles divisées. 
Dans la plupart des cercles, les divisions vont de lo' en lo', ce qui 
lait 2160 divisions sur le limbe entier. Or le diamètre de celui-ci n'a 
pus plus de o™,3o; on ne saurait donc les multiplier davantage 
sans confusion. A la vue simple, on ne peut guère apprécier que le 
dixième d'une division et juger, par conséquent, de la position de 
Talidade qu'à 1' près tout au plus. Avec le vernicr on pousse la pré- 
cision jusqu'aux 10" et même aux 5'^ 

Pour que le vernier donne les 10" tandis que les divisions en 
valent 600, il faut apprécier ^j d'une division. Pour cela l'artiste 
qui a construit l'instrument a donné au vernier une longueur de 
59 divisions du limbe et l'a divisé en 60 parties égales. La diffé- 
rence des deux divisions du limbe et du vernier est donc bien de i o". 
11 en résulte que, si le zéro du vernier (la ligne de foi) coïncide 
avec le trait 90® du limbe, par exemple, le trait suivant du vernier 
sera en retard de 10" sur la division 90° 10' du limbe. Pour placer 
le vernier à 90^*0' 10", il suffira de le faire avancer un peu jusqu*à 
<:c que la coïncidence ait lieu, non pour le premier trait du vernier, 
mais pour le second. De même, pour que la lecture du vernier soit 
de 90°o'ao", il faudra mettre le troisième trait du vernier en coïn- 
cidence avec le trait voisin du limbe. De là le système de numérotage 
des divisions du vernier. Les 60 traits de division sont d'inégales 
longueurs : les plus longues, de six en six, sont numérotées en mi- 
nutes ; les divisions intermédiaires donnent les dizaines de secondes. 
Pour lire le vernier, Il faut donc : 1° noter la division du limbe qui 
précède immédiatement le zéro du vernier, ce qui donne les degrés 
et les dizaines de minutes; 2" chercher à la loupe le trait du vernier 
qui se trouve en coïncidence avec un Irait du limbe et lire, sur la 
graduation du vernier, les minutes et dizaines de secondes corres- 
pondant à ce trait. Avec un peu d'attention, on parvient même à 
l'stimer très bien les 5". 

(jCt ingénieux accessoire est fondé sur la grande exactitude avec 
la({uelle l'œil juge de la coïncidence de direction de deux traits de 



THEORIE DES INSTRUMENTS DE MESURE ANGULAIRE. 8l 

même force situé$, sur le même plan, dans le prolongement Fun de 
Tautre. Il est nécessaire d'employer une loupe et surtout d'éclairer 
uniformément le limbe et le vernier. 



Vis de rappel. Vis micrométrique. 

Sur un cercle de o", i5 de rayon, les lo'' ont une longueur de 

ïo — J />K = 7 — de millimètre. Il serait impossible de faire tourner 
206265 400 ^ 

un pareil cercle à la main d'une si petite quantité. Notre main 
n*est capable que de mouvements relativement grossiers et de 
grande amplitude. On y remédie en prenant pour intermédiaire 
une vis à filets fins et à pas très petit, de quelques dixièmes de milli- 
mètre seulement. Alors, pour produire dans l'alidade, et par suite 
dans la lunette, un déplacement de ^ de millimètre, on aura à faire 
tourner la vis d'une portion notable de la circonférence. On arrive 
ainsi à pointer la lunette, avec une précision comparable à celle de 
la vision, par quelques tâtonnements, en faisant tourner la vis de 
rappel tantôt dans un sens, tantôt dans l'autre. Mais il est essentiel 
au succès de cette manœuvre que la vis n'ait pas de temps perdu 
en tournant dans son écrou. S'il s'agit de pousser un obstacle avec 
une vis agissant sur son écrou fixé audit obstacle, les filets de la 
vis portent sur ceux de l'écrou par une seule de leurs deux faces, 
celle qui est à la main. Si l'on tourne la vis en sens contraire pour 
tirer à soi l'obstacle, les filets de la vis ne commencent à agir que 
lorsqu'ils s'engagent avec ceux de l'écrou par leur face opposée. 
Si peu qu'il y ait de jeu, et un peu de jeu est nécessaire au mouve- 
ment, on tourne à vide la vis entre ces deux moments sans produire 
aucun effet, alors qu'on croit en avoir produit un. On supprime le 
temps perdu au moyen d'un ressort antagoniste qui force la vis à 
agir toujours par la même face des filets, ou en coupant l'écrou 
en deux et en maintenant ses deux moitiés contre la vis par la 
pression d'un ressort. On commence donc par faire tourner l'in- 
strument à la main pour amener la lunette vers l'objet ; pour achever 
le pointé avec la précision requise, on fixe Falidade au limbe par 
une mâchoire, et l'on achève l'opération avec la vis qui a son point 

d'appui sur le limbe et dont l'écrou est porté par celte mâchoire. 

6 



H'JL LIVRE PREMIER. — CHAPITRE III. 

Erreurs d'excentricité; leur élimination au moyen de vemiers 

opposés. 

I® Le pîvot de raiidade peut n'être pas rigoureusement centn' 
sur le cercle limbe. Soient (yî^^. 3a) C le centre du limbe, C celui de 
Talidade, a la division à laquelle aboutirait une droite qui joindrait 
ces deux centres, C/ii la direction actuelle de la ligne de foi dii 




cercle alidade lorsque la lunette est pointée sur un objet ; //, c'est- 
à-dire la division du limbe à laquelle s'est arrêtée la ligne de foi. 
indique une direction C//, laquelle diffère de la précédente d'un 
très petit angle C'//C que nous désignerons par />. Posons enfin 
CC'^=e, Cu=-r, C'u-^r'] l'angle en C sera // - a et nous 

aurons 

/•'siii/^ ~- e sin( // - - a), 

/•'cos/> ~z r — e cos( 1/ - a ). 



On en tire 



- SI 11 (/i — i) 

tang/^ = -^^ ; 

! ros(// — a) 



c'est la formule trouvée pour la transformation des coordonnée; 
par déplacement d'origine. 

En réduisant en série, on trouve 



I r* . If* 



p - - sîii (u — « ) -î- — - siii Q ( // - a ) -h T, — ; >in 3 ( // — a ) -i- 

Le premier terme suflit toujours;/? étant calculé, on Tajoutera 
à la lecture u du limbe pour avoir la vraie direction de la lunette. 



THÉORIE DES INSTRUMENTS DE MESURE ANGULAIRE. 83 

11 est d'ailleurs aîsé de déterminer une fois pour toutes les con- 
stantes de cette formule, mais nous allons voir par quel artifice on 
parvient à éliminer cette erreur. 

2° Dans tout instrument de mesure il y a une autre sorle 
d'excentricité, non plus fixe, mais fluctuante: c'est celle qui pro- 
vient du jeu de Taxe de rotation dans sa douille, jeu nécessaire 
puisque, s'il n'existait pas, le mouvement serait impossible. La 
formule précédente devant être écrite, pour avoir p en secondes^ 

comme ceci, 

' e 

p m 206265'' - sin ( M — a ), 

on voit qu'un jeu de "j-^—^ de r, c'est-à-dire ici de 7^ de milli- 
mètre seulement, donnerait k p une valeur de 20". 

Heureusement on a trouvé dans l'emploi de deux verniers 
opposés le moyen d'éliminer toute excentricité de quelque cause 
qu'elle provienne. Soienl // et u les lectures de ces deux verniers 
lorsque la lunette est pointée dans la direction C//. Pour corriger 
les lectures u et u\ il faudrait leur ajouter les petits angles corres- 
pondants/? et/?'; on aurait ainsi, pour le premier vernier, 



pour le deuxième. 



// -I Slll(l/ - ot), 



Il -\ sin(// - a). 



Or w' est à très peu près égal à i8o* + //, puisque les deux ver- 
niers sont opposés; les deux termes correctifs sont donc sensi- 
blement égaux el de signes contraires; ils se détruisent quand on 
fait la somme des lectures corrigées. La moyenne des deux verniers, 

c'est-à-dire > se trouve donc exempte de toute erreur d'excen- 

2 * 

tricité. 

Il en serait de même de la mo venue des lectures faites à n ver- 
niers équidistants. 

Erreurs de division. 

Si, au moment de graduer le limbe, l'artiste ne l'a pas centré ri- 
goureusement sur la plate-forme de sa machine à diviser, il en 



84 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE III. 

résultera, dans la division tracée par la machine, une erreur de la 
forme 

c , \ é^ , I 6* 

-sin(tt — a) H sin2(£/ — «) 4- 77 -5 sin3(£/ — a) -f-. ... 

r 2 r' o /•' 

S'il a laissé subsister une petite inclinaison B du cercle limbe sur 
sa plate-forme, il en résultera, dans les divisions obtenues, une 
erreur de la forme 

R B 

— lang' — sin2{u — ?) 4- J- lang^ — siii4(w — ?) — 

De même, toutes les erreurs d'origine quelconque pourront être 
représentées en bloc par une série de la forme 

asin(M-i-A)-+-6sin2(tt-+-B)4-Csin3(ii-i-C)-i- 

C'est la série de Fourier. Quand la division est bien faite, ces 
termes vont en diminuant assez rapidement et deviennent insen- 
sibles au delà d'un certain degré de multiplicité de l'arc u. 

Les astronomes s'astreignent à déterminer l'erreur de chaque trait 
de division de leurs cercles. L'instrument étant placé horizontale- 
ment, on mesure, comme d'ordinaire, entre deux objets convena- 
blement choisis, un angle très peu diflTérent d'un sous-multiple di* 
la circonférence, de ^o**, par exemple, en commençant par la 
division o. Puis on recommence cette mesure en partant du point 
du Umbe auquel on est arrivé dans la première opération. En con- 
tinuant ce travail jusqu'à ce qu'on retombe à peu près sur le point 
de départ, c'est-à-dire près de o**, on prouve o® -h e» £ étant un petit 
arc obtenu à Taide du vernier et on a, pour la valeur de Tangle, 

— ^ — • Or cette valeur est indépendante des erreurs de division, 

puisqu'on n'a employé qu'un seul trait, celui de 0°. En comparant 
cet angle parfaitement exact avec les mesures individuelles ob- 
tenues en diverses régions du limbe, on a les erreurs des traits de 
lo** en 10**. On opérerait de même pour avoir les erreurs des traits 
de 3" en 3", etc. Les géodésiens préfèrent éliminer les erreurs de 
division à l'aide d'un agencement particulier de leurs mesures et 
de leurs instruments. 



THÉORIE DES INSTRUMENTS DE MESURE ANGULAIRE. 85 

Celte élimination est fondée sur ce théorème : 

La moyenne des lectures faites à n verniers équidistants est 
exempte de tous les termes de la série des erreurs dont le degré 
de multiplicité n'est pas divisible par n. 

En effet, la lecture du premier vernier étant w, celle du deuxième, 

35qo 
Ux, sera à très peu près égale k u -\ ; celle du troisième, i/j, 

35qo 
sera à très peu près «-h a j etc. Si nous désignons le terme 

général de la série de Fouricr par 

X sinA(// -f- X), 
k étant un nombre entier, les lectures corrigées de ce terme seront : 

Premier vernier. ... u h- j:siuÂ'(« -I- X), 

35qo 

Deuxième » Ux -k- xsinkiu -\ hX), 

n 

35qo 

Troisième » //j -\- xûnkiu -\~ i hX), 

II 

• î 

36o** 
/i**""* » Un-\ -\- xûïïk\^u -\-{n — i) hX]. 

Or la somme des sinus d'arcs croissant, comme ceux-ci, en pro- 
gression arithmétique, est nulle quand, après le dernier, on re- 
tombe sur le point de départ. La moyenne des verniers équi- 

f/ H- W, -j- Mj -I- . . . -f- //,i_i 

, 

n 

distants est donc exempte de Terreur représentée par ce terme 
général. 

Il faut excepter le cas où k serait divisible par //, car alors la 

36o® 
raison de la progression k serait d'un nombre entier de cir- 
conférences, ce qui ramènerait tous les termes correctifs ci-dessus 
à la valeur du premier, x sin A*( w -|- X). La moyenne des n verniers 
serait donc elle-même affectée de ce terme, tout comme si Ton 
n^avait lu qu'un seul vernier. 



S6 LITKK PftCaiEft. — CHAPITftB III. 

Les ihêodoUtes oot aa moins deuiL vemîers opposés, en sorte 
que les termes d'ordre impair de la série de Fourier disparaissent. 
Les cercles azimulau\ du Dépôt de la Guerre ont quatre ver- 
niers équidistants: ils annulent les trois premiers termes de la 
série, et n"v laissent subsister que les termes rfsîn4(M H- D), 

A sinS^^f/ — H Les grands cercles méridiens des astronomes 

ont six verni«*rs. 



DESCRIPTION ET USAGE DU THÉODOLITE. 87 



CHAPITRE IV. 



DESCRIPTION ET USAGE DU THÉODOLITE. 



Le théodolite est destiné à mesurer les coordonnées zénithales, 
le z et TA d'un astre ou d'un point terrestre quelconque visible sur 
l'horizon de Tobservateur. Son axe principal doit être placé ver- 
ticalement. La lunette est portée par un axe secondaire perpendi- 
culaire au premier et par conséquent horizontal. La lunette tourne 
autour de cet axe sur un limbe vertical. Le plan vertical que la 
ligne de visée décrit ainsi peut prendre toutes les positions autour 
de l'axe principal de l'instrument. Les angles dièdres que forme ce 
plan mobile avec un plan vertical pris pour origine sont les azimuts, 
et se lisent sur la graduation d'un cercle horizontal fixé au pied du 
théodolite. 

C'est au fond un équatorial redressé verticalement ; le mérite d<î 
cet instrument et du système de coordonnées sphériques qu'il 
permet de mesurer tient à ce qu'il est très facile de déterminer, à 
chaque instant, la direction de la verticale à l'aide d'un fil à plomb 
ou d'un niveau, et de donner cette direction à l'axe. 

Fig. 33. 



A cet effet, l'instrument repose sur trois pieds armés de vis à filets 
serrés et à larges têtes CA^«33). C'est en agissant sur ces vis qu'on 



88 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE IV. 

parvient très rapidement à amener I^axe du théodolite dans la direc- 
tion de la verticale. Soient A, B, C ces trois vis formant un triangle 
équilatéral, et jouant sur trois petites pièces de cuivre scellées dans 
le pilier en pierre de taille qu'il faut donner pour support à l'in- 
strument. 

Considérez dans ce triangle Tun des côtés BC et la droite AD 
perpendiculaire à BC. En agissant sur la vis A, on fera tourner l'in- 
strument autour de la droite BC; en agissant des deux, mains, mais 
en sens contraire, sur les vis B et C, on fera tourner Tinstrumcnt 
autour de la droite AD. Par le premier mouvement on rendra l'axe 
parallèle au plan vertical passant parBC; au moyen du second, on 
le rendra parallèle au plan vertical passant par AD. On l'amènera 
ainsi dans la direction de l'intersection de ces deux plans, c'est-à- 
dire de la verticale. 

L'opération se fait d'abord par à peu près, de sentiment ; on 
l'achève, comme nous le verrons tout à l'heure, en se guidant sur 
un niveau ou un (il à plomb. 

Cette espèce de trépied ABC supporte une colonne creuse, un<' 
douille, dont l'intérieur est légèrement conique et dans laquelle 
tourne l'axe principal. Le dessin ci-joint {fig- 34) représente un<* 
coupe du théodolite. Son axe est légèrement conique comme h\ 
douille elle-même. Pour diminuer le frottement, il repose, par sa 
pointe inférieure, sur un très fort ressort d'acier fixé au trépied, 
ressort dont l'élasticité fait équilibre à la presque totalité du poids 
de l'instrument. La douille fixe porte le cercle divisé horizontal: 
l'axe porte un cercle concentrique au premier, sur lequel sont traces 
deux verniers opposés. Là se mesurent les azimuts. 

L'axe supporte à sa partie supérieure une traverse horizontale 
sur laquelle repose Taxe secondaire, celui de la lunette. Celle-i-i 
se meut sur un limbe gradué, fixé verticalement à la traverse. Il > 
a là encore à distinguer le limbe gradué fixe, et un cercle intérieur 
portant une ligne de foi et des verniers opposés. Là se mesurent 
les distances zénithales. Un contre-poids placé au bout opposé 
de la traverse équilibre la lunette et son cercle alidade, de sorte 
que le centre de gravité de tout l'appareil soit dans l'axe vertical. 

Les conditions géométriques sont au nombre de trois : 

i** L'axe principal doit être vertical. 

2" L'axe secondaire qui porte la lunette doit être perpendiculaire 



DBSCnlPTION ET USAGE Dl' THÉODOLITE. 89 

au premier, ce qui revient à dire qu'il doil être horizontal quand Ir 
premier est vertical. 

3* La ligne de visée, ou axe optiqne de la lunette, doit être per- 
pendiculaire à son axe de rotation. 

Et comme tout instrument est susceptible de se déranger par 
l'eflet de causes diverses, principalement par les moindres variations 



Fig. 31. 




de température, il faut que l'on puisse à chaque instant opérer les 
trois rectifications nécessaires, ou déterminer les trois très petites 
erreurs qu'une rectification incomplùtc aura laissées subsister. Nous 
allons donc les passer en revue. 



90 



LIVRE PREMIER. — CHAPITRE IV. 



Rectification de Taxe principal. Fil à plomb. Niveaux. 

Soient (Jig' 35) AB un axe quelconque tournant autour de deux 
points fixes A et B, AF le fil à plomb fixé en A, om un petit arc gradué 
plaqué à cet axe et amené par rotation dans le plan vertical FAB. Dé- 
signons par o l'origine de la graduation, par x la division qui répond 
à l'axe AB et par m celle sur laquelle vient battre le fil à plomb. 
L'arc xm donnera l'inclinaison ide l'axe. Mais x est inconnu. Pour 
l'éliminer, il fautopérerparretournement. Faisons tourner l'appareil 
de i8o* autour de AB. Le point o et la division m passeront, de la 



Fig. 35, 



A 



B 



trt 






4* W, 



9' 



droite à la gauche, dans la position symétrique marquée sur la 
deuxième figure. Le fil à plomb viendra battre Tare de cercle sur 
une nouvelle division m\ évidemment symétrique à la première par 
rapport à AB. Donc 



m — m 



m' 



m 



Si Ton juge à propos de corriger l'inclinaison, il faudra agir sur 
les vis du pied de manière à amener la division j:*, désormais connue, 
sous le fil à plomb. 



DESCRIPTION ET USAGE DU THEODOLITE. 



91 



Niveau à bulle d'air. 

Prenons un tube cylindrique en verre {^fig* 36), fermé aux deux 
bouts, très légèrement courbé en arc de cercle et rempli d'un liquide 
très mobile (l'éther), sauf une petite bulle allongée qui va se loger à 
la partie supérieure du tube, par la même raison que le plomb du 
fil précédent va se placer au point le plus bas par rapport au point 
d'attache. 



UiBBV'l'l'l .'J-'l'M^ j p* 




Ce tube, enfermé dans une monture en cuivre, est fixé à Taxe du 
théodolite. Sa surface supérieure est graduée en divisions égales. 



Fig. 37. 



'^:^ 



11 



Si on lit les divisions 6, h' qui répondent aux deux bouts de la bulle, 
la division sera le point culminant du tube, et le rayon idéal 



9^ LIVRE PREMIER. — CHAPITRE IV. 

qui joint le milieu A de Tare hb* au centre sera vertical. Ce ravon va 
jouer le rôle du fil à plomb. 

Pour mesurer l'inclinaison de l'axe, estimée dans un plan vertical 
quelconque, amenez le niveau dans ce plan en faisant tourner Fin- 

strument, et notez la division n =: qui répond au milieu de 

la bulle. Ensuite faites tourner l'instrument de i8o°, de manière à 
ramener le niveau dans le même plan, mais renversé bout pour 
bout. Soit n'ia moyenne des lectures faites aux deux extrémités de 
la bulle. On aura, comme par le fil à plomb, 

//' - n n' -k- n 



x=. , 



X étant la division où il faut amener le milieu de la bulle pour rendre 

Taxe vertical dans le plan du retournement. Si est positif, 

l'axe penche de celte quantité du côté où se trouve le zéro de la 
graduation du niveau au moment de la seconde lecture, c'est-à-din* 
après le retournement. 

L'avantage du niveau sur le fil a plomb consiste en ce qu'on n'a 
pas besoin de s'occuper du centre et par conséquent du rayon dr 
l'arc du niveau; on peut donc donner au tube du niveau une cour- 
bure telle que le rayon soit de 200" ou de 4oo"*. Dans le premier 
cas, Tare de i" a pour longueur, sur le tube. 



9.00000"'™ 



III m 



2oG!i()r> 



-— — I'" a peu pre?». 



Dans le second cas, cet arc a 2""*, de sorte que les dixièmes de 
seconde peuvent être évalués avec précision (•). 

Lorsque les niveaux ont une pareille sensibilité, les mouvements 
de la bulle sont 1res lents : pour en lin* les extrémités sur la gra- 



(*) Od ne trouverait puèrc de tubes de verre qui aient naturellement une pa- 
reille eourbure sur une étendue suflisante; il faut en tailler l'intérieur. Pour ccU 
on engage dans le tube un mandrin d'acier garni d'émeri et porté par un tour ii 
Tune de ses extrémités. Le mandrin tournant rapidement autour de <wn axe, on 
presse légèrement sur lui la partie supérieure du tube en donnant à celui-ri un 
mouvement de va-et-vient longitudinal. Le verre et l'acier s'usent mutuellemcDl, 
jusqu'à ce que le contact se produise dans toute l'étendue du tube, ce qui ne peut 
avoir lieu que si le tube et le mandrin ont pris la forme d'un arc de cercle à grand 



DESCRIPTION ET USAGE DU THÉODOLITE. 



93 



dualion du tube, il faut attendre patiemment que la bulle soit 
arrivée à sa position d'équilibre. D'autre part, la moindre variation 
de température dans l'appareil fait marcher la bulle et peut en vicier 
les indications. On lit donc les divisions de loin, au besoin avec 
une petite lunette, afln d'éviter réchauffement irrégulier dû au voi- 
sinage de Tobservaleur. Ces instruments délicats doivent être 
traités avec soin. 

Pour déterminer la valeur angulaire des divisions, on place le 



Kig. 38. 




niveau sur un appareil spécial {^fig^ 38) consistant en une longue 
règle posée sur un support, d'un côté par un couteau, de l'autre 
par une vis micrométrique analogue à celle des sphéromètres. 
Lorsque la bulle est au repos, on enregistre la position de la bulle; 
puis, en soulevant peu à peu l'extrémité de la règle à l'aide de la vis, 
on fait parcourir à la bulle un certain nombre m de divisions. La 
variation h de la hauteur de la règle est donnée par la vis ; si / en 
est la longueur, on a 

-T =: lang i et i=^ n divisions, 

ce qui fail connaître la valeur d'une division en secondes. On exa- 
mine ensuite si la courbure du niveau est bien régulière, c'est-à- 
dire si la valeur angulaire des divisions est bien la même dans 



rayon, ou piulùl celle d'une surface engendrée par la révolution d'un tel arc autour 
de l*axe. 

La sensibilité d'un niveau est contrariée par la capillarité. Prés des parois du 
tube la surface libre du liquide se recourbe fortement sous forme de ménisque. Si 
la bulle était réduite à un simple globule, elle serait retenue n'importe où par la 
capillarité. Pour vaincre cet obstacle, il faut donner une grande longueur à la bulle 
et au tube; les mouvements sont alors très lents et ne restent bien réguliers que 
si Ton évite tout échauffement extérieur. 



94 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE IV. 

toute l'étendue de la gi'aduation. Nous supposerons dorénavant 
que cette conversion des parties du niveau en secondes a toujours 
été opérée. 

Dans la plupart des instruments, le niveau a le zéro au milieu 
du tube et non à Tun des bouts, comme nous Tavons tacitement 
supposé plus haut; alors il faut convenir de compter les divisions 
positivement vers un bout do Tappareil et négativement vers 
l'autre. Cette disposition a l'avantage de montrer, du premier 
coup d'oeil, si l'axe du théodolite est bien vertical, car alors le 
milieu de la bulle doit être au zéro, autrement dit 6 = — b\ Mais 
en ce cas le niveau doit être bien réglé lui-même et être muni d'une 
vis de rectification qui permette de déplacer un peu le tube par 
rapport à sa monture, ou, si Ton veut, par rapport à Taxe qui le 
porte. 

La rectification de Taxe à l'aide d'un niveau de ce genre, et celle 
du niveau lui-même s'opèrent simultanément de la manière sui- 
vante. On fait varier l'inclinaison de l'axe avec ses vis propres 
jusqu'à ce que la bulle du niveau marque zéro. On opère le retour- 
nement à i8o®. Si la bulle reste au zéro, le niveau est bien réglé 
et l'axe est bien vertical. Si la bulle s'écarte du zéro, on Tv 
ramène moitié par la vis propre du niveau, moitié par celles du 
pied de l'instrument. 

Rectification de l'axe secondaire. 

L'axe principal étant bien vertical, Taxe secondaire qui lui est 
perpendiculaire doit être alors horizontal. On s'en assure à Taide 
d'un second niveau placé sur cet axe. Soit n le milieu de la bulle 
dans une position quelconque de rinstrument. On enlève le 
niveau et on le retourne bout pour bout en le replaçant sur Taxe 
horizontal. Soit n! la division qui répond au milieu de la bulle 
dans le second cas. On aura rinclinaison î de cet axe sur riiori- 
zontale par 



n — // 

> 



et l'angle de cet axe secondaire avec le principal sera 90" ±: 1. 
Pour corriger ce défaut, on agira sur une vis placée à l'extrémité 



DESCRIPTION ET VSAGE DU THÉODOLITE. 9^ 

de cet axe et butant contre le châssis supérieur, jusqu'à ce que 
le milieu de la bulle marque 



n -I- n' 



2 



Rectification de la ligne de visée. 

Elle doit être perpendiculaire à Taxe de rotation de la lunette. 
Visons avec la lunette, à Thorizon, un signal assez éloigné pour que 
Texcentricité de la lunette soit vue, de ce signal, sous un angle 
négligeable, et soit // la division du limbe horizontal qui répond au 
vertical de ce signal, ou pour mieux dire à la ligne de foi du cercle 
alidade. Après avoir lu cette division (aux deux verniers), faisons 
tourner l'instrument de 180". La lunette se trouvera à gauche de 
Taxe si dans la première observation elle se trouvait à droite. 
Pour la ramener sur le signal il faudra la faire tourner autour de 
son axe propre. Supposons qu'après avoir effectué ce second 
pointé on lise de nouveau la division correspondante du limbe 
azimutal, et soit it' cette lecture. Si la ligne de visée est bien per- 
pendiculaire à Taxe horizontal de la lunette, on aura ii'= u -H 180°. 
Dans le cas contraire, a étant le petit défaut de position de la 
ligne de visée, on aura 

et, pour corriger cette erreur, il faudra: 1** amener la ligne de foi 
du cercle alidade horizontal sur la division //qza; a» déplacer le 
réticule de la lunette à l'aide de ses vis propres jusqu'à ce que la 
croisée des fils couvre le signal ( • ). 

Mesure des azimuts à l'aide du théodolite. 

Ces trois rectifications étant opérées, l'instrument est en étal 
de donner les coordonnées zénithales d'un point quelconque. 
Commençons par l'azimut. 



(») Si le signal n'était pas assez éloigné, soient D sa distance, /• la distance de la 
lunette à Taxe principal et p un petit angle donné par - = sin^; l'opération pré- 
cédente fournirait la relation u — u — 180*»— Jl dr 2X, et fera connaître l'erreur a 
de Taxe optique. 



qG livre premier. — CHAPITRE IV. 

Comme Porigine des azimuts est déterminée par la direction du 
méridien, c'est-à-dire par un phénomène astronomique, l'inslru- 
inent ne fournit par lui-même que des différences d'azimut entre 
deux astres 6 et C. Il faut distinguer ici les deux positions qu'on 
peut donner à la lunette pour pointer sur un point quelconque, 
à savoir, lunette à droite de Taxe principal ou lunette à gauche. 
Adoptons la première disposition. On pointera avec la lunette sur 
l'astre B, et on lira les deux verniers du cercle horizontal. Leur 
moyenne donnera la direction de la trace horizontale d'un plan 
passant par l'axe parallèlement à celui que décrirait actuellement 
la lunette. Ce sera évidemment le vertical même de l'astre, puisque 
l'excentricité de la lunette est nulle par rapport à sa distance de 
cet astre. 

On fera tourner ensuite l'instrument autour de son axe vertical, 
de manière à amener le plan vertical décrit par la ligne de visée 
à passer par le second astre C, et on lira pareillement les indications 
du vernier du limbe horizontal. Soient wet u' les lectures corres- 
pondantes ; on aura, en désignant par A et A' les azimuts des 

astres B et C, 

m'— u — A' - A. 

Si, l'instrument étant bien réglé, on recommençait les mêmes 
mesures lunette à gauche, on retrouverait évidemment par d'autres 
lectures la même différence d'azimut. 

Supposons maintenant qu'il s'agisse d'objets terrestres dont les 
ilistances au pied de l'instrument ne soient pas infiniment grandes 
par rapport à la longueur du bras qui porte excentriquenient la 
lunette : l'excentricité de la lunette influera sur les directions oii 
Ton voit les points B et C suivant qu'on les observera du côté droit 
ou du côté gauche , mais il est aisé d'agencer les mesures de 
manière à éliminer cette cause d'erreur. En effet, la vraie direction 
du point B vu du centre de l'instrument est donnée par la demi- 
somme des directions observées lunette ù droite, puis lunette à 
gauche. Soient u et ii* les deux lectures ; on aura : 



Direction du point B . . . . 



// 4- //" 



En opérant sur le point C, on aura de même, en désignant par 



DESCRIPTION ET USAGE DU THEODOLITE. 



07 



u' et m"' les deux lectures. 



Direction du point C. 



1/'-+- Il 



m 



Donc 



Différence d^azimut A' — A i:^ 



2 



Comme on peut Técrire, 



//' — u u"' — u" 



2 



cela revient à mesurer la différence des azimuts lunette à droite, 
puis à la mesurer une seconde fois lunette à gauche et à prendre 
la moyenne des résultats. Cette moyenne sera exempte de l'excen- 
tricité de la lunette, et même du défaut de perpendicularité de Taxe 
optique sur Taxe de rotation. 

Erreurs dues à une rectification imparfaite. 



La seule qui ait de l'importance, parc^e qu'on ne peut l'élimi- 
ner par l'agencement des opérations, est celle qui provient d'une 
petite inclinaison i de l'axe principal sur la verticale. Pour nous 
en rendre compte, projetons le ciel sur le plan de la figure ci- 
dessous ; l'horizon étant représenté par une circonférence, le zénith 
sera au centre, en Z. Le pôle de l'instrument sera en Z', l'arc ZZ' 

Fig. 39. 




mesurant l'inclinaison /qu'on lira sur le niveau. Soit B le pointa ob- 
server; si nous prenons provisoirement le grand cercle Z'ZA pour 
origine des azimuts, l'azimut véritable sera AZB, tandis que l'azi- 
mut instrumental sera AZ'B. Sur le cercle de l'horizon, ces azimuts 

7 



0» 



LIVRE PREMIER. — CHAPITRE IV. 



oui pour mesure Ai et Ai'. Il s'agît de déterminer ii', c'esl-à-dire 
ce qu'il faut ajouter à l'azimut instrumental pour obtenir le \Tai 
azimut. On voit, sur la figure, que BZ = z, Bb = 90° — z. Si Ton 
mène ZZ'' perpendiculaire à BZ', on a 



ZZ" 



bb' 



bb' 



angle B — -. — = -.— ^-r = 

sine suinta cosz 



et par conséquent 



bb'= 



ZZ' 



tangw 



Il est bien aisé d^ mesurer ZZ'' à l'aide du niveau : ce n'est, en 
cfl'et, rien de plus que l'inclinaison de l'axe projeté sur un plan ver- 
tical perpendiculaire à la direction de Tobjet B. On fera donc 
tourner tout l'instrument de 90° après avoir observé la direction 
du point B, el, dans cette position, on mesurera l'inclinaison dr 
l'axe par la méthode ordinaire, puis on en déduira bb' par la for- 
mule précédent<* el on appliquera cette correction, avec le sigiu* 
convenable, à la lecture du limbe obtenue pour le point B. 

Si l'axe de la lunette fl'est pas bien horizontal, il en résulte une 
nouvelle erreur dont il sera facile d'obtenir l'expression par le 
même genre de considération. Soit i' l'inclinaison; le cercle b'TJr 
décrit par la lunette ne passera pas par le zénith Z (nous supposons 
Taxe principal bien rectifié), mais par un point Z'iel que YJL'=^f, 

Fig. io. 




L'objet B, situé sur ce cercle, aura pour vertical le plan ZBi. 
lundis que l'instrument lui assignera le vertical ayant pour trace 
.sur le limbe le rayon Z6'. On trouverait comme précédemment 



bb'^ 



tangc 



DE8GEIPTI0N ET USAGE DU THEODOLITE. 99 

Mais sî, après avoir observé B lunette à gauche, on recommenc<* 
la même opération lunette à droite, le point Z' passera de l'autre 
côté du point Z, et Terreur d'azimut due à l'inclinaison i' chan- 
gera de signe sans changer de valeur. Ainsi on l'éliminera en 
observant B dans les deux positions de l'instrument et en prenant 
la moyenne. 

Si la ligne de visée n'est pas bien perpendiculaire à l'axe de ro- 
tation de la lunette, désignons l'angle d^ces deux lignes par90**±:c, 
<^ étant ce qu'on nomme Verreur de colliniation, La ligne^de 
visée, en tournant autour de Taxe horizontal, décrira un cône et 




dessinera sur le ciel un petit cercle passant à la distance c du zé- 
nith et par l'objet visé B. Le théodolite fournira la direction Z6\ 
tandis que la vraie direction est 'Lb. L'erreur est donc ici 



bZb'= 



siiiZB sin^ 

On l'élimine, comme précédemment, en observant la direction 
^zimutale du point B dans les deux positions de l'instrument et 
On prenant la moyenne. 

On a dû remarquer que nous avons étudié chaque erreur iso- 
lement, comme si les deux autres n'existaient pas. Les choses ne 
Se passent pas ainsi en général; les trois erreurs se présentent à la 
fois, et, en toute rigueur, leurs eflcts dépendraient non seulement 
de leurs premières puissances, mais aussi des termes supérieurs 
Comprenant leurs produits deux à deux, etc. Mais la marche suivie 
est légitime tant que ces termes supérieurs sont négligeables ; or il 
faudrait une rectification bien grossière pour qu'ils ne le fussent 
pas. 



Mesure des distances zénithales à l'aide du théodolite. 

L'axe (lu théodolite étant bien vertical, un amène le plan ver- 
tical décrit par la limetle à passer par l'ubjet. Cela peut se faire du 
deux manières, lunette à droite ou lunette à gauche. On choisit, 
pour commencer, celle de ces deux positions (svmétricjues par 
rapport ù l'axe ) ot'i les divisions du limbe vertical croissent eu sen» 
inverse de la distance qu'on veut mesurer du ïénilli ù l'objet (celui 
de lu flèche). Supposons que ce soit la premicrc. On dirige la hi- 
nctte sur ce point, on fixe le cercle alidade qui la supporte au cerelo 




limbe qui fait corps a\L'c l'axe principal et 
Désignons par u leur moyenne. Si l'on conn 
qui répond au zénith, .r — userait la distancer 
Pour éliminer cette inconnue 



lit les vernîers- 

ait la division X" 

thaïe cherchée z. 

ecours au rctouruenient. 



1 no 



On fait décrire à l'instrument tout entier i8u" autour de la verti- 
cale, puis, la lunette étant à gauche, on lu dégage en dessrrraDl 1» 
niâclioirc qui la fixe au limbe vertical ut on la fait tourner autour 
de son a\c horizontal jusqu'à ce que la ligne de visée passe par \e 
point B. I.a luuetle a évidemment décrit ainsi 9s; on la fixe i\k 
nouveau et on achève, au besoin, le pointé par la vis de rappel qui 
joint la mAchuire au cercle alitladc. Enlin ou lit les verniers, dont 



DESCRIPTION ET USAGE DU THÉODOLITE. ICI 

la moyenne sera u . On aura dès lors 

u' — // u' 4- n 

"' a ' Si 

S'il s'agit d'objets terrestres dont la distance n'est pas infinie 
par rapport à rexcentricité de lalunette, la distance zénithale ainsi 
obtenue sera un peu trop faible. On trouvera aisément que l'er- 
reur sera, en désignant par e l'excentricité et par d la distance de 
Tobjet, 

4 



JÀ-^) ^«^-^ 



quantité absolument insensible dans la pratique. 

Erreurs dues à une rectification imparfaite. 

La seule dont il soit nécessaire de se préoccuper, c'est l'incli- 
naison de l'axe principal. Cette inclinaison, estimée dans le plan 
de l'objet observé, se reporte en entier sur la distance zénithale 
conclue, car le théodolite ne donne, en réalité, que la distance an- 
gulaire de l'objet observé à l'axe de l'instrument. Mais le niveau 
fournit immédiatement la correction nécessaire, pourvu qu'on lise 
ses indications dans les deux positions de l'instrument, au moment 
même du pointé ou du moins immédiatement après chaque pointé. 
On corrige même ainsi la très petite déviation que l'axe pourrait 
prendre, dans le retournement, par le jeu qu'il doit avoir dans sa 
douille. 

Voici la règle à suivre à cet égard. Supposons d'abord que le 
niveau soit gradué à la manière des instruments astronomiques, 
c'est-à-dire avec le zéro à l'un des bouts, et que la graduation du 
niveau soit de sens opposé à celle du limbe vertical. Désignons 
par n la division qui répond au milieu de la bulle cercle à droite, 
o'esl-à-dire pour le premier pointé, et par n! la lecture faite cercle 
à gauche, c'est-à-dire pour le second pointé; nous aurons 



h' — u n' — n 



2 



On se rend compte du signe -h si l'on se rappelle qu'en ex- 



loi LIVhE PREMIER. — CHAPITRE IV. 

primant rînclinaison par Taxe penche du côté où se lrou\c 

le zéro du niveau dans la première position, c'est-à-dire, ici, du 
côté où se trouve Tobjet. Dans tous les cas, on applique la susdite 
correction avec son signe. 

Quant aux corrections dues à Tinclinaison /" de Taxe de la 
lunette et à Terreur c de collimation, les corrections applicables 
de ce chef à la distance zénithale observée sont du second ordre 
de petitesse par rapport à / et à c\ Comme ces dernières peuvent 
toujours être réduites à quelques secondes, les premières sont abso- 
lument insensibles. 

Supposons, en effet, que Taxe de la lunette ait une inclinaison 
i ^^ ZZ'; le grand cercle décrit par la Yv^uq de visée et passant par 




l'objet B sera Z'B; sa Irace horizontale sera b'LU \ la distance 
zénithale vraie sera ZB= z\ la distance zénithale donnée par le 
théodolite sera Z'B = z\ L'arc ZZ' étant perpendiculaire à Z'B, le 
triangle rectangle ZZ'B donnera 

B rrz . — cl taiïfÇ-3' izi lanjxc ro>B. 

Slllw 

Or, en réduisant z — z' en série, on a, par le premier terme, 



I r* . I r« 



z — w'=: laiïjî* 1 B sinî^c. . . ^: y -. .— X ^ sine C(»s3 .^i 

* 1 s\\\^ z '\ lang 

On aurait pareillement, pour Terreur de collimation f. 



— - - » 



et, comme il s'agit ici de termes du second ordre de petitesse, 



DESCRIPTION ET USAGK DU THEODOLITE. lO'S 

c'est-à-dire de carrés, le double produit est du même ordre. En le 

calculant, on trouverait, pour la correction due aux deux erreurs à 

la lois, 

I ifi _|_ e* i'c 



2 lang;; sm^ 

Mais i et c peuvent être réduits à une dizaine de secondes ou, en 
parties du rayon, à 

lO 

quantité dont le carré est excessivement petit. En calculant pour 
:; = i** la correction en secondes due à /', on trouverait 



1 



1 



10 






log^o i/Mjy 



- cet i« log 206265 j , 3 1 1 

6,385 - 10 
logcoti** 1,758 

8;7Î3 

Nombre.... o', oi| 

c'est-à-dire une correction tout à fait négligeable. 

Retenons seulement de cette discussion que c'est surtout dans le 
cas où Ton a à mesurer des distances zénithales très faibles qu'il 
faut apporter un grand soin aux diverses rectifications de Tin- 
strument. 

Nous avons traité en détail tout ce qui se rapporte au théodo- 
lite, parce qu'il est le type de tous les instruments de mesure en 
Astronomie, en Géodésie, en Topographie, etc. Par exemple, la 
théorie de l'équatorial se ramène purement et simplement à celle 
du théodolite en substituant le pôle au zénith. 

Méthode de la répétition. 

Par une seule mesure de distance zénithale ou d'azimut, au théo- 
dolite, on n'atteindrait qu'un degré assez faible de précision, car 
d'une part la lecture d'un vernier ne donne que les 10" ou, par 
une estime plus ou moins incertaine, les 5^', d'autre part il faut 
compter avec les erreurs de division, l'erreur de pointé, le résidu 
des erreurs instrumentales, etc. On serait donc loin d'atteindre le 



I04 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE IV. 

but qu'on se propose s'il n'y avait^ dans la multiplicalion el Tagen- 
cemenl des mesures, des ressources que nous allons étudier. Con- 
sidérons d'abord les erreurs de division. En se bornant à Tare 
II! — u mesuré sur le limbe, si l'on désigne par e' et e les cor- 
rections inconnues qu'il faudrait ajouter aux lectures //' et u pour 
en tenir compte, l'arc véritable serait u — u-\-t — s. Supposons 
que par un artifice quelconque on ait mesuré, non pas l'angle 
proposé, mais un multiple de cet angle, par exemple vingt fois cet 
arc. On n'emploiera pour cela que les traits extrêmes, que nous 
pouvons toujours représenter par li et w, et alors on aurait pour 

l'arc simple -} ^ ^ d'où l'on voit que Terreur 'relative des 

* 20 20 * 

deux traits n'entrerait ici que pour le vingtième de sa valeur. Il v 

a donc là un moyen d'atténuer indéfiniment l'effet de cette erreur. 

Angles horizontaux. 

Pour mesurer l'angle BOC (sans figure), on amènera le vernier du 
cercle alidade sur une division quelconque u du cercle limbe, et on 
fixera l'alidade au limbe. Ensuite on fera tourner tout l'instrument 
jusqu'à ce que la lunette soit pointée dans la direction OB. A ce mo- 
ment, le vernier marque toujours la division w, et l'ensemble des 
deux cercles limbe et alidade est fixé invariablement au pied de 
l'instrument. Pour achever la mesure de Tangle, on détache le 
cercle alidade, ce qui rend la lunette libre, mais non le liml)C 
gradué, et Ton dirige la lunette sur l'objet C. On fixe alors de 
nouveau le cercle alidade au cercle limbe. Si alors on lisait le 
vernier, on aurait l'arc parcouru une première fois sur le limbe. 
Mais, au lieu de faire cette lecture, on recommence la mémo opé- 
ration en prenant cette fois, pour origine de Tare à mesurer, le 
point d'arrivée de la première. 

A cet effet, on desserre la mâchoire qui unit le limbe au pied du 
théodolite, et l'on fait tourner l'instrument entier de manière à 
pointer sur Tobjet B. On fixe alors le limbe au pied, et l'on se re- 
trouveainsi danslapremière position, avec cette seule différence que 
le vernier répond, cette fois, à l'extrémité de l'arc une première fois 
parcouru sur le limbe. Partant de celte nouvelle origine, on me- 
sure une seconde fois Tare BOC, et pour cela on desserre la ma- 



DESCRIPTION ET USAGE DU THÉODOLITE. lo3 

choire qui unit le cercle limbe au cercle alidade; on amène la 
lunelte sur Tobjet C et on la fixe dans cette dernière position. 
L'arc parcouru sur le limbe depuis le premier pointé est évi- 
demment égal au double de BOC. En continuant ces opérations, 
on obtiendra successivement le triple, le quadruple, etc., de cet 
angle. Il suffit de noter le nombre n des répétitions et de lire à la 
fin le vernier, qui donnera la division //'. On aura donc 



BOC =. î^ " 



n 



- > 



expression où Terreur relative des traits u' et u se trouve aussi 
divisée par /?. 

L'erreur de pointé qui affecterait une seule mesure n'est pas ré- 
duite dans la même proportion; nous verrons plus tard que, si l'on 
désigne par Tj l'erreur probable qui dépend de l'incertitude propre 
au pointé, l'angle conclu par la moyenne de // mesures se réduit 
seulement à 



TQ 



Ainsi, si Ton a mesuré un angle par vingt-cinq répétitions, l'erreur 
de division des deux seuls traits employés, à savoir le premier et le 
dernier, se trouvera divisée par 25, et l'erreur de pointé par 5. 

La seule condition instrumentale à laquelle cette méthode si 
puissante doive satisfaire, c'est que l'instrument ne se dérange pas 
lorsqu'on passe de la première mesure à la deuxième, de la deuxième 
à la troisième, etc., c'est-à-dire qu'en déplaçant tout ensemble le 
cercle alidade et le cercle limbe, solidement reliés par une mâchoire, 
pour recommencer la mesure de Tangle BOC, le vernier de l'un 
ne glisse pas sur la division de l'autre. En d'autres termes, il faut 
que le point d'arrivée de la première mesure soit bien le point de 
départ de la seconde. 

Le théodolite, tel que nous l'avons décrit, ne se prêterait pas à 
ces diverses manœuvres, parce que le cercle horizontal gradué fait 
corps avec le pied. U faut que ce limbe puisse être, à volonté, 
rendu libre ou fixé au pied. De là un mode de construction spécial 
pour les instruments répétiteurs. U consiste en ce que le limbe est 
porté par l'axe lui-même, tandis que le cercle alidade est soudé à 



lo6 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE IV. 

une douille additionnelle qui s'emboîte sur la partie supérieure de 
Taxe. Le pied ne porte plus aucun cercle, mais seulement un bras 
muni d'une mâchoire auquel on fixe à volonté le cercle limbe, et 
par suite Taxe de l'instrument, tandis que la douille supérieure 
portant le châssis de la lunette et le cercle alidade tourne libre- 
ment, à moins qu'on ne vienne à le fixer au cercle limbe par une 
seconde mâchoire, hikjig. 34 de la page 89 fera comprendre cette 
disposition. 

Angles verticaux. 

On opère de même pour les angles verticaux ; par conséquent, 
la partie supérieure de l'instrument, c'est-à-dire son axe de ro- 
tation horizontal, le cercle limbe et le cercle alidade doivent être 
disposés de manière à permettre la répétition. C'est ici l'angle 
double 2 3, qu'on obtient par une seule mesure à l'aide du retour- 
nement. Si l'on prend pour origine de la deuxième le point d'arrivée 
de la première, la deuxième mesure donnera \z^ et ainsi de suite. 
Au bout de vingt-cinq répétitions, l'arc parcouru //' — u devra être 
divisé par 5o, ce qui rend cinquante fois moindre l'erreur de la gra- 
duation et dix fois moindre l'erreur du pointé. On comprend com- 
ment, par ce procédé remarquable, on obtient, à quelques dixièmes 
de seconde près, des angles qu'on ne mesurerait qu'à 5" ou 6" par 
une seule opération. Ici, comme pour les angles horizontaux, la 
seule condition instrumentale est que le point de départ d'une 
mesure soit bien le point d'arrivée de la précédente. Pour cela il 
faudrait qu'en faisant mouvoir la lunette avec les deux cercles pour 
passer d'une mesure à la suivante cet ensemble AU bien inva- 
riable. Or, dans ce mouvement où l'on met en jeu Tinerlie de 
masses assez notables, il est bien difficile que les axes et leurs 
douilles, dont le contact n'est pas parfait, ne se déplacent pas. 
Quand il s'agit de la mesure des angles horizontaux, on évite cet 
inconvénient en opérant avec précaution, parce que les forces 
extérieures (la gravité) dont on ne dispose pas agissent de la même 
manière sur toutes les parties, et que la rotation imprimée au 
théodolite a lieu autour d'un axe vertical. Mais, pour les angles 
verticaux, il n'en est plus de même quand on fait tourner l'appareil 
autour de l'axe horizontal. 

Les trois figures ci-jointes présentent les positions de l'instrument 



DESCRIPTION ET ItSAGE DU THÉODOLITE. IO7 

lorsqu'on passe de la Tin d'une mesure au commencement de )» 
suivante. Dans la première, Taxe repose sur la douille par sa partie 
inférieure. Il est alors fixé au limbe par la mâchoirp M. Pour 




recommencer, il faut faire tourner l'instrument de 180" autour de 
la verticale et l'amener dans une position symétrique. Rien n'est 
changé par là, car la pesanteur agit encore de même, et l'axe re- 
pose encore par le même point dans sa douille. Lorsqu'on veut 
procéder à la mesure suivante sans toucher aux vcrniers, il faut 
faire tourner tout l'appareil autour de l'horizontale pour amener la 
lunette dans la direction de l'objet. Mais, dans cette dernière po- 
sition, l'axe n'est plus soutenu par la douille; il tend à tomber pour 
la toucher par sa partie inférieure, en tournant autour de la mâ- 
choire qui se trouve alors en M", 

Si celle-ci ne cède pas, l'élasticité des pièces se prête pourtant 
à ce petit jeu ; l'axe se déplace légèrement, entraînant avec lui la 
lunette. Celle-ci tourne donc d'un très petit angle autour de M", 
angle que les verniers permettraient de lire sur le limbe, s'il n'était 
à la limite même de la précision fournie par les verniers. Toujours 
est-il que le point de départ de la nouvelle mesure n'est plus 
rigoureusement le même que le point d'arrivée de la précédente 
et que la condilion essentielle de la répétition ne se trouve pas 
réahsée. Comme le même défaut se reproduit à chaque mesure 
nouvelle, dans le même sens, si l'on désigne sa grandeur par t., 
l'angle répété n fois est vicié de la quantité /la, en sorte qu'en 
divisant par n on se trouve avoir introduit l'erreur entière a dans 
le résultat final. 

Il est bien remarquable que chaque mesure isolée obtenue par 



lo8 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE IV. 

simple relournenicnl soil indépendante de toute erreur de ce genre. 
Que Taxe ballotte dans sa douille, peu importe, si Ton a recours à 
deux vernicrs opposés. Dans la répétition, au contraire, le jeu des 
axes ne saurait être annulé que si Ton avait, pour fixer le cercle 
alidade au cercle limbe, deux mâchoires opposées. 

La méthode de la répétition a élé introduite en France par 
Borda. On s'en est servi longtemps avant de reconnaître qu'elle 
donne, pour chaque instrument, des distances zénithales affectées 
d'une même erreur a dans un même sens, erreur qui va en aug- 
mentant avec le temps, à mesure que le jeu des axes augmente par 
l'usure. Lorsqu'on eut découvert cette erreur, on se crut obligé de 
renoncer à cette merveilleuse méthode et on lui a substitué, en 
Allemagne et en Russie, une méthode bien plus pénible, mais qui 
échappe au vice que nous venons de signaler. 

Méthode de la réitération. 

Nous venons de voir que la mesure simple d'un angle est indé- 
pendante du jeu des axes, pourvu qu'on emploie des verniers op- 
posés ou équidistants, et qu'on lise le niveau dans chaque position 
quand il s'agit d'angles verticaux. Si l'on recommençait n fois la 
même mesure avec les mêmes traits, on rendrait l'erreur de pointé 

y/ï fois plus petite, mais l'erreur relative des deux divisions em- 
ployées resterait en entier. Pour atténuer celle-ci, sans répétition, 
voici comment on opère. Soient m le nombre des verniers équi- 

36o" 
distants, et par conséquent l'arc compris entre deux verniers 

consécutifs. Désignons de plus par n le nombre des mesures qu'on 
veut faire du même angle. On prendra successivement pour ori- 

36o** 36o** 

ffine les divisions u (celle-ci est arbitraire), u -\- ^ > m -h a » 

" ^ ^ mn mn 

35qo 36o° 
// -h 3 »--»M-i-(/i — i) > on mesurera chaque fois le 

nin ^ ' mn * 

même angle par le procédé ordinaire en lisant à chaque opé- 
ration les n verniers dont la somme doit être naturellement divisée 
par n. Les n mesures distinctes sont affectées des erreurs de 
division des traits employés; mais, en prenant la moyenne de ces 
n mesures, le résultat final ne sera plus affecté que des termes éloi- 



DESCRIPTION ET USAGE DU THÉODOLITE. I09 



V 



gnés de la série qui représente ces erreurs, ceux dont l'indice de 
multiplicité est divisible par mn. En effet, ce résultat final est 
précisément ce qu'on aurait obtenu si, au lieu d'employer m ver- 
niers équidistants, on en avait mis le nombre mn tout autour du 
cercle. On a donc éliminé ainsi la plus grande partie des erreurs 
systématiques de la division, et réduit notablement l'effet des 
erreurs accidentelles du pointé. 

Mais ce moyen est très pénible. Dans le cas de vingt-cinq répé- 
titions et de deux verniers, nous avions en tout quatre lectures à 
faire, deux au commencement et deux à la fin ; quand il s'agit de 
vingt-cinq réitérations, il y a cinquante verniers à lire. Il y faut 
donc beaucoup plus de temps et de peine. 

Aussi pensons-nous qu'il conviendrait de revenir à la répéti- 
lion. Pour la rendre irréprochable, il suffirait de fixer le cercle 
alidade au cercle limbe par deux mâchoires opposées. A la vérité, 
on ne pourrait plus se servir de la vis de rappel des mâchoires pour 
le pointé exact; mais on y suppléerait aisément en introduisant 
dans le réticule un fil mobile qu'on amènerait sur l'objet au moyen 
d'une vis mîcrométrique. Nous verrons plus loin les détails de ce 
petit appareil, qui permet de donner une très grande précision au 
pointé. 

Lunette de repère. 

Ajoutons, pour terminer, que tout théodolite doit être muni 
d'une lunette de repère, portée par le pied même de l'instrument 
et représentée, en coupe, sur \dijig, 34? au-dessous du limbe hori- 
zontal. Avant de commencer la mesure des angles horizontaux, on 
dirige cette lunette sur un signal éloigné et on la fixe au trépied 
du théodolite par une mâchoire spéciale. Si le pied ou le pilier de 
l'instrument venait à se déranger, par torsion ou autrement, on en 
serait averti par le dépointcment de cette lunette, et on y remé- 
dierait en faisant tourner la douille qui porte le limbe horizontal 
du petit angle nécessaire pour ramener la lunette sur le signal, à 
Taide d'une vis de rappel placée à la partie inférieure de l'instru- 
ment. 



MO LIVRE PRKMIER. -— CHAPITHK V. 



CHAPITRE V. 



THÉORIE DE L\ RÉFRACTION ATMOSPHÉRIQUE. 



»>••< 



Ainsi, avec un instrument bien construit, une bonne lunette et 
une méthode correcte, on parvient à mesurer les coordonnées 
zénithales d'un astre ou d'un objet terrestre avec la précision d'une 
fraction de seconde. Mais nous voyons les objets à travers l'at- 
mosphère dont notre globe est entouré; cette atmosphère réfracte 
les rayons lumineux qui la traversent et altère la direction dans 
laquelle nous voyons les objets. Quand il s'agit des astres, c'est 
l'atmosphère tout entière qui intervient; dans le cas des objets 
terrestres, elle n'agit sur le rayon visuel que par ses couches les 
plus basses. De là la distinction qu'il convient d'établir entre la 
réfraction astronomique, dont nous allons nous occuper, et la ré- 
fraction géodésique, que nous traiterons plus tard. 

La réfraction est un point faible en Astronomie. Pour la cal- 
culer exactement, il faudrait connaître la constitution de l'atmo- 
sphère, ou du moins la succession des indices de réfraction des 
couches que le rayon de lumière traverse sous des incidences va- 
riées. Dans l'ignorance où nous sommes à cet égard, on en est 
réduit à recourir à des hypothèses plus ou moins voisines de la 
réalité; heureusement, le pouvoir réfringent de l'air dans le^ 
basses régions est très faible, il va en décroissant avec la hauteur, 
en sorte que les réfractions que nous aurons à calculer seront tou- 
jours très petites, et nous verrons qu'on les obtient avec une 
approximation suffisante dans tous les cas où il y a intérêt réel à 
les déterminer. 

Si l'atmosphère était en équilibre, la densité de l'air, de plus en 
plus pressé par les couches supérieures, irait en croissant réguliè- 
rement jusqu'au sol. Pour appliquer l'analyse à cet état, il suflit de 
se représenter l'enveloppe aérienne comme formée découches con- 



THEORIE DE LA REFRACTION ATMOSPHERIQUE. III 

cen triques au globe terrestre, couches homogènes dans toute leur 
étendue, maïs dont la densité décroît de couche en couche à 
mesure qu'on s'élève au-dessus du sol. L'indice de réfraction de 
chacune d'elles varie depuis la surface libre de l'atmosphère, où il 
se réduit à i, comme dans le vide, jusqu'à la couche inférieure, où 
il est 1,000294^ du moins à la température o" et à la pression 
de 760"". 

(Considérons un rayon venant de l'espace interplanétaire où 
règne le vide et pénétrant dans notre atmosphère ; si par ce rayon 
et le centre de la Terre on imagine un plan, ce plan coupera nor- 
malement toutes les couches d'air successives. Le rayon réfracté 
par la première couche ne sortira donc pas de ce plan ; il en sera 
de même au passage de la première couche à la deuxième, et ainsi 
de suite jusqu'au sol. Ainsi la réfraction n'altère pas le vertical 
d'un astre et ne modifie en rien son azimut. Mais, comme l'indice 
de réfraction va en croissant de couche en couche, à chacune de 
ces couches le rayon réfracté se rapprochera de la normale au point 
d'incidence et décrira ainsi une courbe concave vers le sol, dont 
le dernier élément donnera la direction dans laquelle l'astre est vu 
par l'observateur. Cet astre paraîtra donc un peu plus près du 
zénith qu'il ne le serait sans l'interposition de l'atmosphère. La 
réfraction aura donc pour unique effet de relever un peu chaque 
astre dans son vertical, d'en diminuer un peu la distance zénithale. 

A la vérité l'atmosphère, soumise d'un côté à réchauffement 
produit par le Soleil, de l'autre au refroidissement nocturne, ne 
saurait être en équilibre. Elle est en mouvement incessant; mais, 
comme ces mouvements mêmes ont pour but de rétablir l'équi- 
libre, ils ne produisent, en définitive, qu'une oscillation continuelle 
autour de cet état d'équilibre fictif dont l'atmosphère ne s'écarte 
jamais beaucoup ni longtemps. Les grands mouvements dont elle 
est le théâtre ne répondent, en général, qu'à d'assez faibles déni- 
vellations, en sorte que nous pourrons conserver notre hypothèse 
de couches isolément homogènes, concentriques, à densités crois- 
santes, tout en avouant que la loi de ces densités doit être fort 
complexe et n'est pas de nature à figurer dans notre analyse. Nous 
la laisserons d'abord absolument indéterminée. 

Un simple théorème de Physique fera comprendre que l'on 
puisse calculer néanmoins, en certains cas, la déviation totale subie 



lia LIVRE PREMIER. — CHAPITHB V. 

par le rayon lumineux en passant du vide extérieur dans la couche 
où l'observateur est plongé et dont il connaît Faction réfringente, 
par la formule 

^'> '^-60 i-4-o,oo366^ ^ ^' 

b désignant la pression barométrique actuelle, / la température 
centigrade de Tair ambiant, /| Tindice normal, dont nous avons 
donné plus haut la valeur. 
Soient 

Iny fa^it ••• Ic^ indices de couches successives dont nous négli- 
gerons provisoirement la courbure ; 

Ia9 I/f-o •• • l^s angles d'incidence d'un rayon lumineux qui les 
traverse ; 

R/i, R«-i, • • • les angles de réfraction. 

Nous aurons 

sinU _ {/f-i 
sinHrt — /« 

sinH„_, ~ /„_,' 

et ainsi de suite, de couche en couche. Les normales à ces couches 
étant parallèles, puisque nous négligeons leur courbure, R,, = U.i, 
en sorte qu'on peut écrire 

sinl„_| ~ /« 
ou bien encore 

/,, siiil«=: /^_, >inl„_,, 

ou, d'une manière générale, 

/ iinl ^ const. 

dans toute l'éltMidue de la Irajecloire. 



(•) En rralilê, c'est t] — 1 qui. «Ka près la théorie, est |>n»|>«»rti4>niiel à la tieiisilê. 
cl non pas /, — i : mai*, si Ton liésigne /, par 1 -r- a. 

/; — 1= ia- »•= 2(^,-1) ^ z\ 

(|uaatité qui ne diffèir tle i^l^ — t) quf tlu carre tic o.o«»»«»|: /, — 1 e>l Jonc sen- 
siblement proportionnel à /] — 1 quand il s*a§it de l'air. 



THEORIE DE LA REFRACTION ATMOSPHERIQUE. 



113 



Soient z l'angle d'incidence à la limite de Tatmosphère, là où 
/ = I, et -S| l'angle d'incidence pour l'observateur plongé dans la 
couche où / = /| ; nous aurons 

sin>5 =1 /j sinx^j. 

Désignons enfin la réfraction z — Zi par p; il viendra 

sin(5i-|- p) ^ /j sin^i, 

équation qui donnera p en fonction de la distance zénithale ob- 
servée Zi, et de l'indice de la dernière couche qu'on calcule par la 
formule (i), et cela sans qu'on ait eu besoin de connaître la loi de 
succession des indices dans toute l'étendue de l'atmosphère. 

Nous allons voir qu'il en est de même lorsqu'on tient compte 
de la sphéricité des couches, mais à la condition de ne pas pousser 
l'application des formules à des distances zénithales trop fortes, 
car alors reparaît la nécessité de tenir compte de la loi de succes- 
sion des indices, autrement dit de la constitution de l'atmosphère. 



Théorie de la réfraction, en tenant compte de la courbure 

de la Terre. 



Les couches concentriques dont l'atmosphère est supposée formée 

Fig. 45. 




étant sphériques,la trajectoire lumineuse est située dans le vertical 

de l'astre, c'est-à-dire dans le plan passant par l'astre et la verticale 

8 



Il4 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE V. 

de l'observateur. Soient {fi g* 45) deux éléments consécutifs abc de 

cette trajectoire, situés dans les couches dont les indices sont /« 

et /,!»«, et dont les rayons sont /'„ et /v,_|. La loi de la réfraction 

donne 

sinl;i /„_, 

sinH,, /„ 

Le triangle hcO donne 

sinH„ /•„_, 

sinl„_, r„ 

Le produit de ces deux équations est 

sini;, r„_,/„_, 

■ — ^^H ■■■■■ " • 

sinl;,_, /„/„ 

Ainsi, on a la relation générale 

(i) /7sinl rrr: const., 

identique, au facteur r près, à celle que nous avions trouvée pour 
le cas de couches planes et horizontales. La valeur de cette con- 
stante est r|/| sin^i, en marquant d*un indice les éléments relatifs 
à la couche où se trouve Tobservateur. 

Désignons par p la réfraction, c'est-à-dire l'angle compris entre 
les tangentes extrêmes de la trajectoire, et par rfp l'angle de deux 

Fig. ',6. 






/ .^. 



/ , 






1 1 






tangentes infiniment voisines. Rapportons enfin cette trajectoire 
à des coordonnées polaires r et v^ en prenant pour pôle le centre 



TUÉORIB DE LA RÉFRACTION ATMOSPHÉRIQUE. Il5 

de la Terre et pour axe la verticale de l'observateur. I sera Tangle de 
la tangente en un point quelconque avec le ray-on vecteur; par 
suite, on aura les relations générales 

(2) dp ^=: cil -}- dç (voiryi^. 46), 

(3) -^=itangl. 

Pour la question actuelle, il faut ajouter à ces équations la difTé- 
reutielle de l'équation (1), particulière aux réfractions atmosphé- 
riques. On a, en dilTércntiant les logarithmes des deux membres, 

dr dl dl 

(4) ^-j'-^i V — o. 

' ri tangl 

Éliminons r et i^ entre (2), (3), (4); on a 

{o) dp — ^- tangl 

ou, en mettant pour tangl sa valeur tirée de (i), 

(6) rfp=--r 



C'est l'équation différentielle de la réfraction. Pour l'intégrer com- 
plètement entre les limites de l'atmosphère, c'est-à-dire entre 
t z=z i et /=:/|, il faudrait éliminer la variable r à l'aide d'une 
relation entre / et r; en d'autres termes, il faudrait connaître la loi 
de constitution de l'atmosphère. 



Expression complète de la réfraction en termes finis. 
Admettons la loi hypothétique 



? Hd 



, d'où '^t^t-Z^X 



/•/ V /, 



Posons ( j- J sin>5i =j^, et, par suite {m — 1) -^ == -^; léqu 



a- 



Il6 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE V. 

tion difTérentiellc deviendra 

{m — i)dp = ■—: — > 

dont rîntégrale esl 

{m — i)p = arccosr -h const. 

En la prenant de /:= /, jusqu^à /=i, c'est-à-dire dans loulo 
rétendue de Tatmosphère, ce qui revient aux limites y= sinzi 

I 
et 1'= -7-— -rsin^i, nous aurons 

(m — 0? ^= Rvcl ros ^ . ^ sin wj j — arc (ces ^ sin^,). 

Le dernier terme est 90" — z^. Faisons-le passer dans le premier 
membre et prenons les cosinus des deux membres : 



sin[j,— {m — i)p] — -—^sin:;,. 

'1 



Pour la mettre sous une forme plus commode, ajoutons et retran- 
chons sinCf aux deux membres ; on aura, après quelques réductions 
connues, 

tangl(m - i)p = ' . lang[:;, - \(m — i)?]. 

En posant /, = i -|- a, que Ton prenne les deux premiers termes 
du développement de (i -h »)'""* et que Ton remplace la tangente 
du petit arc ^(/?i — i)p par Tare, il vient 



/ m — I \ 
p = ïtan*:^^, ;~?)> 



a, exprimé en secondes, est 0,000294 x ao6265*:= 60", 64- Quant 

à la constante /?}, on la détermine expérimentalement. Pourri = SS*", 
robser>'ation donne p =z 61 7*, 7. On a donc 

On en tire r^z 3,54* d'où m = 8,1 ou 8 en nombre rond. 

3 

Laplace a remarqué que Thypothèse de Bouguer, dont nous 



TIIÉORIB DE LA RÉFRACTION ATMOSPHÉRIQUE. JIJ 

venons de nous servir pour intégrer Téquation (6), donne un dé- 
croîssement trop rapide de la température des couches successives ; 
il a cherché une autre hypothèse qui reproduisît mieux la variation 
réelle, et se prêtât en même temps à Tintégration de (6) en termes 
(inis. Il a obtenu ainsi 

p = 2790'', 16(0,75479— -0,49042 T*)sin>3i—:e~'''' / e-^* dt 

I002l'',34 51112^1, 



dans laquelle T = 25,962 cos;S|. C'est cette formule qu'on emploie 
en France. En Angleterre Ivory, en Allemagne Bessel ont employé 
d'autres lois et ont obtenu d'autres formules pour la réfraction. 
Il est très remarquable que toutes ces formules, y compris celle 
que nous venons de développer d'après l'hypothèse de Bouguer, 
donnent sensiblemeilt les mômes valeurs pour la réfraction jus- 
qu'à 79* ou 80° de dislance zénithale. C'est seulement dans les 
dix derniers degrés, de 80** à 90°, qu'elles cessent de s'accorder. 
Il faut conclure de cette circonstance remarquable que, jusqu'à 79°, 
les réfractions astronomiques sont sensiblement indépendantes de 
l£^ constitution de l'atmosphère, c'est-à-dire delà loi suivant laquelle 
la densité varie de couche en couche, eu sorte qu'il suffit, pour être 
en état de calculer ces réfractions, de connaître la densité ou l'in- 
dice de la dernière couche, celle où se trouve l'observateur. 

Développement en série de l'expression de la réfraction. 

Nous allons voir, en effet, qu'on peut Intégrer l'équation (6), 

dans certaines limites, sans connaître cette loi, en profitant de ce 

que r et / ne varient, dans toute l'étendue de l'atmosphère, que de 

quantités fort petites. 

T^ r, /i ,, , dl d% . 

Posons — = 1 — 5, -7 = 1-1- a, d ou i- = > ^ et a étant 

• /• / / I H- a 

de très petites fractions dont les puissances supérieures et les 
produits sont négligeables. 

Portons ces valeurs dans l'équation différentielle (6); il viendra, 
en négligeant 5^, a^, 

Ci — .v) dl. sin^i 



d? = 



y I —(^1 — 25) (1 -\- 27L) sill*^, 



Il8 LIVBE PREMIER. — CHAPITRE V. 

Le dénominaleur se réduit à 



y^cos*^iH- 2{s — a) sin^^,, 



en négligeant 5a. Si l'on divise les deux termes de dp par cos^i, cl 
qu'on développe en série le radical, on aura 

dp ^ {i — 5) doL langCj — (i — a)(i — s) d% tang'-î,-! 

Il est aisé d'inlégrer rfa et a rfa. Quant à^^ rfa, Laplace a prouvé 
qu'elle est indépendante de la constitution de l'atmosphère et il en 
assigne la valeur. Sans entrer dans cette discussion qui serait un 
peu longue, il nous suflira de constater que sa valeur est minime ; 
dès lors nous l'obtiendrons sans erreur sensible en y appliquant 
une hypothèse sur la constitution de l'atmosphère dont nous avons 
déjà vérifié la suHisante approximation. Posons donc 



— 0U(| — 5)= -r- = 



On en tire 



m 



S =1 m X, 



en négligeant les puissances supérieures de la très petite quantités. 
Dès lors rintégrale de la série précédente, prise de o à z, sera 



s — I a a' J langw, 7} tang' Jj- 

En donnant à x la valeur /, — 1 = 0,000294 et à m la valeur 8, on 
trouve, après avoir multiplié les deu\ termes par 206265^ pour 
réduiie en secondes, 

p - 6o\6i tang^i — o',o57 tang^-i. 

Mais celle expression, qui représente très bien les réfractions jus- 
qu'à ^1 - - 79**, commence plus loin à être en défaut et n'a plus 
de sens à l'horizon pour w, ^^ 90*. Celle formule suppose seulement 
que les couches dont Tatmosphère est composée sont parallèles 
les unes aux autres, c'est-à-dire concentriques et sphénques. La 
même supposition se retrouve au fond de toutes les théories de la 
réfraction, et, cv>mme ces théories représentent le phénomène que 
nous étudions d'une manière satisfaisante, aussi bien dans les ré* 
^ons équatoriales et les contrées polaires que dans la zone lem- 



THEORIE DE LA REFRACTION ATMOSPHERIQUE. IIQ 

pérée, il faut en conclure que les grands mouvements réguliers de 
Tatmosphère, origine de tous les phénomènes météorologiques, 
s'opèrent parallèlement au sol, sans troubler essentiellement la 
concentricité des couches aériennes. 

Quant aux diverses lois que les géomètres ont proposées pour le 
calcul de la réfraction à partir de 80° de distance zénithale, elles 
sont toutes plus ou moins inexactes. La meilleure est celle de 
Laplace, qui a pris pour base un décroissement régulier de i® 
du thermomètre pour chaque accroissement de 173°* dans la hau- 
teur, nombres fournis par une mémorable ascension en ballon de 
Gay-Lussac. La loi imaginée par Bessel est loin de satisfaire à ces 
observations, regardées à juste titre comme fondamentales. Toute- 
fois nous savons aujourd'hui que la variation de la température ne 
suit pas toujours la marche régulière qu'on avait d'abord sup- 
posée. Au-dessus des aires de haute pression, par exemple, la 
température va d'abord en croissant avec la hauteur au lieu de 
diminuer. Ainsi, pendant le rude hiver de 1879- 1880, lorsque le 
thermomètre marquait — 15" à Clermont-Ferrand , il s'élevait à 
-^3" au sommet du Puy-de-Dôme, 11 00" plus haut, au lieu de 
— 21° qu'il aurait dû marquer d'après les anciennes idées. 

On ne peut donc compter sur l'exactitude des réfractions cal- 
culées d'après une formule quelconque au delà de 79®. L'incerti- 
tude, qui va déjà à ±: 2" vers 85°, atteint 3o'' ou 4®" à l'horizon. 
Heureusement la région importante pour les astronomes s'étend 
du zénith à 80®, et c'est celle pour laquelle la réfraction se calcule 
indépendamment de toute hypothèse. Au delà, les images des 
astres deviennent trop ondulantes pour se prêter à une observation 
bien exacte. En outre, la dispersion atmosphérique devient sen- 
sible ; elle transforme l'image de chaque étoile en un spectre al- 
longé, ce qui détruit absolument la certitude du pointé. 

Table des réfractions. 

La Table suivante a été calculée, pour t =: o*' et b — 760""", par 

la formule 

p z=:6o'',6i tangwi — 0^,057 tang'j,, 

jusqu'à 79*^. De 79° à 90**, on s'est servi de la {ormule complète de 



IJO 



LIVRE PREMIER. — CHAPITRE V. 



Laplace. On y a joint une Table additionnelle donnant les facteurs 
barométriques et thermométriques par lesquels il faut multiplier 
la réfraction tabulaire pour avoir celle qui répond à Tétat actuel de 
Patmosphère. 

Table des réfractions moyennes (*), suivant Laplace. 



Réfractloa. 



Réfrectloa. 



Rémcttoa. 



O. 
I . 

a. 
3, 

4. 
5. 

6. 
8. 



o. o 
o. I 
o. 1 



9- 

lO. 

II. 
12. 
i3. 

II. 
i5. 

i6. 



«7 

i8. 

'9 

ai. 
11. 



o. 
o. 
o. 
o. 
o. 



3 

4 
5 

6 



.. o. 8 

.. o. 9 

o.io 

. . o.ii 

. . o. la 

o.i3 

. . o.i ( 

. . o.i5 

. o. i6 

.. 0.17 

.. 0.18 

.. o.ao 

.. o.ai 

.. 0.!»2 

.. 0.!l3 

a3 o.!i4 



24 
aS. 

a6 

^7 

a8. 

29 
3o 



o.a6 
0.27 
0.28 
0.29 
o.3i 
0.32 
0.33 



o 
o 
o 
l 
I 
I 
I 

2 

1 
3 
3 

4 
5 

5 

6 

7 
8 

9 
I 

1 

\ 
6 

8 

o 

2 



o 



3o 0.33,7 

3i 0.35,0 

32 o.36,4 

33 0.37,9 

34 • • . • o . 39 , 3 

35 0.40,8 

36 0.42,3 

37 0.43,9 

38 0.45,5 

39 o.i7,2 

40 0.48,9 

4i o.5o,7 



ir 



|2 0.)2,D 

43 o.5i,3 

Î4 o.56,3 

46 

47 

48 

19 

5o 

5i 

îa 

53 

54 

Jl 

56 

^7 

58 



>9 



o.58,3 
. 0,3 

. 2,5 

• 4 » / 

• 7,0 

• 9îî 
. 11 .9 

.i|,5 

.17,2 

.20, 1 

.23,1 

.26,3 
.29,6 
.33,1 
.36,8 

.4*>»7 



60 

61 

62 

63 

64 

65. . . . 
66 

67 

68 

69 



71- 

72 • 

73. 

74 

75 

76. 

77' 
78. 

79 
80. 

81. 

82. 

83. 

84. 
85. 

86. 

î^7- 
88. 

%. 
90. 



1.40,7 
1.44,8 

1.49,3 

I .54,0 

1.59,0 

2. 4,4 
2.10,3 
2. 16,6 

2.23,4 

2.3o,8 
2.38,9 

^.47,8 
a. 57, 7 

3. 8,6 
3 . 20 , 8 
3.3i,5 
3.5o,o 

4. 7,7 
4.28,1 

4.5i,9 

5 . 20 , o 

5.53,7 

6.34,7 
7.^5,6 

8.3o,3 

9.54,8 

11.18,8 

i4.ti8,7 

18.23, I 

2 1.22.3 

33.47,9 



\* } En réalité, ces réfractions rêpoodent. non à / — o'. mais à / — lo*. On les a 
calculées ainsi pour les géographes et les marins, qui n'ont pas besoin d'une tn-s 
;;randc précision cl qui négligent le plus sou\ent les corrections relatives au ther- 
momètre et a a haromèUne. 



THÉOBIB OB LA RÉFRACTION ATMOSPHERIQUE. 



121 



Table des corrections. 





Haal«nr ba 


rométrlqua. 
Baro- 


■ 




Tempér 


a tare. 
Thermo- 




Baro- 


Tbermo- 






nèlre. 


Factoor. 


mètre. 


Facteur. 


mètre. 


Facteor. 


mètre. 


Facteur. 


mm 




mm 














720... 


0,947 


745... 


0,980 


— 10... 


1,080 


-f-l5... 


0,982 


721... 


0,949 


746... 


0,982 


9... 


1,076 


-m6... 


0,978 


722... 


o,95o 


747-. • 


0,983 


— o« . . 


1,071 


-^17... 


0,975 


j As3 • • • 


o,95i 


748-.. 


0,984 


^ 
/••• 


1,067 


~l8... 


0,971 


724... 


0,953 


749-- 


0,986 


— 6... 


i,o63 


-f-19... 


0,968 


725... 


0,954 


750... 


0,987 


— ^ 


1,069 


-i-20... 


0,964 


726... 


0,955 


75i... 


0,988 


■ 4.- 


I ,o55 


-4-21... 


0,961 


727... 


0,957 




0,989 


--- 3 

\j • • • 


I ,o5i 


-i-22... 


0,957 


728... 


o,958 


753... 


o,99ï 


" """ »% • • 


1,047 


-r-23... 


0,954 


729... 


0,959 


754... 


0,992 


— 1... 


1,043 


--24... 


0,950 


73o... 


0,961 


755... 


0,993 


0... 


1,039 


-h 25... 


0,947 


-"Si 

y \# • • • • 


0,962 


756... 


0,995 


— 1 ... 


I ,o35 


-T-26... 


0,944 


732... 


0,963 


757... 


0,996 


— 2... 


I ,o3i 


-1-27... 


0,940 


733... 


0,964 


7 Jo« •. 


0,997 


sj • • • 


1,027 


-} 28... 


0,937 


734... 


0,966 


739... 


0,999 


4"- 


1 , 023 


-^29... 


0,934 


735... 


0,967 


760... 


1 ,000 


%,W 9 * • 


1,019 


-r 3o... 


o,93i 


j <30 . » • 


0,968 


761... 


1 , 00 1 


— 6... 


I ,oi5 


-3i... 


0,927 


737... 


0,970 


769.... 


I ,oo3 


- ; 7 . . . 


1 ,01 1 


-4-32... 


0,924 


738... 


0,971 


763... 


1,004 


-f- 8... 


1,007 


-\ 33... 


0,921 


739... 


0,972 


761... 


1 ,oo5 


9... 


1 ,004 


-:-34". 


0,918 


740... 


o,97J 


765... 


1,007 


- 10... 


1 ,000 


-f-35... 


0,915 


741... 


0,975 


76G... 


1 ,008 


~i 1... 


0,996 


-^36... 


0,912 


742... 


0,976 


767... 


1,009 


— 17.... 


o,9y3 


f-37... 


0,908 


743... 


0,978 


768... 


1 ,01 1 


--iJ... 


0,989 


— f- JO. . . 


0,905 


744- 


0,979 


769... 


1 ,012 


-r-\i\... 


0,985 


-T-39... 


0,902 


745... 


0,980 




I ,oi3 


-T-I 3... 


0,982 


-T-4o... 


0,899 



Voici un exemple de ce genre de calcul. On a absente une étoile 
par 7i**4o'*o'',o de dis lance zénilhale apparente ; le baromètre 
(^réduit ào^)marquait']']o^^ et le thermomètre extérieur — 5", o : 
on demande la distance zénithale vraie. 



La Table donne pour 71°. . . . 2. ^7,8 

Variation pour 40', 2 o. 6,6 

Réfraction tabulaire 2 . 54 , { = 1 7 T, 4 

Facteur barométrique i ,oi3 

Facteur thermométrique i ,059 

Produit 1 ,073 



I2'JI LIVRE PREMIER. ~ CHAPITRE V. 

T74',4 X 1,073 = 187',! 

Distance zénithale apparente .... 71 .40. 10,0 
Réfraction o. 3. 7,1 

Distance zénithale vraie 71.43. 17,1 

On ne lient nul compte de l'état hygrométrique, quoique la 
vapeur d*cau ait un indice un peu plus fort que celui de Tair 
qu'elle remplace; mais, comme sa densité est moindre, il se trouve 
qu'il y a compensation. 



DÉTERMINATION DES COORDONNÉES GÉOGRAPII. D*UN LIEU. T^3 



CHAPITRE VI. 

DÉTERMINATION ASTRONOMIQUE DES COORDONNÉES 

GÉOGRAPHIQUES D'UN LIEU. 



Ces coordonnées sont \ et L. Comme L = H — H^,, il faut aussi 
déterminer l'heure H du lieu. Quanta H^, heure de Paris au même 
instant, nous la supposerons connue. 

Il ne suffit ni au marin ni au géographe d'obtenir les coordonnées 
de la station : il leur faut encore s'orienter, c'est-à-dire déterminer 
avec plus ou moins d'exactitude la direction du méridien, origine 
des azimuts des signaux terrestres qu'il aura à mesurer. Les in- 
struments dont l'observateur aura besoin sont un théodolite placé 
et bien rectifié sur un pilier en pierre, un baromètre et un thermo- 
mètre pour le calcul des réfractions, enfin une pendule sidérale bat- 
tant à peu près 86400* par jour sidéral. Il lui faut, en outre, la Con- 
naissance des TempSy éphéméride publiée chaque année par le 
Bureau des Longitudes, pour y prendre à vue les coordonnées ura- 
nographiques des étoiles dont il se servira. 

La première chose à faire est de reconnaître les astres qu'il con- 
vient d'observer. Ces étoiles ont des noms propres qui sont marqués 
sur les Cartes célestes et dont on se sert dans les éphémérides. Pour 
se familiariser avec ces détails , on commence par chercher la 
constellation de la Grande Ourse, toujours visible sous nos climats. 
Sur l'alignement des étoiles a et ^ de cette constellation, à cinq 
fois environ l'arc a^, se trouve a de la Petite Ourse, ou la Polaire. 
De là, à l'aide d'une Carte céleste, et par des alignements indiqués 
sur cette Carte, on retrouve, de proche en proche, les principales 
étoiles dont il faut se rappeler les noms et parmi lesquelles nous 
aurons tout à l'heure à faire un choix. 

Le second point dont l'observateur devra se préoccuper, ce sera 



124 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE VI. 

d'obtenir rapidement des valeurs approchées des éléments qu'il se 
propose de déterminer plus lard avec précision, c'est-à-dire do 
l'heure, de la colatitude, de la direction du méridien. 



Méthode des hauteurs correspondantes. 

La direction du méridien étant grossièrement indiquée parcelle 
de l'étoile polaire, l'observateur choisira, à Test de ce plan, une 
étoile qui en soit peu éloignée. Il dirigera la lunette sur celle étoile 
et, au moment du pointé, il notera l'heure h de la pendule. L'in- 
strument étant fixé dans cette position, il lira la direction azimu- 
lale a sur le cercle horizontal. Quant au cercle vertical, il suflit 
que les mâchoires soient serrées. Puis il attendra que l'étoile ait 
passé de l'autre côté du méridien et revienne à la même hauteur. 
Pour cela, il la suivra par le mouvement azimutal seulement de la 
lunette, sans déplacer celle-ci sur son propre limbe. Lorsque l'étoile 
aura atteint de nouveau la croisée des fils, il noiera l'heure // de la 
pendule, fixera l'instrument en azimut et lira de nouveau les ver- 
ni ers. 

Soit u celte seconde lecture. Comme le méridien du lieu est un 
plan de symétrie pour tous les phénomènes du mouvement diurne, 

sera, sur le limbe horizontal, la direction du méridien ; 

sera l'heure du passage de Téloile par ce plan. L'étoile étant 
connue, on en prendra l'ascension droite iR pour la date de Tob- 
servation dans la Connaissance des Temps, et, comme ilV en terap^ 
donne précisément l'heure sidérale du passage de Tétoilc au méri- 
dien, on aura 

pour le relard de Thorloge; s sera la correction à ajouter à toutes 
les indications de cette horloge pour avoir l'heure sidérale. 

Cela fail, on amènera le cercle vertical dans la direction du 

méridien ( le vcrnier marquant — ^ J el on y attendra le passage 

<rune étoile connue. On en mesurera la distance zénithale méri- 
<lienne z^j et, à l'aide du o de celle étoile pris dans la Connais- 



DÉTERMINATION DES COORDONNÉES GÉOGRAPH. D*UX LIEU. 127 

sance des Temps, on aura la colalilude ). par 

HZ A -f- Z,fi, 

formule où l'on donnera à Zm le signe -|- ou le signe — selon 
que l'étoile se trouvera au sud ou au nord du zénith, et à o le 
signe ± selon que l'étoile se trouvera au-dessus ou au-dessous 
du pôle. La figure ci-jointe en rendra aisément compte. 




Circonstances favorables à la détermination exacte de Theure 

et de la colatitude. 

Reproduisons ici les équations fondamentales de la transfor- 
mation des coordonnées : 

(i) cos-3 =: cosX coso -h sinX sino coSiH, 

( 2 ) sin z ces A = — sin X ces 8 -h ces X sin S ces Ai, 

(3) sin^sinA^zi sinosinill. 

Avec le théodolite, à un instant donné par la pendule, on mesure 
le z d'une étoile dont les coordonnées uranographiques iïV. et o 
sont connues; on en déduit, par l'équation (i), soit )x, soit iH, et 
par conséquent H. Comme Tobservateur est maître du choix de 
l'étoile et de Tinstant de l'observation, il doit, avant tout, se 
préoccuper de choisir les circonstances favorables à l'exacte déter- 
mination des inconnues. DifTérentions l'équation (i) par rapport 
à Zy X et M. Quant à 8 et A, ce sont des données d'une très 
grande exactitude qui résultent des observations antérieures des 
astronomes. Il vient ainsi 

— sinzdz^=:{ — sinXcoso-hcosX sino cosiîl) d\ — sinX sino sin^ dAl. 
Cette relation, comparée à (a) et à (3), se réduit à 

(4) dzz:^ — cosA éA -h sinX sinA t/.H. 



Il6 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE VI. 

S'il s'agit de déterminer Theure, on aura 

dM ~ -7-^- r -+- 



sinXlanirA sinXsinA 



o 



(en divisant par sin A, on suppose que A n'est ni o° ni 180®). Cette 
erreur sera minimum si A = 90" ou 270"; en d'autres termes, une 
erreur commise sur \ n'aura aucune influence sur l'heure, et une 
erreur sur z aura la moindre influence sur l'heure si l'étoile 
choisie se trouve à 90" du méridien, à l'ouest ou à l'est, c'est-à-dire 
près du deuxième ou du quatrième vertical. 

S'il s'agit de la colatitude, on tire de (4), en divisant par cosA, 
ce qui suppose que A n'est ni 90® ni 270^, 

dz 

^ = sinX tangA dM v 

ces A 

Cette erreur est donc indépendante de celle de l'heure employée, 
et aussi peu dépendante que possible de celle de la distance zéni- 
thale, si l'on fait choix d'une étoile située dans le méridien, ou très 
près de ce plan. 

1° Détermination précise de r heure, — On a mesuré, par 
une double opération, aux heures très voisines h et A' de la pen- 
dule, la distance zénithale d'une étoile près du deuxième ou du 
quatrième vertical, h répondant à la première observation cercle à 
droite. A' à la seconde, cercle à gauche. On a noté en même temps 
les indications du niveau dans les deux positions et celles du ba- 
romètre et du thermomètre. On est donc en état d'en conclure : 
i^ la distance zénithale apparente Zx\ 2"* la distance zénithale vraie 
5 = w| -h p. Dès lors, (i) donnera 

cosc — rosX coso 
rosJï=i - 



sinX sino 



ou, si l'on veut une formule calculable par logarithmes, 



I tr !_ . /sin(5 — X)sin(.ç — 

langi Jï - il 4/ — ^. J-—^ 

y SII15 sm(5 — z) 



- > 



en posant 25 = o-i-î^-i-^.On prendra le signe -f- si l'étoile observée 
est à l'ouest, le signe — si elle est à l'est. .H ayant été calculé par 



DÉTERMINATION DES COORDONNEES GÉOGRAPH. d'uN LIEU. 1^7 

cette formule et exprimé en temps, on aura 

Par conséquent, le retard s de la pendule sidérale au moment de 
l'observation sera 

11 zz: £. 

2 

Dans le calcul de cette formule on pourra employer une valeur 
approchée de \ pourvu que l'observation ait été faite dans les 
conditions susdites. 

Par cette manière de procéder, on admet tacitement que la dis- 
lance zénithale conclue de deux opérations faites aux heures très 
voisines h et A' de l'horloge répond bien à la moyenne des heures 

h -4- h' 

• Cela suppose que dans ce court intervalle la variation de z 

est proportionnelle au temps. C'est ce qui aura lieu effectivement, 
d'après (4), si l'étoile a été prise à 90° à peu près du méridien, car 
alors on a sensiblement 

dz^=zs\ï\\ dM. 

2® Détermination précise de la colatitude, — Cette fois il faut 
choisir une étoile située très près du méridien. Soit z sa distance 
zénithale conclue, comme d'ordinaire, des deux observations cercle 
à droite et cercle à gauche, aux heures sidérales désormais con- 
nues H et H'. Supposons que z ait été dûment corrigé de la réfrac- 
tion et portons-en la valeur dans (i) ; on en conclura la valeur de \, 
Comme X y figure à la fois sous les signes sinus et cosinus, le 
moyen qui se présente le premier à l'esprit est de recourir à des 
quantités auxiliaires ni et o, en posant 

coso r= m cos<p, 
sin 8 cosifï := 7/1 sin ©, 

d'où l'on conclut m et ç, et par suite A, par 

COSZ r=z C0S(X — ^). 

Comme \ n'est déterminé que par le cosinus de \ — ?? ^^ y aurait 
ambiguïté; mais celle-ci disparait dans la pratique, si l'observateur 



ia8 LIVRE PREMIER. — CHAPITRE VI. 

a eu soÎQ d'obtenir d'abord une valeur approchée deX. On prendra 
pour X — cp Tare qui donne à X une valeur voisine de celle première 
approximalion. 

Celle solution esl générale ; elle s'applique donc au cas où Ton 
a choisi une étoile dans une position quelconque. Mais, comme 
Tobservatcur a dû la choisir près du méridien, M esl 1res pelil el 
l'on en profite pour simplifier le calcul. Soit Zm la dislance zénithale 
telle qu'on l'aurait obtenue si l'observation avait été faite dans le 
méridien même. Dans ce cas, on aurait X par la formule bien 
simple 



— A =: C 



m 



Dès lors, en remplaçant cosM par i — 2 sin^iiH el — A par z^^ 
Téqualion (i) devient 

ces:; m ces j,,, — 2 sinX sinS sin* j^H, 
ou encore 

sin;(c — -3,,,)= . .. , -sm*]i«, 

où l'on peut remplacer le sinus du petit arc ^{z — z„,) par l'arc 
lui-même en écrivant 

._ 206265^ 2sinXsin$ '.ijii 

sin{{z-hz,n) 

Celte formule contient les inconnues ). el z^ dans le second 
membre; mais, comme sin^^iH esl très pelil, il sera permis d'em- 
ployer dans le calcul une valeur simplement approchée de X el de 
remplacer sin^(z -\- Zm) par sin^. Le petit arc^ — z^j qu'on en 
déduit en calculant à trois ou à quatre décimales seulement, se 
nomme réduction au méridien; en l'ajoutant au z observé, on 
obtiendra Zmy et par suite ).. Quant à Al y angle horaire de l'étoile 
au moment de l'observation, on le calcule par 

riieure H étanl donnée par h s, car le relard e de la pen- 
dule a été déterminé antérieurement. 

Ici se présente une remarque analogue à celle du précédent 
paragraphe. La dislance zénithale z résulte de deux pointés exé- 



DéTBRMINATiON DBS COORDONNÉES GÉOGRAPH. D*UN LIEU. 129 

culés aux heures h et A' de la pendule : esl-il permis de conclure 

que ce z répond bien à la moyenne des heures — — — ? Très près 

du méridien, la variation de z est, comme on le voit, proportion- 
nelle, non plus au temps, mais au carré du temps ou àiH*. Il fau- 
drait donc, en toute rigueur, calculer la réduction au méridien 
5 — 5m pour les deux pointés et appliquer la moyenne de ces 
résuluts au z observé; mais, si l'intervalle A'— A des deux pointés 
est très petit, l'erreur résultant du premier mode est négligeable. 

L'observateur ne doit pas se borner à une seule mesure de z ; 
il multipliera ces mesures sur la même étoile, sans s'écarter beau- 
coup du méridien (autrement l'erreur possible de Theure inter- 
viendrait dans les résultats), et réduira chaque observation de la 
même manière. L'accord de ces déterminations diverses lui per- 
mettra de juger du degré de précision obtenu pour la colatîtude 
conclue. 

Il ne sudQrait pas d'observer une seule étoile; il faut en ob- 
server plusieurs, choisies dans des régions différentes du ciel, 
c'est-à-dire au nord et au sud. C'est même ainsi que les géodé- 
siens ont découvert l'erreur constante introduite par la répétition 
dans la mesure des distances zénithales, surtout lorsque l'instrument 
commence à s'user. Celte erreur a pour effet, comme on l'a vu, 
d'altérer dans le même sens toutes les distances zénithales. Sup- 
posons celles-ci trop fortes d'une quantité a à une certaine distance 
du zénith : on aura, pour la colatitude conclue d'une étoile au 
sudy 

— {^m -h a) — X — a, 

et, par une étoile du nord située à pareille distance du zénith, 

2'-^- {^'m -h a) zz: X -f- a. 

Effectivement, les cercles répétiteurs donnent en général des 
colatiludes différentes suivant qu'on observe au nord ou au sud. On 
a cherché à éliminer l'erreur en prenant la moyenne des deux 
résultats ; mais cela suppose que les deux erreurs, au nord et au 
sud, sont égales, ce qui n'est nullement certain. 

La méthode de la réitération est exempte de cette erreur; il faut 
donc recourir à cette méthode, à moins d'adopter le système que 

9 



l3o LIVIB PIBMIBI. — CHAPITAB Tl. 

nous avons indiqué plus haut pour faire disparaître l^erreur con- 
stante des instruments répétiteurs. 

3® Orientation, — La colatitude et la correction de la pendule 
étant bien connues, il ne reste plus qu^à déterminer la direction 
du méridien. Pour cela on obser\ey à Taide du théodolite, Tazimul 
pro\âsoire (compté à partir du zéro de la division du limbe ho- 
rizontal placé dans une position quelconque ) d'une étoile connue. 
Soient u la division qui répond au vertical de Tastre à Tinstanl H 
donné par la pendule, et A Tazimut réel de cet astre à cet in- 
stant : u — A sera la diN-ision à laquelle répondra le méridien (le 



point sud), et, si Ton amène Falidadesur celte division, la lunette, 

en tournant autour de son axe horizontal, décrira le méridien. Il 

ne reste donc plus qu*à calculer Tazimut que doit avoir l'étoile à 

rinstant H. En divisant membre à membre les équations (a) et (3), 

on a 

cot A sin.tt := — sin). coto -r- cosX cos.fl, 

équation analogue, sauf le signe de cot A, à une catégorie d'équa- 
tions des triangles sphériques. .H, A, o étant connus, cette relation 
donnera Tazimut cherché A. 

Pour apprécier les conditions d'exactitude, diflerentions cette 
relation par rapport à A et à .H = H — Jl. U vient ainsi 

sin.H — cos.fl cot A iLVi — — cosà sin^O dM. 



sin^ A 
On en tir^, en multipliant les deux membres par sin A, 

^, \ t/A =: vcos A cos.fl — sin A sin^ cosa) dM. 
sin A ' 

Le facleor entre parenthèses n'est autre chose que le cosinus de 
l'angle E da triangle PZE. 



DÉTERMINATION DES COORDONNÉES GÉOGRAPH. d'uN LIEU. l3l 

On a, en effet, par la formule (5) de la page 60, 

cosE = — cosA cosM -+- sinA siniflcosX, 

et, en observant que pour les coordonnées sphériques A est le sup- 
plément de l'angle A du triangle PZE, 

cosE = cosA coSifl 4- sinA sinifleosX. 
Donc 

^A = — cosE ciM ^= —. — cosE dAl, 

siDiH sm^ 

L'incertitude de l'angle horaire M ou de Theure H aura donc d'au- 
tant moins d'effet que l'angle E sera plus voisin de 90". 

Cet angle E, auquel on donne le nom A^ angle de position, ne 
peut être droit que pour les étoiles circumpolaires. Il y aura donc 
tout avantage à observer une de ces étoiles dans la position E de 

l^'ig. 49- 



la figure ci-jointe, c'est-à-dire lorsque le cercle de hauteur ZE est 
à peu près tangent au parallèle diurne décrit par l'étoile. 

En général, on mesure la différence d'azimut entre un signal 
éloigné et une étoile circumpolaire en notant l'heure H, et l'on 
ajoute à cet angle l'azimut calculé de l'étoile, à l'heure II, pour 
avoir l'azimut absolu du signal. 

4** Longitude. — Maintenant que nous sommes en état de dé- 
terminer l'heure H du lieu avec une grande précision, il nous suf- 
fira de connaître l'heure de Paris H^ au même instant pour obtenir 
la longitude par la formule 

La détermination de H^est un problème difficile. Il existe, pour 
le résoudre, trois moyens fort différents ; i°le transport de Theure 



l3a LIVRE PREMIER. — CHAPITRE VI. 

à Taide de chronomètres bien réglés sur Theure de Paris avant le 
départ de l'observateur ; 2*^ la transmission de l'heure de Paris par 
le télégraphe, partout où il existe des câbles électriques; 3* l'obser- 
vation de certains phénomènes astronomiques par des méthodes 
qui seront exposées dans la dernière Partie. 

C'est pour résoudre ce problème par la première méthode que 
l'horlogerie de précision a été si ardemment cultivée depuis deux 
siècles; c'est pour trouver en mer l'heure de Paris (ou en général 
du preihier méridien) parla troisième méthode que la théorie de la 
Lune a été poussée si loin dans ces derniers temps. 

EXEMPLES NUMÉRIQUES. 

Déterminatioii de rheure. 

Le i" avril 1880, à Paris, à j^'a^'iS*,©, temps de la pendule, 
on a absente Arctii rus par z = 63® 16' 1*^,4 {corrigée de la réfrac- 
tion): déterminer V heure sidérale, et par suite le retard absolu 
de la pendule. Quelques observations préliminaires ont donné 
4i*'io' pour la valeur approchée de A et a** ai" pour le relard 
cherché. L'observation d'Arcturus a été faite à Test. Les coordon- 
nées d'Arclurus sont -ÎV = i4*'io"'i4*,i6, o = jo**i Td^", 7. 

Prenons la formule (i), sans aucune transformation : 

cosz =: cosX coso -<- sinX sîdo cos^fl. 

logcosj... 9,653o5io logcosX 9,8766785 logsinÀ. 9.8183919 

Nombre. .. 0,4 i983a8 logcoso 9.5-299065 logsin o. 9.9735291 

2* nombre. o,255oa63 log 2* nombre. 9.4o6585o 3*log... 9.7919210 



Dilï 


o,i9|8o65 


logiiifl* 


9,2896034 


3* log 


9.7919210 



k ■ * 

Jl 14.10.14,16 

.il (en temps ' 19.13.20.00 

logoosJI.. 9.4976824 H 9.23.34,16 

Al 288*20*0', o A i penJuIe 7. 2.1 5, 00 

Relani 2.21.19,16 

Ainsi il faudra ajouter à toutes les indications de la pendule 
2^2 1" 19*, 16 pour avoir Theure sidérale. 

Lerreur de ce résultat, provenant de Tinceriitude de la valeur 



DÉTERMINATION DES COORDONNÉES GÉOGRAPH. D'uN LIEU, J 33 

provisoire de X, est donnée par 

dM= ■ ,^ , . 
SIDA tangA 

L'azimut A se calcule par l'analogie des sinus : 

logsin8.. 9»9735 

logsiniH 9i9774^ 

G*logsin.s 0,0491 

logsin o,oooo/i 

L'angle A est donc de 270'*; sa tangente est infinie, et par suite 
clM est nul en tant qu'il provient de cTk. Quant à l'erreur pro- 
bable du retard provenant de celle de z, elle se réduit ici, puisque A 
est à peu près de 270®, à 

^^ r ^ 

—r—r 1=1,52 dZ, 

sinX 

i" 52 
Si l'on a mesuré z à i*^ près, l'heure sera déterminées — V- = ^%i 

près. 

Détermination de la colatitude par des observations 

circumméridiennes. 

Le même jour on a observé près du méridien a du Lion (Régu- 
lus), dont les coordonnées étaient 

M = lo^a^iSô, 8 = 77*»27'2^8. 

On a trouvé, par la double opération du retournement, 

à lo'^S" o' 



à lo-'S" ©• J o. , . 

à 10" 5"! 4* ^ 



I-.es heures sont déjà corrigées du retard ci-dessus, et la distance 
zénithale a été corrigée de la réfraction. Ici nous donnons les 
heures des deux pointés au lieu de leur moyenne, comme dans 
l'exemple précédent, parce que la distance zénithale de l'étoile, 
près du méridien, ne variant plus proportionnellement au temps, 
mais comme le carré du temps, la moyenne des heures, dont la 



i34 



LIVRB PREMIER. —CHAPITRE VI. 



différence est de plus tle a", ne répond plus à la demi-somme des 
distances zénithales. Nous calculerons la réduction au méridien 
pour chacune de ces heures, et c'est leur moyenne que nous ap- 
pliquerons à la distance zénithale observée. 
La formule exacte de cette réduction est 



sin^(j — ^;„)=i 



sinX sino 



sin'AiH. 



On prendra pour X et ^{z -{- z„,) les valeurs approchées 4 '"'<>' 
et 36^17'. Voici le calcul : 



H. 
M 
M. 



h m s 

10. 3. 0,5 



h m 9 
10. 5.14,0 



10. a. 1,6 10. a. 1,6 



{ M en arc . . . 



o. o.58,4 
7' 18' 



o. 3.12,4 
24'3' 



logconst 5,55ii 

logsin^ifl ... 4, 6541 

0,2002 



5,55ii 
5.6897 
1,2408 






log2 

logsinX. . 
logsin8 . . 
C*logsin>s 
log 206265 



Ï7 ,4 



Moy. = 9', 5 



o,3oio 

9,8«95 
0,2278 

5,3i44 
5,55ii 



'^nf 



'm 



0. 



36.17.27,1 

— O.- o. 9,5 
36.17.17,6 
77.27. 2,8 

41. 9.45,2 



Si Ton se bornait à calculer la réduction au méridien pour la 
moyenne des heures 10** 4"* 7% ^^ trouverait 7", 4' valeur sensible* 
ment erronée. 

Lorsqu'on a un assez grand nombre de mesures circumméri- 
diennes de ^ à réduire, on abrégera le calcul en appliquant à U 
moyenne des z la correction 

sinXsino S206265' x 2 sin'{*fl 



sin{(-5-+--5^) 



n 



dont la Table suivante fournira aisément le dernier facteur : 



DETERMINATION DBS COORDONNÉES GÉOGRAPH. D'UN LIEU. l35 



M, 206265' X 2 sin^-^. 



m 


H 


0,00. . . 


0,00 


, 20 . . . 


0,22 


0,40. . . 


0,87 


1,00. . . 


1,96 


1,20. . . 


3,49 


1,40.. . 


5,45 


2yOO. . . 


7,85 


a,ao. . . 


10,69 


2,40. . . 


13,96 


3,00. . . 


17,67 


3 , 20 . . . 


21,82 


3,40. . . 


26,40 


4)Oo. . . 


3i,42 


4)20. . . 


36,87 


4,40... 


4-^,76 


SyOO. . . 


49,09 


5 , 20 . . . 


55,84 


5,40. . . 


63, o5 



M, 206265" X 2 sin*|ifl. 



m 
6,00. . . 


70", 68 


6,20. . . 


78,75 


6 , 40 • • • 


87,26 


7,00. . . 


96,20 


7,20. . . 


io5,58 


7,40.. . 


ii5,4o 


8 , 00 . . . 


125,65 


8 , 20 . . . 


i36,34 


8,40. . . 


147,46 


9,00. . . 


• 1 59 , 02 


9,20. . . 


171,02 


9,40... 


i83,46 


10,00. . . 


196,32 


10,20. . . 


209,62 


10, 4o. . . 


223 , 36 


II ,00. . . 


237,54 


11,20. . . 


252,1 5 


11,40. . . 


267,20 


12,00. . . 


282,68 



Si l'on s'écarte notablement du méridien, il faudra cesser de 
prendre sin.s pour sin^(z -{- z^) et calculer les réductions une à 
une avec des valeurs plus approchées de ce dénominateur. 

Orientation. 



Soient A l'azimut de l'étoile circumpolaire observée vers l'un de 
ses plus grands écarts par rapport au méridien , et A' l'azimut inconnu 
d'un signal. Le i*^"" avril 1880, à i2**23"o% par 4 1** 10' de colatitude 
approchée, on a mesuré la différence d'azimut A — A' entre S de 
la Petite Ourse et le signal B; on a trouvé A — A'= 22*1 y'iS", 2 : 
conclure de là l'azimut A' du signal. Les coordonnées de l'étoile 
étaient, à cette date : 



0. 



o I n 



. • O . JL-3 . -1 y ) ^ 



h m 8 

M 18.10.55,14 

H . . . . 12.23. 0,00 

M,,.. 18.12. 4)^ (V^ = 273- 1.12,9 



(') Pour retrancher ici M de H, on ajoute à ce dernier 2^**. 



l3& LIVRE PREMIER. —CHAPITRE VI. 

Nous emploierons les formules (2) et (3). 

logcosX.... 9,8767011 logsinX.... 9,8i83623 logsînS 8,7726617 

logcoso 9)9992364 logsin8 8,7726617 logsiniH 9f9993963A 

iogi^'lerme. 9,8769375 loscos^H... 8,7217191 logsinz sinA« 8,7720580» 

i^terme. o,75i5i47 log2'termc. 7,3127431 logsîn^cosA. 9,8771232 

2' terme. 0,0020547 logtangA . . . • 8,89^9348» 

sin^cosA... 0,7535694 e I t 

A 184.29.21,06 

A — A' 22.17.15,10 

I A' 162.12. 5,86 



Aiusi Tazlmut du signal B est de i62<*i 2' 5^^,86. 



LIVRE DEUXIÈME. —GRANDS OBSERVATOIRES ASTRONOMIQUES. l3y 



LIVRE DEUXIÈME. 



GRANDS OBSERVATOIRES ASTRONOMIQUES. 



Dans tout ce qui précède, nous avons supposé que les coordon- 
nées uranographiques des astres observés étaient connues d^avance 
avec une précision extrême. La détermination de ces coordonnées 
est l'œuvre quotidienne des grands observatoires, dont nous allons 
décrire l'organisation et les travaux. 

Cette organisation est fondée sur les deux relations suivantes. 
Si l'on observe une étoile au moment de son passage au méridien, 
la formule 

se réduit à 

En d'autres termes, l'heure sidérale de ce passage fait connaître 
l'ascension droite de cette étoile. En second lieu, la relation 



^^zX -^ z 



m 



montre que, pour obtenir la seconde coordonnée uranographîque o, 
il suffit d'ajouter à la colatitude du lieu la distance zénithaleméri- 
dienne de l'étoile. 

Ces deux observations étant indépendantes l'une de l'autre, on 
les sépare entièrement et on y consacre deux instruments différents, 
tous deux employés à observer dans le méridien, l'un la lunette 
méridienne pour les iR, l'autre le cercle mural pour les o. Cette 
application du principe de la division du travail, si prôné dans l'in- 
dustrie, permet d'étudier chaque instrument d'une manière plus 
approfondie et de fixer l'attention de l'observateur sur le phéno- 



l38 LIVRE DEUXIÈME. 

mène réduit à sa plus extrême simplicité. En outre, les instruments 
d'un observatoire ne devant pas être déplacés, on peut leur donner 
des dimensions bien plus considérables qu^aux instruments trans- 
portables d'un géographe ou d'un géodésien. 

Les appareils nécessaires à un observatoire sont au nombre de 
trois : la lunette méridienne, la pendule sidérale et le cercle mu- 
ral. Il suiBt d'y ajouter un baromètre et un thermomètre pour les 
corrections dues à la réfraction. 

Ces instruments sont supportés par des piliers en pierre de 
taille, à fondations profondes, et abrités par une salle dont les parois 
permettent à l'air intérieur de se mettre rapidement en équilibre 
de température avec l'air extérieur. Le plancher de cette salle doit 
être coupé autour de chaque pilier, afin que ses vibrations ne se 
communiquent pas aux instruments. Enfin la salle s'ouvre au- 
dessus de chaque instrument par une large tranchée pratiquée dans 
les murs et le plafond, de manière à laisser voir le ciel dans la 
direction du méridien. Cette tranchée se ferme, au plafond, par 
des trappes mobiles, et sur les murs par de longues fenêtres. 

Chaque instrument a son observateur; l'un détermine les JKk 
la lunette méridienne à l'aide de la pendule sidérale, Tautre les o 
au cercle mural. 

Ce système d'observations exclusivement méridiennes ne date 
pas de très loin. Il a été introduit en Astronomie par Rœmer, de 
TAcadémie des Sciences, à qui l'on doit la découverte et la mesure 
de la vitesse de la lumière. Il a été adopté parle célèbre astronome 
Bradley vers le milieu du siècle dernier et introduit, quelques 
années après, à rObser>'atoire de Paris parle dernier Cassini. Mais 
ce monument n'avait pas été construit en vue d'observations de ce 
genre. lia fallu y ajouter une salle accessoire qui est devenue bien- 
tât la partie principale de rétablissement. Nous allons décrire suc- 
cessivement les trois instruments dont nous venons de parler. 



Pendule astronomique. 

Les horloges sont devenues des instruments de précision, grâce 
à rintroduction du pendule comme régulateur. Cette invention 
capitale est due à Huygens, de l'Académie des Sciences. On v 



GHAKDS OBSERVATOIRES ASTRONOMIQUES. iSç 

distingue le rouage avec le poids moteur, l'échappemeut qui met 
en communication le rouage avec le pendule régulateur, eafin un 
petit appareil destiné à permettre de remonter la pendule sans îd- 
terrompre sa marche. En réalité, le rouage se réduirait à un simple 
compteur chargé d'enregistrerles oscilla tionsisochronesdupendule, 
s'il n'avait en outre la fonction d'entretenir lesditcs oscillations. 

Rouage. — Le rouage est compris entre deux plaques métal- 
liques AB, CD; e est le tambour sur lequel s'enroule la corde qui 
soutient le poids moteur. Ce tambour porte une roue dentée qui 
engrène avec le pignon de l'axe des minutes d. A l'une des extré- 
mités de cet axe est fixée l'aiguille des minutes ; il porte en outre 




une roue dentée de 96 dents, qui agit par un second pignon de 
13 dents placé sur l'ase intermédiaire C. Celui-ci porte une roue 
dentée de 90 dents qui agit sur un pignon de la dents de l'axe des 



l40 LIVRE DEUXIÂME. 

secoùdes b. Par cette dispositioD, Taxe des minutes tourne dans le 
même sens et 60 fois plus lentement que celui des secondes, car 
le t'apport de leurs vitesses sera 

12 X 12 

L'axe des secondes b porte la roue d'échappement armée de 
3o dents, laquelle est arrêtée, à chaque oscillation du pendule ré- 
gulateur placé en arrière, par le moyen d'une ancre fixée à l'arbre a. 
Celle-ci est reliée au pendule au moyen de la fourchette FG, dont 
les deux dents embrassent la tige du pendule. Ce dernier est sus- 
pendu par un ressort au pilier qui soutient la cage de l'horloge. 

Echappement à ancre dépendant et à repos, — (On trouvera 
la théorie mathématique de cet échappement dans le troisième 
Volume du Cours de Mécanique de M. Resal.) 

Supposons d'abord que les palettes c et ^ d'une ancre oscillant 
autour de l'axe « (placé sur le prolongement de l'axe de rotation 
du pendule) comprennent un nombre entier de dents de la roue 
d'échappement. La fig, 5i représente l'instant où le pendule passe 



ig. ji. 




par la verticale pour remonter vers la gauche. La roue d'échappe- 
ment, sollicitée par le poids moteur, tend à tourner dans le sens 
de la flèche F. 

A ce moment, la palette C va dégager la dent qui bute contre 
elle ; mais la palette g^ venant à s'abaisser, arrête aussitôt une dent 



GRANDS OBSERVATOIRES ASTRONOMIQUES. 



141 



de la roue. On voit que de cette façon la roue d'échappement ne 
pourrait marcher, dans quelque sens qu'oscille le pendule. Les 
palettes cet g seront toujours en prise, soit à gauche, soit à droite, 
avec une dent, et, si on leur donne un profil circulaire ayant le 
point a pour centre, la dent de gauche glissera sur la surface con- 
vexe de la palette de gauche sans avancer ni reculer; il en sera 
de même pour la dent de droite, qui bute à son tour sur la surface 
concave de la palette de droite. 

Les choses se passeront autrement si les palettes de l'ancre com- 
prennent un nombre entier de dents plus un demi-intervalle de 
dents, comme dans \àfig. Sa. Au moment où la dent i cesse d'être 
en prise avec la palette crf, la roue d'échappement deviendra libre 
et se mettra à tourner^d'un demi-intervalle de dents, jusqu'à ce que 



Fig. Sa, 




la dent j vienne buter contre la face interne gf de la palette de 
droite, qui s'est enfoncée entre les dents. Le môme effet se repro- 
duira en sens inverse à l'oscillation suivante lorsque le pendule, 
repassant par la verticale, remontera vers la droite, et ainsi de 
suite. 

Ces frottements et la résistance de l'air détruiraient bien vile le 
mouvement oscillatoire du pendule. Pour lui restituer l'impulsion 
nécessaire et entretenir ses oscillations au moyen de l'action du 



i4a 



LIVRE DEUXIBME. 



poids moteur, on termine les palettes de Tancre par de petits plans 
inclinés de y fh^ sur lesquels glissent, en les poussant, les dents de 
la roue d'échappement. L'épaisseur des palettes, et par suite la lon- 
gueur de ces deux petites faces de, fh, doit être un peu moindre 
qu'un demi -intervalle de dents. De la sorte, la roue d'échap- 
pement, qui-commence à se mouvoir dès que la dent e glisse sur la 
levée dey n'est complètement libre qu'un très court instant, au 
bout duquel elle vient frapper, avec un bruit sec, sur la palette gh. 
C'est pourquoi cet échappement est appelé dépendant (sous- 
entendu du rouage). Il est aussi dit à repos, parce que la roue 
d'échappement reste immobile tout le temps que la dent i glisse 
sur la palette cd ou que la dent j glisse sur la palette cf. 

Puisqu*à chaque oscillation du pendule il ne passe entre les 
pattes de l'ancre qu'un demi-intervalle de dents, on donne 3o dents 
et non 60 à la roue d'échappement dont l'axe porte l'aiguille des 
secondes. 

Malgré ce moyen d'entretenir l'oscillation du pendule, celle-ci 
varie d'amplitude avec le temps, à cause de l'épaississement des 
huiles des pivots de tous les axes. Mais l'isochronisme des oscilla- 
tions n'en est pas sensiblement altéré, pourvu que leur amplitude 
ne dépasse pas certaines limites. Si elle venait à se réduire beau- 
coup, on augmenterait un peu le poids moteur. 

La tige du pendule doit être compensée pour les variations de 
température. Nous en rappellerons seulement le principe. La tige 



Fig. 53. 



rt 



fV 



^d-ir 



coudée acdefby d'un seul métal (acier), se dilate comme une tige 
de longueur aè, parce que la dilatation en sens inverse de la tige 



GRANDS OBSERVATOIRES ASTRONOMIQUES. l43 

montante de compense celle à^ff . Mais, si Ton fait de en un métal 
trois fois plus dilatable (zinc), il suffit que de soit la moitié de ab 
pour que ab reste invariable à toute température (* ). 

Pour battre 86400* par jour sidéral, le pendule doit avoir une 
longueur déterminée. Afin de lui donner cette longueur sans inter- 
rompre la marche, on agit sur le ressort de suspension à Taide 
d^une vis qui le fait remonter ou redescendre un peu entre les mâ- 
choires qui le serrent, jusqu'à ce que la longueur voulue soit at- 
teinte. 

Pour mettre la pendule à Theure, en supposant qu'elle s'en soit 
écartée d'un certain nombre de minutes, on agit sur l'aiguille des 
minutes, fixée par un manchon à frottement doux sur l'axe des 
minutes; mais on ne doit jamais toucher à l'aiguille des secondes. 

Les pendules astronomiques marchent un mois sans avoir besoin 
d'être remontées. Il faudrait, dans la figure précédente, pour éviter 
l'obligation de donner à la descente du poids moteur une trop 
grande excursion, placer un axe intermédiaire avec pignon et roue 
dentée entre l'arbre des minutes et l'arbre du tambour, afin de 
ralentir la vitesse de ce dernier. 

Remontoir, — Soient a la circonférence du tambour sur lequel 
s'enroule la corde du poids moteur, et b celle d'une roue à rochet 
fixée au tambour, tandis que la roue motrice est libre ; pour en- 
traîner celle-ci dans le sens de la flèche, il suffit de la relier à la 
roue à rochet par un doigt/fixé à cette même roue motrice {/Ig* 54). 
On peut alors remonter le poids en faisant tourner le tambour en 
sens inverse à l'aide d'une clef engagée dans le carré C, sans agir 
en aucune façon sur la roue motrice rf, car alors le doigt /sautera 
par-dessus les dents du rochet, qui ne la retiendront plus. Mais 
pendant ce temps le rouage resterait immobile. Pour lui commu- 
niquer, pendant le temps du remontage, l'équivalent de la force 
motrice du tambour et de son poids, on fixe le doigt / sur une 
seconde roue à rochet {fig» 55), libre autour de l'axe du tambour, 
mais attachée par un ressort à la roue motrice et retenue, pendant 
le remontage, par un doigt g fixé à l'une des platines qui forment 



(*) La dilatation de Tacier pour 1» d'augmentalion de température est d'à peu 
près 0,000011 de la longueur totale; celle du zinc est sensiblement o,oooo33. 



IJ4 LIVBE DECXIBHE. 

laçage du rouage. Pendant la marche, celte seconde roue à rochet 
est entraînée par la première ; son ressort se tend jusqu'à ce que 
la tension dépasse la résistance du rouage; alors elle entraîne la 




roaed', mais, dans le remontage, cette seconde roue à roclictrst 
débarrassée de la première et arrêtée aussix'it par le doigl g. Ell<- 
agit donc sur la roue molrice dpar le moyen de son ressort, dont 
la tension, une fois éublie, suffit à faire marcher quelques instante 
le rouage ('). 

Mioaterie. 

Sur le plan d'une horloge donné plus haut, l'aiguille des heures 
est séparée de celle des minutes. La disposition ordinaire consiste 
à rassembler ces deux aiguilles et à les faire tourner autour d'un 
même axe, mais avec des vitesses différentes, à l'aide de manchons 
emboîtés et d'un petit système de roues et de pignons distincts do 
système général. 

L'arbre des minutes ab s'engage à frottement dans un manchon 
qui porte à son extrémité une longue aiguille, celle des minutes. 



(*) Ce ressort supplcmcnlaire a en réalili^, dans les horloges, une forme tri-ï dif- 
féreaie de celle qui a iu adoptée, pour plus de clarté, dans la fig. 55. 



GKANDS OBSERVATOIHEB A9TnO>'OII[QIIES. l45 

Ce niancbon porte lui-même un second manchon qui peut tourner 
autour du premier presque sans Irollement. Le second porte l'ai- 
guille des heures. Comme celle-ci doit tourner autour de l'axe 
commun avec une vitesse douze fois moindre que celle des minutes, 

Fie- 56. 




on obtient ce mouvement à l'aide d'un rouage particulier dont voici 
la description. A la Lase du premier manchon intérieur on place un 
pignon conduisant une roue dentée, fixée elle-même à l'ase de 
renvoi dd (Jig. Ô6). Sur cet axe se trouve un autre pignon qui 
conduit une deuxième roue placée à la base du manchon enliëre- 
ment mobile qui porte l'aiguille des heures. Si les pignons ont, l'un 
trois fois moins, et l'autre quatre fois moins de dents que leurs 
roues correspondantes, le manchon extérieur sera entraîné par le 
manchon intérieur avec une vitesse dou£e fois moindre. 

La pendule sidérale doit battre 864oo' en un jour sidéral, c'est- 
à-dire entre deux passages consécutifs d'une m<!me étoile au mé- 
ridien. Il faut, de plus, qu'elle marque o''o'"o' à l'instant du passage 
du point vernal y au méridien ou, ce qui revient au même, qu'elle 
marque l'heure JR. lorsqu'une étoile quelconque, dont l'ascension 
droite est JSi, passe au méridien. Ces deux conditions ne pouvant 
être rigoureusement remplies, il y a lieu d'appliquer deux correc- 



l46 LIVRE DEUXIEME. 

tioDs distinctes à Theure h donnée par la pendule pour obtenir la 
vraie heure sidérale H. Supposons qu'à une certaine date t on ait 
trouvé que Thorloge est en retard de e, et qu'elle bat 86400* — m 
par jour; m sera son retard diurne et e son retard absolu à la 
date t. Celui-ci ira en augmentant avec le temps, proportionnel- 
lement à la marche. A une autre date t! on aura 

t^ — t étant exprimé en jours et fractions décimales du jour. Il 
sudGra donc, pour avoir l'heure exacte à une date quelconque Z', 
d'ajouter la correction e' à l'heure indiquée par la pendule. 

Cette correction suppose que le pendule est exactement com- 
pensé pour les variations de température. S'il en était autrement, 
s' serait une fonction de cette température, ou plutôt des variations 
de celle-ci dans l'intervalle t' — t. 

Elle suppose en outre que la pression atmosphérique est restée 
constante. Le pendule oscillant dans un air plus ou moins dense 
ne marche pas comme dans le vide. La résistance de l'air et la jîerte 
de poids de la lentille plongée dans ce fluide influent quelque peu 
sur la durée des oscillations. Si la densité de Tair vient à varier, 
et elle varie eflectlvement avec la pression barométrique, la 
marche m subit de petites variations dont il est très diflicile de 
tenir compte. Pour éliminer ces diverses influences, on a été con- 
duit à soustraire absolument l'horloge régulatrice d'un obser\'aloire 
aux variations de température et de pression. Il faut pour cela la 
placer sous une cloche hermétiquement fermée dans la couche de 
température invariable que Ton rencontre dans le sol à une cer- 
taine profondeur. A Paris, cette profondeur est de a7"- C'est aussi 
celle des caves, dont la température, d'environ 1 1®, reste absolu- 
ment constante. On compare de temps en temps les autres hor- 
loges de rObserN'atoire à celle-là pour en déterminer exactement 
la marche. 



LUNETTE HERIDIENNE. 



CHAPITRE VU. 



LUNETTE MÉniDIENNE. 



Celle lunette tourne autour d'un axe horizontal qui est porté 
lui-même par des coussiaels solidement &\és à deux grands piliers 




en pierre de taille. Le plan vertical décrit par la ligne de visée doit 
coïacider avec le méridien. Au-dessous de la lunette, entre les deux 



l48 LIVRE DEUXIÈME. — CHAPITRE VII. 

piliers^ se trouve une sorte de canapé mobile sur lequel l'obser- 
vateur s^ couche ou s^assied quand il observe des astres à une assez 
grande hauteur. La pendule sidérale, portée par un pilier séparé, 
est placée à côté de la lunette méridienne, de telle sorte qu'à tout 
moment l'observateur puisse voir le cadran et entendre distinc- 
tement les battements de la pendule. 

Le réticule de la lunette porte un double fil parallèle à l'axe de 
rotation et un autre fil perpendiculaire à cet axe. Si l'instrument 
est bien rectifié, ce second fil se projette sur le méridien céleste 
dans toutes les positions de la lunette. 

L'observation du passage d'un astre au méridien est fort simple. 
A l'aide d'un très petit cercle adapté, en guise d'oreille, à la lunette 
(on le voit près de l'oculaire sur la figure) et d'un niveau, on amène 
la lunette à la hauteur où l'astre que l'on doit observer va passer au 
méridien. On le voit bientôt entrer dans le champ de la lunette et 
le traverser avec une certaine vitesse, en vertu du mouvement diurne. 
L'observateur compte les secondes de la pendule et note l'instant h 
où rimage de l'étoile a passé au fil méridien. Si les corrections e 
et m de Thorloge ont été déterminées, on aura 

II z=ih-\-t-\'{t'—t)m, 

i étant l'instant de l'observation. Remarquez que ce genre d'obser- 
vation est indépendant de la réfraction. Celle-ci ne fait jamais sortir 
une étoile du vertical où elle se trouve réellement à un moment 
donné. Le plan du méridien étant lui-même un plan vertical, lors- 
qu'une étoile paraît s'y trouver, c'est qu'elle s'y trouve réellement. 
Partout ailleurs la coordonnée ifV. serait altérée par la réfraction. 

On s'attache à maintenir l'étoile entre les deux fils horizontaux, 
distants de lo' à iS*^ seulement, afin d'observer toujours le passage 
au même point du fil méridien. Lorsqu'il s'agit d'une étoile voisine 
de l'équateur, la petite ligne qu'elle parcourt dans le champ de la 
lunette est sensiblement rectiligne, et l'étoile, une fois amenée entre 
les deux fils horizontaux, y reste jusqu'au bout. Si elle est très voi- 
sine du pôle, la courbure de la trajectoire devient sensible, et il faut 
peu à peu agir sur la lunette afin de maintenir cette étoile entre les 
deux fils. 

Pour obtenir plus de précision, on place dans le réticule un cer- 
tain nombre de fils équidistants parallèles à celui du milieu; on 



LUNETTE ItBBIDIEKKB. IJQ 

observe le passage de l'étoîle à chacun d'eux et on prend la moyenne 
de ces résultats. 

Voici deux exemples de ce genre d'observation : 



3- fil . . 
4* fil ■ ■ 
5* fil . . 






o 


22,5 


o 





40,3 


o 





57,8 


o 


19 


i5,a 


i3 


i8 


jo,i6 



Observation du passage d'un astre ans fils de la limette. 

Pour acquérir l'habitude nécessaire, il faut suivre le mouvement 
de l'éloile et en remarquer les positions successives à chaque batte- 
ment de la pendule. Puis, étant ainsi préparé et continuante compter 
les secondes, on lâche d'estimer la manière dont le fîl btssecte i'in- 
lervalle constant ab {fig- 58) compris entre le battement qui pré- 




cède le passage au fil el le battement suivant. D'autres y procèdent 
instinctivement, sans chercher à s'en rendre compte. Quel que 
soit le moyen, il faut plusieurs mois d'exercice avant d'être en état 
d'atteindre couramment la précision requise. 

Le degré de précision avec lequel on parvient à observer le pas- 
sage d'une étoile à un fîl dépend évidemment de la vitesse de son 
mouvement angulaire dans le champ de la lunette. Cette vitesse, 
de i5' par seconde de temps pour une étoile équatoriale, se réduit 
W iS'sinS pour une étoile située à la dislance S du pôle. Pour la 
polaire 5^i"2o', sin 5 = 0,0074 = 17 environ. La polaire em- 



i5o 



LIVRE DEUXIEME. — CHAPITRE VU. 



ploiera donc à peu près quarante-trois fois plus de temps qu'une 
étoile équatoriale à aller d'un fil à l'autre. Il est facile de calculer 
ce temps exactement. 
Soient (/^. 59) 

NPZS le méridien céleste projeté sur le plan de l'horizon ; 

F le fil méridien ; 

y un fil situé à la distance angulaire ed\ 

e une étoile passant en e et e' sous ces fils. 

Fig. 59. 



*1- 
F 



f 



,1 



Le temps nécessaire pour aller d*un fil à l'autre sera mesuré par 
l'angle horaire ePe'. Le triangle rectangle ePe' donnera 



sinPir= 



smee 
sino 



L'erreur probable de Tobservation du passage d'une étoile à un 
fil dépend aussi du grossissement G de la lunette. On a trouvé, par 
de nombreuses expériences, 



±\/(o'.o7)'4-(^j', 

ce qui donne à peu près it: o*, 07 pour une étoile équatoriale 
observée avec un grossissement de 200 fois et ih o', 70 pour la po- 
laire. L'erreur probable de la moyenne des observations faites aux 



LUNETTE MERIDIENNE. l5l 

cinq fils est bien moindre; elle se réduit à db ^ ': = di o*,o3i, 

ainsi que nous le verrons bientôt par la théorie des erreurs ( * ). 

Il résulte de là que, pour déterminer l'heure, il faut observer des 
étoiles voisines de Téquateur et non des circumpolaires. Mais Ton 
doit aussi observer ces dernières pour déterminer les erreurs in- 
strumentales, c'est-à-dire les déviations de la lunette lorsqu'elle 
s^écarte du méridien. 

Pendant le jour, les fils se voient parfaitement ; ils se peignent 
en traits noirs sur le fond brillant du ciel, tandis que les étoiles, 
du moins celles des trois premières grandeurs, apparaissent comme 
des points lumineux, à cause de leur intensité supérieure à l'éclai- 
rement du ciel. Mais, la nuit^ les fils ne se verraient pas si l'on 
n'éclairait artificiellement le champ de la lunette. Pour cela on 
place obliquement, dans le cube qui réunit les deux moitiés de 
l'axe de rotation aux deux moitiés du tube de la lunette, un carton 
blanc qui réfléchit à l'état de difi*usion la lumière d'une lampe 
placée à l'une des extrémités de l'axe, près du foyer d'une lentille 
convergente. Le tourillon en acier est percé d'un large trou cylin- 
drique qui laisse passer les rayons de la lampe. Le carton incliné 
à 45** la renvoie vers le réticule, qui se projette ainsi sur un fond 
lumineux. On peut d'ailleurs en faire varier l'éclat à volonté à l'aide 
d'un diaphragme mobile placé sur le trajet des rayons. Bien entendu 
que ce miroir en carton est percé lui-même en son centre d'un large 
trou elliptique pour laisser passer le faisceau des rayons extérieurs 
qui vont de l'objectif à l'oculaire. 

Rectification de la lunette méridienne. — La lunette méri- 



(») On doutera peut-être que Toreille saisisse de si petites fractions de seconde. 
Il en est pourtant ainsi. Si l'on place à cùté l'une de l'autre deux pendules, l'une 
de temps sidéral, l'autre de temps moyen, on remarquera que, de six en six minutes 
à peu prés, leurs battements sont parfaitement synchrones (6"6' sid. = 6°* 5' t. m.). 
Ils commencent ensuite à discorder, et le désaccord va en croissant jusqu'à ce que 
Tune regagne l'autre de nouveau. Cela fait une sorte de vernier qui permet de 
subdiviser la seconde en 6 x 60 = 36o parties égales. On s'assurera aisément qu'il 
n'y a pas plus de cinq à six secondes d'incertitude sur l'instant d'une coïncidence 

de battements, incertitude "qui répond à une différence de -«-rrrr- = — de seconde. 

^ "^ a 3tK) 120 

Le centième de seconde n'est donc pas une quantité qui échappe absolument à nos 
sens. 



l52 LIVRE DEUXIÈME. — CHAPITRE VII. 

dienne ne donne pas immédiatement les ascensions droites abso- 
lues, puisque le point y n'est pas observable, mais elle donne 
les différences d'ascension droite entre les diverses étoiles. Si 
donc nous faisons choix de Tune d'elles pour servir d'origine 
provisoire au jour sidéral et aux JR,^ il nous sufBra de déterminer 
plus tard l'ascension droite absolue de cette étoile par rapport au 
point Y pour avoir aussitôt, par une simple addition, les ascen- 
sions droites absolues de toutes les autres. Ce qui fait le mérite 
de cet instrument, c'est que, n'opérant que dans un plan ver- 
tical, les observations ne sont affectées ni de la réfraction atmo- 
sphérique ni de la flexion du tube ou de l'axe de la lunette. Nous 
avons vu, en effet, que la réfraction agit dans le vertical de Tastre 
observé en le rapprochant du zénith, mais n'a aucune tendance aie 
faire sortir de ce plan vertical. Quant à la flexion, les deux moitiés 
de la lunette méridienne à droite et à gauche du vertical qu'elle 
décrit étant parfaitement symétriques, la flexion du tube s'opère 
dans ce plan et ne produit aucune déviation latérale. Enfin la me- 
sure des iî\. s'effectue à l'aide d'une pendule et non au moyen d'un 
cercle divisé; on n'a donc pas à craindre ici des erreurs systéma- 
tiques de division, mais seulement de petites anomalies dans la 
marche de la pendule, dues aux trépidations du sol ou aux varia- 
tions de pression ou de température. Il n'est pas impossible d'} 
remédier complètement. 

Pour que l'axe optique décrive le méridien, il faut : i° que cet 
axe optique ou ligne de collimation soit perpendiculaire à l'axe 
de rotation, autrement il décrirait un cône qui tracerait sur le ciel 
un petit cercle parallèle au méridien, mais ne pouvant coïncider 
avec lui ; 2° que l'axe de rotation soit parfaitement horizontal, au- 
trement le plan décrit par la ligne de visée serait incliné sur l'hori- 
zon et ne pourrait coïncider avec le méridien; 3'* que cet axe soil 
bien perpendiculaire à la méridienne SN du lieu. 

Trois opérations sont donc nécessaires pour rectifier l'instrument 
et pour déterminer les petites erreurs qui subsistent encore aprè> 
une correction manuelle, ou qui sur>îennent par suite de Tinstabi' 
lité des piliers ou des variations de température. On saisira aisément 
l'analogie qui existe entre les rectifications d'un théodolite et celles 
d'un instrument des passages. Les opérations sont les mêmes, les 
formules de correction sont encore plus simples. 



LUNETTE MÉRIDIENNE. l53 

Erreur de collimation. — On opère ici par retournement. La 
lunette étant dirigée, à l'horizon, sur une mire très éloignée et por- 
tant une division, on note le trait m sur lequel se projette le fil 
méridien, puis on retourne la lunette avec la plus grande précau- 
tion. Pour cela, on la soulève d'abord avec une machine ad hoc, 
on la fait tourner de i8o° autour d'un axe vertical et on la fait en- 
suite redescendre d'un mouvement doux jusqu'à ce que les tou- 
rillons reposent sur leurs coussinets. Alors on ramène la lunette 
sur la mire. Si la ligne de visée répond encore à la division m de la 
mire, Terreur de collimation est nulle ; s'il en est autrement, soit m' 
la division bissectée actuellement par le fil méridien : l'erreur de 

collimation sera 

m' — m 



qu'on réduira en secondes d'arc en déterminant une fois pour 
toutes la valeur des parties de la division de la mire. Pour corriger 
cette erreur, on déplacera le réticule tout entier à l'aide de ses vis 
antagonistes jusqu'à ce que le fil méridien réponde à la division 

La même manœuvre, répétée après la correction, per- 

mettra de mesurer la colhmation résidue c. 

Les astronomes évitent de toucher trop souvent à leurs instru- 
ments; ils laissent donc subsister une erreur c, pourvu qu'elle soit 
très petite, et ils en tiennent compte par le calcul. Si cette petite 
déviation est orientale, il faudra ajouter à l'heure du passage d'un 
astre quelconque par le fil méridien la correction 



i5 sino 

Par exemple, s'il s'agissait d'une étoile équatoriale et que c fût 
de i",5, la correction serait de o*,io; mais, pour la polaire, elle 
s'élèverait à 4S 3 1 . 

Erreur d'inclinaison. — Si nous supposons que les tourillons 
soient bien égaux et bien ajustés dans le prolongement l'un de 
l'autre, il suffira de placer un niveau reposant par ses deux pieds 
sur les tourillons pour mesurer l'inclinaison et, au besoin, pour la 
corriger. Soient m le milieu de la bulle dans la première position 



l54 LIVRE DEUXIÂMB. — CHAPITEB VII. 

du niveau et ni le milieu après qu'on a retourné le niveau boat 
pour bout sur l'axe. L'inclinaison sera 

m' — m 

l=z 

2 

Pour la corriger, il sufBra de soulever un peu l'un des tourillons, 
qui doit être armé à cet effet d'une vis à filets serrés, jusqu'à ce que 

la bulle marque la division Il est facile de voir que la for- 
mule ci-dessus donne l'angle d'élévation, positive ou négative, du 
tourillon vers lequel s'est trouvé le zéro de la division du niveau 
dans la première pose. Par exemple : 

Extrémité 
d« la kille. 

Est. 0«eu. Jiojeues. 

P P P 

i** pose 28, a 18,0 m îi3,i i'=r,52 

1^ On retourne le niveau.) !2* pose. 21.3 3i,5 m' 26,4 

m* — nt. 3,3 

«- 1,65 = 2', 49 

C'est le tourillon Ouest qui est trop élevé. 

Fi§. 60. 



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A-ar/ X- • £*^ 



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Si 



Si le lourilloQ Ouest e*l tn>p élevé* le grand cercle dessiné sur 
le ciel par U ligne de vWêe ne décrira pas le méridien projeté en 
^>iPN \ji^. 60), mais un arc de grand cercle SeX. Une étoile e 



LUNETTE UÉRIDIENNE. l55 

rencontrera ce grand cercle avant de passer au méridien avec un 
angle horaire ePe' donné par 



eFe'= 



I ee' 



i5 sînd 



Mais Tangle dièdre en S étant l'inclinaison iy on aura, par le triangle 
rectangle See', 

sincc'= sin/sinSe' ou ee'=icos-c, 

valeur qu'il faut porter dans la relation précédente, ce qui donne 

I icosz 
i5 siho 

L'inclinaison de l'axe d'une lunette méridienne est sujette à de 
petites variations plus ou moins périodiques, dépendant de l'état 
des couches où pénètrent les fondations des piliers en pierre de 
taille de l'instrument. La température y varie fort peu et suit de 
loin, d'une manière très affaiblie, les vicissitudes des saisons; 
mais les pluies y pénètrent et font gonfler les couches. En fait, il 
n'y a pas de fondations, si profondes et si solides soient-elles, qui 
exemptent les instruments de ces petites variations. Il faut donc 
mesurer de temps en temps l'inclinaison i avec des niveaux très 
sensibles. 

Nous avons supposé des tourillons d'égal diamètre : s'il en était 
autrement, on s'en apercevrait par ceci que l'inclinaison ine serait 
plus la même avant et après le retournement. 

Erreur d'azimut. — Celle-là ne peut être déterminée que par 
l'observation des étoiles circumpolaires. Si cette erreur est nulle, 
si la lunette est bien dans le méridien, le plan qu'elle décrit coupe 
en parties égales les parallèles parcourus par les circumpolaires, 
et l'on trouve 12^ juste entre les deux passages d'une de ces étoiles 
au méridien au-dessus et au-dessous du pôle. Si cet intervalle 
diffère un peu de la**, |il faut faire mouvoir horizontalement un 
des coussinets de l'axe de la lunette jusqu*à ce qu'on ait obtenu 
l'égalité. 

Ici intervient un nouvel emploi de la mire dont nous nous 
sommes servis déjà pour corriger la ligne de coUimation. Lorsqu'on 



l56 LIVRE DEUXIÈME. —CHAPITRE VII. 

a une fois réussi à placer exactement la lunette dans le méridien, 
on la dirige sur la mire et on note la division qui répond au fil da 
milieu. Dès lors, quand, à une époque ultérieure, on voudra com- 
mencer une série d^obser\'ations, on devm s^assurer d'abord, en 
pointant sur la mire, que le fil méridien répond bien à cette divi- 
sion. A cause de la grande distance (plusieurs lieues) qui doit sé- 
parer la mire de la lunette, les très petites variations que la mire 
peut éprouver, par suite des changements de température ou des 
légers mouvements du sol, seront insensibles, car i"", par exemple, 
qui, s'il s'agissait d'un des tourillons, déterminerait une dériatioD 

azimutale énorme, ne produirait ici que -^ (dislance de 4 lieues) 

w 

ou ^- Voyons la correction qu'il faut appliquer à l'heure du passage 




d'une étoile au fil du milieu lorsque la lunette a une petite dé>îatioD 
azimutale a vers Test. Une étoile e {Jig* 6i) rencontrera ce fil 

avant de passer au méridien sous un an^le horaire ePe'== -7—\- 
* ° sino 

L'angle dièdre en Z du petit triangle rectangle eZe' étant a, et Zf 

ouZV étant z^ on aura 

ee 1= a sin z. 

Par suite, il faudra ajouter à l'heure du passage de l'étoile en e' la 

correction 

I asin^ 
i5 sino 



LUNBTTE MBBIDIBNNE. iSy 

Appliquons cela à la circumpolaire />, à son passage supérieur 
observé à l'heure A. L'heure du passage au méridien sera évi- 
demment 



, I asinz 

h =r — r-^- 

13 smo 



Soit A' l'heure du passage inférieur en />' au Gl du milieu^ lorsque 
la distance zénithale est Z/>' = z'. Nous aurons, pour l'heure de son 
passage au méridien, 



A'-h-^ 



I asin^' 



i5 sin8 



Mais la différence de ces heures doit être juste de 12*» ; on aura donc 
l'équation de condition 



-, a siïiz , asinc , 

Ah ^ . > — A H ^r—r-T, = i^**, 

iDsmo iDsnio 



d'où l'on pourra tirer la valeur de a. Plus l'étoile est voisine du pôle 
et mieux a sera déterminé, puisque son coefficient — ^ 



sinâ 



sera d'autant plus grand que 8 sera plus petit. Mais, comme l'un 
des deux passages a ordinairement lieu en plein jour, il faut recou- 
rir aux plus belles étoiles : de là l'importance de la polaire dans la 
pratique journalière des astronomes. Bien que A' et A ne s'observent 
guère qu'à o*, 3 près, ce qui donne it: 0% 42 d'incertitude sur h' — A, 

le diviseur — =r réduit l'erreur à craindre sur a à moins de o", 2 ( * ). 
i5 ' \ / 

En résumé, à l'heure A du passage d'une éloilc observé au fil 

moyen du réticule, il faut ajouter, pour tenir compte des trois 

seules erreurs de l'instrument. 



asm^ £Cos- c 



sinû sino âino 



(*) Cela suppose que pendant les douze heures rinslrumcnt n'a pas varié en 
aziraut. On s'en assure avec la mire/ ou mieux avec les colljniatcurs dont il sera 
question plus loin, et, s'il était survenu quelque changement, on le mesurerait et 
on en tiendrait compte. 



l58 LIVRE DEUXIÈME. — CHAPITKE VII. 

Gj ij c étant exprimés en secondes de temps (*)• Il est aisé de 
varier la forme de cette expression. Remplaçons z par o — \y 
développons les sinus et cosinus, et posons 

a cosX -h I sîn X =: m, 

— a sin À -4- I cos). =1 n, 

il \'iendra 

n c 



m 



tango ' sino' 



le calcul en est un peu plus simple. On verra, à la fin de ce cours, 
que Teflet de raberration diurne a la forme du dernier terme et 
peut être réuni avec lui, en remplaçant c par c — o%02i sinL 
Voici, par exemple, un extrait du registre d'observations faites à 
la lunelle méridienne de l'Obser\aloire de Paris : 



(*) Dans celte fomiale, il faut regarder z comme positif aa sad du zénith et 
négatif au noni, 6 comme positif au-ilessus du pôle et négatif au-dessous 



LUNETTE MERIDIENNE. 



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l6o LIVRE DEUXIÈME. — CHAPITRE VII. 

Le niveau a donné « = 4- o*, 38. Le retoumemenl a donné 
c = -f-o*,i5. De l'observation des deux étoiles circumpolaires on 
lire a= — o*,55. La quatrième colonne contient les corrections 
instrumentales calculées avec ces valeurs de /, a et c. La cinquième 
colonne donne Theure du passage de chaque astre au méridien en 
temps de la pendule. Les ^fV des étoiles fondamentales, prises dans 
la Connaissance des Temps, sont inscrites dans la sixième co- 
lonne (les secondes seulement), et la différence avec le passage 
observé donne la correction de la pendule. Elle est, le 3i août, 
vers 8^, de — 5", 70. Le lendemain, vers id*", c'est-à-dire ^'^ après, 
elle est de — 5% 71. La marche diurne est donc négligeable. Pour 
avoir les M, du Soleil, de la Lune et des planètes observées ces 
jours-là, il suffit d'ajouter la correction — 5%70 et — 5*, 71 aux 
heures marquées par la pendule à l'instant de leurs passages au 
méridien. 

Comme, dans cet exemple, deux circumpolaires différentes ont 
été observées au passage supérieur et au passage inférieur, on est 
obligé d'emprunter leurs iR à la Connaissance des Temps. 

Pour \ Petite Ourse, 

' . ^ — - H ;^ — corr. pend.= 4- 18", 35; 

smo smo * ' ' 

en l'ajoutant à l'instant observé on aura 

i9»'43"'32',75, 
et ce serait TiR de cette étoile si a était nul. Mais VJR, est 

19"/, 3»" 56% 33. 
Donc l'effet du petit azimut est ici + a3*,58; on en tire a par 

a sine 



SI no 



23-, 58, 



ce qui donne «= — o%67 (on n'oubliera pas de compter ici z 
comme négatif). 

En opérant de même pour la polaire PI, on trouverait a = — o\ 4a. 
La movenne de ces deux valeurs est a = — 0% 55. 

Dans la pratique, on distingue deux positions de la lunette. 
L'une, position directe, est celle où l'on observe le plus souvent. 



LUNETTB MÉRIDIENNE. l6l 

L'autre, position inverse, après retournement. Si l'on fait une série 
d'observations dans cette seconde position, il ne faut pas oublier 
que l'erreur de collimation c change alors de signe. Ce retour- 
nement doit être fait aussi souvent qu'il y a lieu de soupçonner 
quelque variation dans la direction de la ligne de visée. Il s'opère 
à l'aide d'un mécanisme spécial qui permet de soulever la lunette 
très doucement et d'en retourner l'axe bout pour bout (*). La lunette 
méridienne est ordinairement munie de contrepoids qui ne laissent 
peser sur les tourillons qu'une faible partie de la charge. 

Collimateurs. 

Il est intéressant d'examiner les ressources de tout genre que 
les astronomes mettent en œuvre pour étudier ou écarter les causes 
d'erreurs. Les mires éloignées ont l'inconvénient de paraître souvent 
ondulantes, à cause du mélange incessant de masses d'air d'iné- 
gale densité dans les couches basses de l'atmosphère. Elles ont, de 
plus, le grave inconvénient de n'être pas visibles la nuit. On les a 
remplacées par des collimateurs à long foyer. 

Lorsqu'on regarde dans une lunette par l'objectif, il est impos- 
sible de distinguer les fils du réticule ; mais, si l'on y dirige une 
lunette mise au point sur les astres, on voit aussitôt la croisée des 
fils avec une netteté merveilleuse. Cela lient à ce que, dans les 
lunettes astronomiques, le réticule doit être placé dans le plan focal 
principal. Dès lors, le faisceau conique émané d'un point du réti- 
cule est transformé par l'objectif en un faisceau de rayons paral- 
lèles qui, reçu par une seconde lunette astronomique, forme image 
au foyer principal de celle-ci. 

Supposons maintenant un réticule à la seconde lunette. Il sera 
facile de diriger celle-ci de manière à faire coïncider ce réticule 
avec l'image de l'autre. Alors les axes optiques des deux lunettes 
seront en ligne droite ou du moins parallèles. C'est, comme l'on 
voit, une manière de reculer à l'infini une mire très voisine. 
W. Struve a eu l'idée heureuse de s'en servir en guise de mire. 
Devant l'objectif de la lunette méridienne et porté sur un pilier, 
imaginez un objectif, mobile latéralement, et rendant visible, dans 

(') Un appareil de ce genre se voit sur la fig. 67. 

1 1 



l&'Jt LlYUi: DEIMÈUE. — ClIAPITIIK VII. 

la lunelte, une mire placée à 60" ou 80" au delà. Celle mire nou- 
velle pourra être éclairée la nuit; elle sera toujours parfailernenl 
visible, presque sans ondulations, et elle servira loul aussi bim 
(|u'une mire très lointaine à donner une direction fixe en azimut 
ou à rectifier la collimation de la lunette méridienne. Si même 011 
emploie ainsi deux collimateurs opposés, Tun au sud, Faulre au nord, 
<|ue Ton puisse diriger Tun sur Tautre, soit en soulevant un peu lii 
lunette méridienne, soit en pratiquant une ouverture ronde dan» 
son cube, on sera en état, en pointanl altemativemenl la luneUf 
méridienne sur ces deux mires qui fournissenl deux directions 
diamétralement opposées, de corriger ou de rectifier la coUimalion 
de rinstrument méridien sans avoir besoin d'opérer le retour- 
nement. Nous verrons plus loin une autre application de ces colli- 
mateurs que les physiciens ont empruntés aux astronomes et dont 
ils ont tiré un très grand parti dans leurs expériences. 



Erreur personnelle. 

Nous avons déjà dit que l'observateur est lui-même une sortr 
d^instrument sujet à la fois à des erreurs accidentelles et à des erreurs 
constantes ou du moins systématiques. 11 intervient parles oi^nrs 
de ses sens, Tœil et Toreille, et par son système ner>'eux qui reroil 
et coordonne les impressions. Voici quel est l'effet de celle inter- 
vention. Un observateur exercé aura bien vile fait de déterminer 
rbeure à o%o2 ou o%o3 près par quelques étoiles fondamentale». 
II lui sutYit d*un petit nombre d'observations pour compenser l'effel 
<l(*s riTfMirs du(*s aux ondulations des étoiles ou à ses propres 
fautes accidentelles. Mais si un autre astronome du même établis- 
sement, em|)lo>ant le même instrument, vient à déterminer rheun* 
à son tour par des observations analogues, on tn)uvera entre les deux 
résultais un désaccord dix, quinze, vingt fois plus grand que Ter- 
reur probable de chacun d'eux pris à part. C^hose remarquable, I» 
<liffén'nce entre les deux observateurs sera toujours à peu pri'S la 
même et dans le même sens.Maskehne, le premier qui se soit aperçu 
de celte singulière anomalie entre un de ses élèves et lui, crut devoir 
prier celui-ci de renoncer à la carrière de l'Astronomie. On sait au- 
jourd'hui cprii ii'x a pas deux observateurs qui s'accordent, et on 



LUNETTE MÉRIDIENNE. l63 

s*esl tiréd*affaire en s'im posant Tobligation de ne combiner cnsembir 
que les observations faites par un même observateur. Afin d'évi- 
ter toute confusion à cet égard, ou a établi la règle que tout<: 
obser\'ation doit être signée. L^erreur personnelle étant constante, 
elle disparaît en effet dans la différence de deux observations 
faites par le même individu, en sorte que les différences d'.>R dr 
deux étoiles ont même valeur, quel que soit l'observateur qui les 
détermine, tandis que Theure absolue variera au contraire de quel- 
ques dixièmes de seconde, selon qu'on s'adressera à tel ou tri 
observateur pour l'obtenir. 

On a modifié le système d'observation dans ces derniers temps 
en supprimant l'intervention de l'ouïe. Supposons que l'observateur 
ait sous la main le moyen d^enregistrer ses sensations et d'en noter 
rinstant sur un cylindre tournant d'une vitesse uniforme, à l'aide 
d'une simple touche qui marque des points sur ce cylindre. Avant 
et après avoir enregistré ainsi, sur ce cylindre, le passage d'un astre 
aux différents fils du réticule, il enregistre de même les indications 
de la pendule, c'est-à-dire la seconde qu'elle bat, en notant l'heure, 
la minute et la seconde elle-même. Il suffira de relever sur cr 
cylindre ces indications diverses pour avoir une observation com- 
plète. Au lieu d'un si simple mécanisme, on peut aussi faire marquer 
sur le cylindre tournant les secondes successives par la pendule 
elle-même au moyen d'appareils électriques. Mais cette ingénieuse 
méthode laisse encore quelque place à l'interNcntion du système 
nerveux de l'observateur : celui-ci marque trop tôt, ou trop tard, 
suivant sa constitution physiologique, l'instant où l'étoile en mou- 
vement lui paraît bissectée par le fil. L'erreur personnelle se re- 
trouve donc encore, mais réduite, en général, à moins d'un 
dixième de seconde. 

Sans chercher à expliquer ces effets physiologiques, constatons 
qu'ils n'existent pas lorsqu'il s'agit d'un orchestre ou même de 
faire marcher des hommes au pas, sur le rythme du tambour; ils 
ne sont donc pas dus à une paresse de l'ouïe ou à la durée tro]) 
grande des sensations auditives. 

Ils ne tiennent pas davantage à un défaut de l'œil pour la bissec- 
tion d'un point fixe par un fil, car cela se juge à o'',o5, c'est-à- 
dire à o*,oo3 près» Ils tiennent à une inertie particulière au système 
nerveux qui varie, d'un homme à Tautre, dans des limites très 



]64 LIVRE DEUXIEME. ^ CHAPITRE Vil. 

étendues lorsqu'il s'agit d'un phénomène fugitif qu'il faut saisir. 
On éliminerait ces efTctSy s*il étaient constants, en délerminant 
une fois pour toutes l'erreur personnelle d'un observateur, c'est-à- 
dire la fraction de secondedc temps qu'il faut constamment ajouter 
ou retrancher aux heures notées par lui, et c'est ce qu'il faut faire 
toutes les fois qu*on a besoin de connaître l'heure absolue; mais 
ils dépendent aussi de son état physiologique, de son état de réplé- 
tion ou de jeûne, de la circulation du sang régulière ou agitée, etc. 
La seule ressource, si l'on veut n'être pas arrêté au niveau de la 
précision actuelle, c'est de supprimer Tobservateur ( • ). 

Suppression de robservateur par renregistrement 
photographique des observations. 

On y parviendra par l'observation photographique combinée avec 
l'enregistrement mécanique ou électrique du temps. Déjà la chose est 
bien simple pour le Soleil, parce que l'impression de son image sur 
une plaque sensible est instantanée. Substituez cette plaque à l'œil 
de l'observateur devant l'oculaire de l'instrument des passages ; met- 
tez en communication électrique la détente, qui doit laisser passer 
en moins de -j-j— de seconde le faisceau de lumière solaire, avec l'ap- 
pareil enregistreur du temps : il suffira d'un mouvement du doij:t 
répété 5, lo, 20 fois pendant le passage du Soleil, pour imprimer 
autant de fois sur la plaque photographique l'image du Soleil cl 
celle des (ils du réticule, en même temps que l'électricité aura noté 
les heures de la pendule avec une exactitude presque absolue. On 
n'aura plus qu'à mesurer à loisir la distance des bords de Timage k 
chacun des (ils, et cela par une opération où le mouvement n'in- 
terxient plus; on obtiendra dès lors, avec une précision incompa- 
rable, la coordonnée du centre du Soleil. 

Pour les étoiles, l'impression photographique n^est pas instan- 
tanée; il y faut, suivant la grandeur, une ou plusieurs seconde*. 
Mais il suffira de communiquer à la plaque sensible un mouvemcnl 

(*) Ces erreurs personnelles \arient en outre, jxiur ehaque iiliMr%aleur, »aivani 
l'rriut (le l'ûtoile; elles varient d'une rtnilc à une planète ayant un disque sen- 
sible, et, chose sin{;ulirre, pour le Soleil ou la Lune, sui>ant que r*est le premii'r 
ou le deuxième bord que l'on obser\o. 



LUNETTE UKRIDIENNE. l65 

régulier de progression égal à celui de l'étoile pour qu'elle reçoive 
son empreinte au même point; puis, une ou deux secondes après, 
on admettra instantanément dans la lunette un faisceau de rayons 
intenses émanés d'une lampe, pour enregistrer sur la plaque un 
des fils du réticule, à un instant noté sur l'enregistreur électrique 
du temps. Ces procédés paraissent aujourd'hui trop coûteux et 
trop diflGciles quand on les compare aux moyens actuellement en 
usage. Qu'importe, s'il est vrai que l'extrême précision doit être 
atteinte à tout prix? En fait, la moindre mesure, dans nos obser- 
vatoires actuels, coûte déjà lo ou même loo fois plus qu'à l'époque 
de Lacaille ou de Bradlcy. Quand on aura réalisé ces derniers pro- 
grès, les géomètres n'auront plus à s'étonner que loooo observa- 
tions recueillies en un siècle, dans les observatoires les plus re- 
nommés, ne soient pas capables de fixer, pour le Soleil par exemple, 
la longitude de Tépoque à quelques secondes près. 



f mmt 



lG(> LIVRE DEUXIÈME. — CHAPITRE VIII. 



CHAPITRE VIII. 



CKRCLE MURAL. 



Il sert à mesurer les dislances zénithales méridiennes, d^où Too 
conclut les distances polaires par la formule 



'— A 



nn 



formule où z,n doit prendre le signe — quand il s*agit d'éloilcs pas- 
sant au méridien au nord du zénith. 

Si Tétoilc est obser\ée à son passage inférieur, la formule de^ 
vient 






et elle est comprise dans la précédente si Ton convient d^y reguder 
comme négatif au-dessous du pôle. 

Cet instrument n'est au fond que la partie supérieort dha 
théodolite dont Taxe horizontal passerait à travers un large 
en pierre. Le limbe divisé, sur lequel la lunette est fixée parles 
bouts, est appliqué contre la face verticale de ce pilier» fana k 
loucher, et se meut dans le méridien. Au lieu de vemiert, le oeide 
est entouré de microscopes équidistants dont les axes sont poiotés 
sur les divisions, et qui sont solidement scellés dans le mur. 

Décrivons d'abord ces microscopes. 

Supposons que Taxe optique \.0a d'un de ces microscopes 
iji^' ^)3) soit dirigé sur un point A du limbe et tombe entre denx 
traits, D et D'. 

Les images de ces traits se forment dans le plan focal derobjectif 
en fl Qi et, il s'agit d'obtenir l'arc DA, qu'il faut ajouter à lalectun* 
en l> pour avoir la position du point A. Cet arc se mesure en «</,» 



i68 



LIVRE DEUXIEME. — CHAPITRE VIII. 



l'aîde d'une croisée de fils mobile qui marche de ^ en rf sous 
l'action d'une vis micromélrique armée de son tambour divisé en 



Fip. 63. 

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60 parties égales d'environ i'' chacune. Voici la légende de \^fig* 64 
qui représente le réticule mobile du microscope : 



Fig. 6',. 




BBB, boîte rectangulaire fixée au corps du microscope ; 

CGC, châssis mobile portant la croisée des fils; 

V, vis inicroniétriquc fixée au châssis et engagée dans Fécrou 
extérieur E^ 

E, cet écrou qu'on tourne à la main pour faire mouvoir le châssis: 

l'y r, ressorts tendant à écarter le châssis du fond de la boite afin 
d'éviter le temps perdu de la vis; 

TT, tambour di\isc, faisant corps avec Técrou et destiné à subdi- 
viser un tour de la vis en 60 parties égales ; 

VP^ peigne visible dans le champ du microscope et servant à 



CERCLE MURAL. 1G9 

compter, par des crans, les tours de vis à partir du zéro ou de 
Taxe optique a A {^fig* 63) du microscope; 
dd y image des traits DD'du limbe. 

Du zéro ou de a en D il y a plus de deux crans, par suite deux 
tours et une fraction à imprimer à Técrou pour amener la croisée 
des fils sur le trait D. Lorsque ce pointé est fait, on note le nombre 
de tours et on lit la fraction de tour sur le tambour. 

^intervalle de deux traits consécutifs D,D' du limbe étant de 
5', on règle le microscope de manière que Tintcrvalle dd des images 
de deux traits comprenne cinq crans du peigne. Alors le tour de 
vis vaut l'y et une partie du tambour vaut i'^. On estime aisément 
les dixièmes de partie ou de seconde. 

La seule précaution à prendre est dYxlairer le limbe par des 
rayons bien perpendiculaires. Pour cela, chaque microscope porte, 
sous l'objectif, un petit miroir chargé de refléter la lumière d'une 
lampe qui sert aussi à éclairer pendant la nuit le champ de la 
lunette. 

Ordinairement on place six microscopes équidistants autour du 
limbe. Lorsqu'on veut obtenir la direction actuelle de la lunette, 
on lit leurs six indications et on en prend la moyenne. Cette direc- 
tion est comptée, il est vrai, à partir d'une origine arbitraire; pour 
mesurer la distance zénithale d'un astre à son passage au méridien, 
il faut donc commencer par déterminer, sur le cercle mural , la 
direction du zénith. 

Lieu du zénith. 

La lunette étant dirigée à peu près verticalement, l'objectif en 
bas, on place sous l'objectif un bain de mercure dont la surface 
réalise un miroir parfaitement plan et horizontal. On voit ainsi par 
réflexion, sur ce miroir, le réticule de la lunette (* ). 

SI la ligne de visée /O {^fig- 65) n'est pas bien verticale, 
rimage /' de la croisée des fils ne coïncidera pas avec /. L'écart ff 
sera double de l'Inclinaison de celte droite. Pour rendre celle-ci 



(*) Pourvu que Toculaire soit muai d'un petit réflecteur destiné à éclairer vive- 
ment les fils ou plutôt le champ de la lunette. 



ITO 



LIVRK DEUXIEME. — CHAPITRE VIII. 



verticale^ il suffira de faire tourner un peu la lunette jusqu*à ce 
que/' coïncide arec/; pour cela on fixera le limbe au pilier par 






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une mùchoire, el on agira sur la tête de vis qui sert à imprimer à 
la lunette des mouvements doux. Si, à ce moment, on lit les six 
vernirrSy leur movennc donnera la direction du nadir, et on aura 
celle du zénitli en lui ajoutant 180°. 

Soit Uq la lecture du cercle quand la lunette est pointée sur le 
/.énitli, // la lecture obtenue quand on a visé une étoile, s^ et s les 
erreurs des traits correspondants, on aura 



u 



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Ce n*est encore que la dislance zénithale apparente : on doil 
lui ajouter la réfraction, et par suite on aura soin de noter les in- 
dieations / el /> du llierniomètre aérien et du baromètre. 



CERCLE MURAL. 171 



Rectification du cercle mural. 

L'axe doit être horizontal. Comme il est caché dans Tépaisseur 
du pilier, on rend le limbe vertical au moyen d^un fil à plomb, en 
agissant au besoin sur des vis placées à l'extrémité de l'axe. La 
ligne de visée doit être perpendiculaire à l'axe de rotation. On peut 
se servir pour cela de deux collimateurs opposés qu'on place hori- 
zontalement à droite et à gauche, et sur lesquels on pointe alterna- 
tivement la lunette. On rectifie la ligne de visée en déplaçant con- 
venablement le réticule dans son plan, à l'aide de deux vis opposées. 
Enfin, le plan vertical décrit par la ligne de visée doit coïncider 
avec le méridien du lieu. A cet effet, on dirige la lunette sur une 
étoile circumpolaire et on note l'heure sidérale de son passage par 
la croisée des fils. Cette heure doit être égale à VM de cette étoile. 
S'il en était autrement, on corrigerait Taxe en agissant sur deux 
vis contraires, horizontalement disposées à l'une de ses extrémités. 
Ces rectifications n'ont pas besoin d'être faites avec la même pré- 
cision que celles de la lunette méridienne. 

Le réticule se compose de deux fils en croix, Tun dans le méri- 
dien, l'autre perpendiculaire au premier et, par suite, horizontal. 
C'est sur ce dernier qu'il faut amener Tiniagc de Tétoilc qu'on 
observe. 

On emploie souvent un fil mobile, parallèle au fil horizontal : 
mais alors il faut ajouter, à la lecture du cercle, le petit angle qu'on 
a fait parcourir à ce fil pour l'amener sur l'astre observé à son 
passage au méridien ; cet angle est mesuré par ime vis micromé- 
trique fixée près de l'oculaire. 



172 



LIVRE DEUXIÈME. — CHAPITRE Vlif. 






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CRRCLE MURAL. 



173 



Réduction au méridien. 

Lorsque Tétoile est ondulante, il se passe quelque temps avant 
qu'on ait saisi le milieu de ces petites oscillations. L'obser\'ation 
n'étant pas faite au méridien même, il faut noter Theure H à laquelle 
le pointé a été effectué pour être en état de calculer une petite 
réduction au méridien. 

L'astre a pour angle horaire, à cet instant, H — .^ ; et comme il se 



trouve sur le fil ef {fig> (>G), c'est-à-dire sur un arc de grand cercle 
perpendiculaire au méridien, sa distance polaire conclue serait P/, 
laquelle difiere, de la véritable Pe', du petit arc /c =Ve — P/. Le 
triangle rectangle P^»/ donne 

tangP/zzr langPe' cos ^^I, 

d'où, en mettant S pour Pc, 

Pe — P/=: tang*} JIsin2o — |taiig*}^Hsin4^ -I- . . ., 

relation dont le second nombre, multiplié par 206 263'', donne la 
réduction cherchée. 

Elle n'est pas la même que pour le théodolite; cela tient à ce que, 
si l'astre est observé hors du méridien, le cercle mural n*en donne 
pas la distance zénithale, mais seulement la projection de cette 
distance sur le méridien. 



1/4 LIVRE DEUXIÈME. — CHAPITRE VIII. 

Détermination de h 

La constante a qui intervient dans tous ces calculs se détermioc. 
une lois pour toutes , par les circumpolaires observées à leurs deux 
passages P. S. et i^.I. L'instrument a^ant donné, pour une de ces 
étoiles, les dislances zénithales z et z' que nous supposerons cor- 
rigées de la réfraction, on en déduit 

1 .o. . . trr. A ■ ■ Z j 

PI r — y 

I .1 ... — O — /. *f j 

(Toii 



A ■:— , r. — 



Nous reprendrons plus loin cette question, à propos de Tétudo do 
la réfraction. 

Corrections instrumentales. 

Il est aisé de maintenir les défauts de rectification du cercle 
mural dans des limites assez étroites pour qu'il n'y ait pas lieu d*eii 
tenir compte par le calcul. H ne reste donc à considérer que les 
erreurs de division etles déformations dues à l'élasticité des picce^^ 
soumises à Faction de la pesanteur. Les astronomes ne se conten- 
tent pas d'éliminer en grande partie les erreurs de division |>ar 
l'emploi de six micromètres équidistants : ils déterminent trait par 
trait ces erreurs, de manière à en tenir compte d*une manière tout 
à fait exacte. Quant à la flexion des diverses pièces, le prohlèmr 
est trop compliqué pour être directement abordable. 

La seule ressource consiste à mesurer avec rinstnimenl de*» 
angles parfaitement connus, et à examiner si l'on en obtient bien 
ainsi les \éritables valeurs. Les effets de la flexion variant périodi- 
quement a\ec la direction de la lunette, c'est-à-dire avec la Icctum//, 
nn peut les représenter empiriquement par la série de Fonricr et 
remplacer la lecture légèrement faussée it ))ar la lecture exacte 

// - (t siii(// — A )-i- bsin o.i^it - B) - . . ,. 

Supposons que la lecture if répon<le à la direction horizontale, 
u à la direction du nadir, n" à une deuxième direction horizontale 



CERCLE 3IURAL. I7J 

opposée à la première. Ces trois lectures corrigées seront, en 
remarquant que w'= u -f- 90" et //'= n -h 180® à très peu près, 

//H- rt sîn(w H- A)-h /> sinî^(// 4- B) i ..., 
//■ H- acos(w -f- A) — ^siii9.(// -1- B) - .... 
//" — a sin ( 1; -h A ) -h />> sin îî ( // -r- B ) •-.... 

On en déduit les deux relations 

n" — M — 2 flr sin ( // -h \ ) ^^ 1 8o<*, 
/f " -H II — 2 /<' — ia cos ( //. 4- A ) =1 o, 

lesquelles feront connaître les constantes ^ et A du premier terme 
correctif. Pour déterminer pareillement les constantes du deuxième 
terme, il faudrait mesurer un nouvel angle de 4S°* 

Bessel, qui a étudié cette question d'une manière très appro- 
fondie, pensait que, pour éliminer Tinfluence de la pesanteur, il 
fallait employer un instrument susceptible de retournement et 
observer deux fois la même étoile, directement et par réflexion sur 
un horizon de mercure, dans la première position ; puis recommen- 
cer les mêmes observations dans la deuxième. 

La moyenne de ces quatre mesures serait indépendante de toute 
flexion. U est aisé de voir qu'on n'élimine ainsi que le premier 
terme de la série précédente et nullement le deuxième. Toujours 
est- il que les astronomes ont été conduits par là à revenir aux 
instruments susceptibles de retournement, qui leur paraissent plus 
propres à une étude complète que le cercle mural. 

Erreur personnelle de robservateur. 

Ici le rôle de l'observateur est bien réduit; il s'agit de placer 
l'étoile observée au milieu de l'intervalle de deux fils parallèles et 
horizontaux. Le mouvement diurne de l'étoile n'intervient pas; il 
n'y a que les ondulations dues à la réfraction qui gênent le pointé. 
Néanmoins, dès que nos sens sont enjeu, il faut se méfier. Tracez 
sur un papier deux traits parallèles et placez à vue, entre eux, un 
pointa égale distance de ces deux droites; lorsque vous serez satis- 
fait de ce genre de pointé, renversez la feuille de manière à mettra 
le haut en bas, et examinez si le point que vous y avez marqué dans 
la première position vous paraît encore au milieu. Vous > trou- 



176 LIVRE DEUXIEME. — CHAPITRE VIII. 

verez pcul-étre une petite erreur provenant d'un certain défaut de 
Fœil et dont l'effet est doublé par ce renversement. Ce défaut se re- 
trouvera dans toutes les distances zénithales ainsi obser>'ées, mais 
avec un sens différent suivant qu'il s'agira d'étoiles observées an 
sud ou d'étoiles observées au nord. Pour les étoiles zénithales, il fn' 
retrouvera encore suivant que l'observateur, couché sur le dos 
pour pointer à l'étoile, aura les pieds au nord ou les pieds au sud. 
Pour se débarrasser de celte erreur de pointé entre deux fils, on 
réduit le réticule à un seul fil horizontal qui doit bissecter l'imagi' 
de l'étoile; mais ici encore Terreur personnelle se reproduit lorsque 
l'étoile a un disque factice un peu grand, ou lorsqu'elle ondule au- 
dessus et au-dessous du fil, ou lorsqu'au contraire l'étoile est mas- 
quée entièrement par le fil. Toutes ces difficultés disparaissent par 
l'emploi de la photographie, qui supprime entièrement l'observa- 
teur. 

Cercle méridien. Flexion des lunettes. 

On nomme ainsi un instrument, aujourd'hui très répandu dans 
les observatoires, qui réunit le cercle mural et la lunette méridienne. 
Il a l'avantage de permettre à un seul observateur de déterminer 
à la fois VM et le de chaque astre à son passage au méridien. 
Mais l'instrument est beaucoup plus compliqué, plus lourd, ks 
flexions y sont plus fortes, la stabilité moindre, et surtout robeer^ 
vateur, plus pressé, doit donner son attention à deux choses Iblt 
différentes, le pointé entre deux fils horizontaux et rapprécialiAI • 
de l'instant du passage parles fils verticaux. On perd ainsi tous bat 4' 
avantages de la division du travail et de la simplification des instroi»:'^' 
ments. Mais, comme le travail produit est plus grand et plus régo*'-^ 
lier, on emploie en général cet instrument pour les obsenrations 
méridiennes qui n'ont pas besoin de la plus extrême précision, et cm 
réserve la lunette méridienne et le cercle mural, ou mieux le cerds 
vertical susceptible de retournement, pour la délicate délermÎMK ^ 
tion des étoiles fondamentales et des constantes de TAstronomii. > 



Dans un cercle méridien, la lunette n*est plus fixée au limbe 
deux extrémités, comme dans le cercle mural; elle n'est portée par 
l'axe qu'en son milieu. La Hexion est donc plus grande cl escige nue 
étude particulière. H ne faut pas la confondre avec ce qu*on appelle 
de ce nom en Mécanique. Une pièce de bois ou de métal supportée 



178 LIVRE DEUXIÈME. — CHAPITRE Vlll. 

en son milieu se courbe légèrement sous son propre poids ; ses deux 
extrémités s'abaissent d'une manière sensible. Il en sera de mémo 
de la lunette de l'instrument dont il s'agit ici. Si les deux extré- 
mités s'abaissent également, la ligne de visée, déterminée par !<• 
centre optique de l'objectif et la croisée des fils du réticule, ne 
changera pas de direction ; elle sera seulement transportée un peu 
plus bas, ce qui est sans eflet sur les observations. Mais si les deux 
ilexions sont inégales, il y aura déviation ; celle-ci n'est donc qu'une 
diflerentiellc de la flexion ordinaire. Représentons la force qui la 
détermine par une petite droite verticale appliquée à l'une de> 
extrémités de la lunette, et faisant avec la ligne de visée un angle 
égal à z. Sa composante, dans le sens perpendiculaire à Taxe delà 
lunette, sera seule efficace pour produire la flexion ; Tautre, dans le 
sens de Taxe, tend seulement à comprimer les matériaux dont le 
tube se compose. I^ première composante est proportionnelle à 
sin w; il en sera donc de même de l'eflct produit. Dès lors on voit 
que la ilexion doit varier comme le sinus de la distance zénithale. 
Nulle au zénith, elle atteint son maximum/ à l'horizon. 

Pour déterminer la constante de l'expression /sin r, on em- 
ploie deux collimateurs horizontaux opposés sur lesquels on 
pointe alternativement la lunette du cercle méridien. Soient 11 b 
lecture du limbe dans la première position, 1/ la lecture dans la po- 
sition diamétralement opposée. Pour corriger ces lectures de b 
flexion, il faut écrire 11 -h/, u' — /puisque les deux z sont égaux» 
()o°età — 90®. Leur différence devant être de 180", on aura 

u' - u — à/ ---- 180**, 

équation qui fera connaître / en grandeur et en signe. Dès lors 
toutes les distances zénithales ainsi obtenues devront recevoir la 
correction/ sin V (*). 

Détermination simultanée de la colatitude et des constantes 

de la réfraction. 

Il faut, comme on l'a vu, se tourner vers le nord, et observer uor 
série d'étoiles circumpolaires à leurs passages supérieui*s et infe- 
ct <hi fxiW'dc aujourd'hui, pour l'élude complote do lu flexion, une iiivthodf el 
un appurcil du!^ à M. Lœ^\y. 



CERCLE MURAL. I79 

rieurs. En désignant par Zi et z\ les distances zénithales d'une 
même étoile, on a 

aX = 5i + p -h/sin Zi H- z\ 4- p' H-/sin z\ . 

La réfraction étant de la forme (p. 118) 

a tang z^ — p tang' jj. 

si nous désignons par d\ da, d^ les corrections à ajouter aux va- 
leurs approchées VyoJ, P' de ces constantes, on formera, par chaque 
étoile circumpolaire, une équation de condition 

N -f- adX — {^a(lang>5i-i- laiigSj) -f- {^3(lang»-Si4- laiig'yj)=o, 

équation où les coefficients de da et de d^ doivent être multipliés 
par les facteurs relatifs au baromètre et au thermomètre. 

En traitant ces équations parla méthode des moindres carrés, on 
aura les valeurs les plus probables des inconnues, et par suite celles 
des constantes ^, a, p. Puis on remplacera, dans ces équations, les 
inconnues par leurs valeurs ; les résidus donneront une idée nette 
du degré de précision des observations et des résultats conclus, 
pourvu qu'aucune erreur systématique ne s'y soit introduite. 

Comme la formule de p n'est valable que jusqu'à 79"* de distance 
zénithale, on aura soin de ne pas employer d'étoiles qui dépassent 
cette distance-là à leur passage inférieur. Il faut réserver ces étoiles 
pour soumettre les théories de la réfraction au contrôle de l'obser- 
vation, dans la partie où elles commencent à dépendre d'une hypo- 
thèse plus ou moins gratuite sur la constitution de l'atmosphère. 
Il est essentiel d'employer dans ces calculs la vraie température 
de l'air. Une erreur de i" produirait une altération sensible dan«v 
les résultats, et particulièrement dans la valeur conclue de ).. 
Il faut que la température de la salle d'observation soit la même 
que celle de l'air extérieur, et que le thermomètre soit soustrait 
aux radiations du sol ou des corps voisins. Enfin sa graduation et 
son zéro doivent être contrôlés avec soin. 

Ici se présente une vérification précieuse, mais fort délicate. Au 
sud du zénith, les distances zénithales du Soleil, vers les deux sol- 
stices, donnent également X, ainsi que nous le verrons plus loin, 
pourvu qu'on opère sur un très grand nombre d'observations. La 



l8o LIVRE DEUXIÈIIK. — CHAPITRE VIII. 

flexion, Terreur personnelle de robservateur, rinfluence de la ré- 
fraction agissant alors en sens contraire, Taccord des deux valeurs 
de X obtenues au sud et au nord sera une garantie considérable. 
Leur désaccord indiquerait la présence de causes d'erreurs dont il 
faudrait se préoccuper. 

En Géodésie, où Ton a pour but unique de déterminera, on ol»- 
serve à la fois au sud et au nord, mais seulement des étoiles fon- 
damentales. En prenant la moyenne de mesures faites ainsi à 
pareille distance du zénith, on élimine Teflct des petites erreurs 
dont nous venons de parler. 



Travaux d'un observatoire. 

Les observations méridiennes sont la base de TAstronomie. La 
règle est d'observer le Soleil, la Lune et les planètes à leur passait» 
au méridien en toute occasion, et de comparer ces observations à 
la tlicorie, c'est-à-dire aux positions de ces astres que la Connais- 
sance des Temps public annuellement, d'après les Tables astrono- 
miques fondées sur la théorie de l'attraction. Ce travail doit étrr 
rontinué indéfiniment, de jour en jour, d'année en année, de siècle 
<'n siècle. Il a pour but de fournir les éléments nécessaires au per- 
fectionnement incessant de la théorie. Les plus grandes découverte!^ 
sont duos à la persévérance avec laquelle* les observations méri- 
diennes ont été conduites, depuis deux siècles, dans les Observa- 
loi res de Greenwich et de Paris. 

Les astronomes observent aussi chaque jour un certain nombre 
d'étoiles de toute grandeur, afin d'en déterminer les coordonnées Jt 
rt 0. Ils eu forment des Catalogues qui donnent ces coordonnées 
pour une certaine date. Tels sont le Catalogue de Bradley, contenaDt 
.^looo étoiles jusqu'à la ()'' grandeur, le Catalogue de 9000 étoiles 
de Lacaille pour le ciel austral, celui de Piazzi, celui de Lalande qui 
romprend 3o 000 étoiles, etc. Aujourd'hui le nombre des petite^ 
«'toiles ainsi cataloguées en Allemagne et en Amérique s*élève à 
3oo 000. 

Ces étoiles servent de points de repère pour les observation» 
extra-méridiennes des comètes et des petites planètes qui sont rare- 
ment observables à leurs passages au méridien. L'équatorîal, don! 



l8a LIVRE OKUXiéME. — CHAPITRE VIII. 

le réticule et mus par des vis micrométriques. Soient M' et o' les 
coordonnées de Tétoile de comparaison fournies par un Catalogue, 
{M) et (S) les diflTérences mesurées à une certaine époque à Taide 
du fil mobile, on aura 

iR'-i-(iR) et a' -+-(8) 

pour les coordonnées de Tastre à cette époque-là. 

SUl s'agissait de les obtenir directement à Taide des cercles de 
Téquatorial, elles seraient aflTeclées d'eiTeurs grossières; mais, dans 
le système d'observations que nous venons d'indiquer, ces erreurs 
disparaissent, parce qu'elles aflcctent également Tastre et Tétoile de 
comparaison qui se trouvent à la fois dans le champ de la lunette, 
très près l'un de l'autre. Il n'y a donc guère à craindre ici que le* 
erreurs dont les coordonnées stellaires M' et 8' peuvent être affec- 
tées, mais celles-ci sont minimes, puisque ces étoiles ont été anté- 
rieurement déterminées par des observations méridiennes. 



Rdle des étoiles fondamentales. 

Parmi les étoiles ser\'ant ainsi de repère, il en est qu'on ne cesse 
jamais d'observer et dont les positions se trouvent aujourd'hui con- 
nues avec la plus extrême précision. Ce sont les étoiles fondamen- 
tales dont nous avons déjà parlé très souvent. 

Dans la pratique journalière des observatoires, on ne saurait déter- 
miner à tout instant les erreurs instrumentales avec la précision re- 
quise, et cependant les observations essentielles ne doivent janiai> 
(Ure interrompues. Pour satisfaire à ces conditions, l'astronome ob- 
serve, en même temps que le Soleil, la Lune ou les planètes, plu- 
sieurs étoiles fondamentales qui se trouvent dans la même région 
céleste, ainsi qu*on l'a vu dans le spécimen donné plus haut des 
registres de TObservatoire de Paris. Comme les erreurs instrumen- 
tales, toujours très faibles, affectent au même degré les astres oli- 
serves et les étoiles de comparaison, ces erreurs disparaissent dans 
les différences. Ainsi, en déterminant la correction de la pendule 
par les étoiles du Bou\ier, le i**^ septembre 1880, et en appliquant 
cette correction aux passages observés du Soleil, de la Lune, do 
Mercure ou de Vénus pour obtenir leurs .B, le résultat ne dépend 



ÉTOILKS FONDAMENTALES. l83 

plus des instmmentSy mais de Texactitude des fondamentales. II en 
sera de même des petites étoiles qu'on aura observées ce jour-là 
dans la même région. 

La détermination de ces étoiles fondamentales, dont la première 
institution régulière remonte à 4ooo ans (Astronomie chinoise), 
est Tceuvre la plus délicate des grands observatoires. Elle exige, en 
premier lieu, une connaissance approfondie de toutes les causes 
naturelles qui font varier leurs coordonnées, les mouvements pro- 
pres, la précession, la nutation, Taberration et la parallaxe annuelle. 
Ajoutez-y la réfraction, quand il s'agit des distances polaires. Les 
erreurs instrumentales elles-mêmes, telles que la marche diurne 
de la pendule, Tinclinaison et Torientation de Taxe de la lunette 
méridienne, les flexions, etc., doivent être étudiées avec un soin 
tout particulier. Or ces erreurs n'ont pas toute la fixité qu'on 
leur suppose ordinairement; elles varient avec le temps, sui- 
vant des lois mal connues; elles dépendent principalement des 
changements diurnes et annuels de la température. Malgré le soin 
qu'on met à les déterminer fréquemment, on ne peut espérer d'en 
connaître la valeur exacte à tout instant. 

Voici, pour fixer les idées, un exemple bien simple. Malgré l<n 
compensation du pendule de l'horloge astronomique, il y a tout 
lieu de croire qu'il y reste encore quelque défectuosité. Les varia- 
tions diurnes et annuelles de la température doivent donc exercer 
une certaine influence sur la marche de Thorloge, marche que nous 
avons traitée comme une constante dans la formule 

Or la température diurne présente une variation périodique 
susceptible d'être exprimée par le sinus de l'heure comptée à partir 
d'une certaine origine, c'est-à-dire par l'expression 

esin(ll — a). 

Comme H = iR au méridien, on voit que les ascensions droites des 
étoiles fondamentales, en les supposant déterminées par une série 
d'observations méridiennes de vingt-quatre heures et réduites d'a- 
près la première formule, présenteront une anomalie, exprimée 
par la seconde, dont il est à peu près impossible de tenir compte 
directement. Cette anomalie, de nature sinusoïdale, aura pour eflet 



|8| LIVRE DEUXIÈME. — CHAPITRE VIII. 

de rapprocher les étoiles les unes des autres en ascension droito 
dans une certaine région du ciel, et de les écarter les unes des 
autres dans la région opposée. 

Il nV a qu'une manière d'éliminer une telle cause d'erreor. 
c'est de prendre, pour chaque étoile, la moyenne des M obsenréts 
pendant une année entière. Comme le jour sidéral difiere d*enviroii 
i'^oG* du jour solaire, au bout d'une année une étoile quelconque, 
observée chaque jour et ayant naturellement passé au méridien à 
la même heure sidérale, aura passé successivement au méridien à 
toutes les heures solaires. Or l'anomalie en question, due aux va- 
riations de la température, se règle sur l'heure solaire et non sur 
l'heure sidérale; son influence sur l'Jl d'une étoile quelconque 
passera donc, en un an, par toutes les valeurs que peut prendre un 
sinus, valeurs dont la somme est rigoureusement nulle. Ainsi elles 
se neutraliseront complètement dans le cours d'une année. Il eu 
sera de même de toutes les causes d'erreur ayant la même période 
et, par exemple, du phénomène des parallaxes annuelles, d*unr 
petite erreur sur la constante de l'aberration, etc. 

Mais, pour suivre en toute saison et à toutes les heures solaires 
une étoile à ses passages au méridien d'un lieu quelconque, il faut 
qu'elle soit observée en plein jour aussi bien qu'en pleine nuit. On 
est donc obligé de choisir les étoiles fondamentales parmi les plus 
belles étoiles, de la première à la troisième grandeur. Autrefois \vs 
astronomes n'en avaient adopté que vingt. Leur nombre a été en 
croissant; aujourd'hui il y en a près de trois cents, dont les posi- 
tions sont calculées et publiées d'avance dans les éphémérides, df 
dix en dix jours. Mais celles qui ne peuvent être observées d*une 
manière continue, pendant le jour aussi bien que pendant la nuit, 
ne méritent pas véritablement le nom Ai^ fondamentales. 

Ce que nous venons de dire des IR compte pareillement pour les 
o. Lu réfraction calculée a bien aussi ses variations provenant de 
causes météorologiques. On ne les élimine qu'en continuant d'ob- 
server pendant toute la période assignable à ces causes, c'est-à-dire 
pendant une année entière. 

Enfin les étoiles ont leurs petits mouvements propres qu*on ne 
saurait déterminer qu'en comparant des observations faites à de 
grands intervalles de temps. 

Malgré tout, les positions des étoiles fondamentales, données 



ÉTOILES FONDAMENTALES. l85 

par les observatoires principaux qui s'occupent de leur détermina- 
tion, présentent entre elles de petites difTérenccs qui indiquent la 
limite de précision qu'on n*a pu encore dépasser par les movens 
actuels. Il faudrait, pour aller au delà, de nouvelles méthodes dont 
Tadoption est réservée à Ta venir. 

Terminons par une dernière remarque. Les erreurs personnelles 
des observateurs n'interviennent pas dans ces divers Catalogues si 
Ton a la précaution de ne combiner entre elles, en un même jour, 
que les observations dues à un même observateur. En eflet, cette 
erreur étant constante, tant que l'observateur ne change pa«, elle 
disparaît dans les différences d'M observées par le même indi- 
vidu. 



■ » •< 



THÉORIE DBS ERRBURS. 187 



LIVRE TROISIÈME. 



THEORIE DES ERREURS, 



On fait des mesures, soit pour déterminer certains éléments que 
la science rattache par une expression mathématique aux phéno- 
mènes observés, soit pour vérifier cette loi elle-même. Quel que 
soit le but qu^on se propose, il ne faut pas oublier que nos mesures 
n^ont jamais une exactitude parfaite; et comme les petites erreurs 
inévitables dont elles sont affectées doivent exercer une certaine 
influence sur les conclusions qu^on en tire, il est nécessaire de s'en 
rendre compte, dans le premier cas pour connaître le degré de pré- 
cision avec lequel ces mesures donnent le résultat cherché, dans le 
second cas pour savoir si les discordances qui se manifesteront 
toujours entre la théorie et l'observation tiennent aux observations 
ou bien à la théorie. 

Nous ferons remarquer, sur ce second point, que c'est invariable- 
ment par ce genre de discussion que la science progresse. Toutes 
les grandes découvertes astronomiques, celles de la précession, de 
la nutation, de l'aberration, des principales inégalités périodiques 
ou séculaires de la Lune et des planètes ontété faites ainsi. Les lois 
de Kepler elles-mêmes, ces bases de l'Astronomie solaire, sont 
sorties d'une discussion de ce genre. Les discordances entre les 
théories anciennes et les observations de Tycho Brahe ne dépas- 
saient pas 8', écart assez faible pour des observations faites à l'œil 
nu; c'est cependant pour les faire disparaître qu'il a fallu réformer 
toute l'Astronomie, et cela parce qu'il était impossible de les 
attribuer aux mesures si précises de l'observateur danois. 

Le premier pas à faire dans cette étude est de distinguer entre 
les erreurs accidentelles ou fortuites qui tiennent à l'observateur 



|88 LIVRE TROISIÈME. 

et les erreurs systématiques qui tiennent à une cause assignable ou 
à une fausse théorie. C*est un fait (Inexpérience mille et mille foi> 
vérifié que les premières ne suivent aucune loi; elles sont indifle- 
remmcnt positives ou négatives; les petites erreurs sont de beau- 
coup les plus nombreuses; enfin les plus fortes, relativement très 
rares, ne dépassent jamais certaines limites assignables. 

Les secondes, au contraire, ont une marche régulière qui décèle 
leur origine. On a vu combien nous avons insisté sur les erreurs 
instrumentales, sur la réfraction, etc. Les causes étaient connues: 
nous avons cherché leurs lois et donné le moyen d'en purger les 
observations. Ainsi la réfraction diminue les distances zénithales 
proportionnellement à leurs tangentes; rcxcentricité d'un ccrch' 
affecte les angles mesurés proportionnellement au sinus de ces 
mêmes directions comptées à partir d*une certaine origine, etc. 
Maintenant nous allons suivre la marche inverse et montrer com- 
ment on peut découvrir, en discutant les observations, la loi el 
même la cause des erreurs systématiques dont elles sont affectées. 



BRRELBS STSTEMATIQVES. 



180 



CHAPITRE IX. 



ERREURS SYSTÉMATIQUES, 



Recherche expérimentale d^nne cause d'erreur. 

Voici une série d'observations méridiennes lailcs à Paris, au 
nord du zénith, pour déterminer la colatitudc. On sait d'avance 
(|u'avec l'instrument employé l'erreur à craindre sur une distance 
7.éni thaïe n'est guère que de o", 5. Voici les résullals : 



UUUoc«t polaire* 
des Atollfs ob^ervi^es. 



il 



— 5io Passafçe inft'rieiir 



II 



3i P. I 



1 



- 19. 



— 10. 



i) V 1 

Moyenne. . 



X conclu. 

il. ij. i8,>. 

Î9.1 

10,8 
48,1 

Î7,9 
4". 9. i<'>,7 



i"- 9- i7î4 



KcarU 
tnio). — ob«.). 


- - 1,0 



O 

— I 

- I 
O 

o 

o 

— 1 



9 






Les signes des écarts paraissent être indiflereniment r- et — , 
mais leur grandeur dépasse de beaucoup les limites ordinaires. 
11 y a donc lieu d'examiner s'il n'y aurait pas ici quelque erreur 
systématique. Comme a = o 4- :; et que les des étoiles em- 
ployées sont très exacts, c'est sur les :; qu'il faut porter notre 
attention. Rangeons donc ces écarts dans l'ordre des dislances 
zénithales. 



190 



LIVRE TROISIÈME. — CHAPITIIB IX. 



o 
O. . . . 



. 4i. 9.49»» 
48,a 
48,1 

47,9 
46,8 

46,7 
46,5 

74 41. 9-45,7 



10. 

3i. 
40. 
53. 
63. 



Éetrtt. 

— 1,0 

— 0,7 
-0,5 

-T- 0,6 

-"■ o»7 
-^ 0,9 
-^ 1,7 



Ainsi, plus les étoiles observées sont loin du zénith, plus le), 
conclu est petit. Pour découvrir la loi de Terreur systématique dont 
ces mesures sont évidemment aflfectées, construisons la courbe des 
écarts en prenant pour abscisses les s. 

Cette courbe ayant assez Tair d'une sinusoïde, la loi de Terrear 

Fig. G9. 




sera de la forme asin:;, ce qui indiquerait une très notable flexion 
dans la lunette. Pour le vérifier on détermine immédiatement cette 
flexion par deux collimateurs horizontaux, et on trouve eflTective- 
ment a i:^ -r 3'^. En ajoutant la correction S^sin^ aux A précédent:», 
on forme ce tableau : 











Écarts 


). observé. 


Flpxlon. 


X 


corrliv. 


{aio|. — «te.) 


« » H 








t m 


• 


4i. 9-49,> 


-- 0,0 


il. 


9-49, > 


0,1 


48,2 


0,3 




48,7 


0,3 


48,1 


',1 




49,'^ 


- o,x 


47,9 


»,' 




S9,4 


- o,î 


46,8 


1,0 




48,7 


0,3 


46,7 


2,4 




49,' 


0,1 


46,5 


'^^7 




Î9,2 


0,^ 


41. 9-45,5 


-■- a, 9 


41. 


9.Î8,6 


0,4 




Moyenne. . . 


4«. 


9-49, <> 





EBRBVBS SYgTÉMATIQrES. I9I 

Les écarts n'ont plas de marche régulière et ne sortent plus des 
limites de la précision habituelle pour des instruments de premier 
ordre; ce sont probablement des erreurs accidentelles. 

Second exemple, — Pour étudier certaines anomalies qui se 
présentent dans les observations stellaires, on a choisi v du Dragon 
parce que cette étoile est très voisine du zénith (à Greenwich) et 
qu'il n'y a pas à craindre Tincertitude de la réfraction. 

Voici une série de mesures continuée pendant une année entière, 
de mois en mois. 

Écarlh t 

Dates. 8 observés. lubs. — mu} <. en Jour». 

O f m 

3i décembre 38.39.54,1 5,.| o 

3o janvier 62,5 - i3,B 3o 

219 février 69 , 2 ■ 'xoji 60 

3o mars ^ j'^- vîo, 5 90 

29 avril 64 ,0 I > , 3 \>.o 

09 mai 54,9 6,9. i5o 

a8 juin 44, 1 \S^ iHo 

a8 juillet 36,8 ii)9 '>i<> 

27 août 3o,3 18,1 vt|<) 

Î16 septembri* 28 ,8 "9»î) 'v^> 

26 octobre 3i»4 ■ '7ï^ 3(K) 

20 novembre 38.39.39, i — 9,0 33o 

4 janvier 38.39.52/^. -- 3,'> 37*) 

Moyenne des douze premiers . . 38.39.48,7 

Les écarts avec la niovenne de l'année varient de la manière la 
plus régulière avec le temps. Pour en découvrir la loi, nous pren- 
drons le temps pour abscisse et les écarts pour ordonnées. La courbe 
obtenue est évidemment une sinusoïde. Le phénomèoe est donc 
périodique, ce qu'on vérifierait en poursuivant les observations: la 
période est d'une année et l'expression mathémali(iue de la loi 
est, par à peu près, 

5 — 01- o,o''siiiJ>9',i(/ H- 17), 

en désignant par o' la distance polaire moyenne , par / le temps 

exprimé en jours. 

Est-il possible de remonter, de cette loi, à la cause des variations 
que subit ainsi périodiquement la dislance polaire de cette étoile? 



192 LIVRE TROISIEME. — CHAPITRE l\. 

Les astronomes qui ont remarqué, les premiers, ces singuliers écarts 
ont pensé tout d'abord à l*illusion produite par la circulation 
annuelle de la Terre autour du Soleil. Il est certain, en effet, que les 
deux périodes, celle de cette circulation et celle des variations du o 
de cette étoile, étant les mêmes, les deux phénomènes sont en rela- 
tion de cause à effet. Nous avons dit que cette illusion consiste en 
ce que chaque étoile doit paraître décrire en un an, autour de sa 
position moyenne, une orbite égale et parallèle à celle de la Terre. 
Mais nous verrons plus tard, en appliquant le calcul à cette question, 
que, pour y du Dragon, les variations de dues à cette parallaxe 
annuelle auraient pour expression 

— 0' =^ - A oos59', Ht -\- 17), 

/«' étant un très petit coeflicient. Le phénomène que nous étudions 
n'est donc pas imputable à cette cause; car, lorsque — o'devTail 
croître sous son influence, Tobscrvalion montre qu'il va au con- 
traire en décroissant et prend même un signe contraire. 

Ce phénomène périodique a pris une importance énorme lorsqu'on 
s'est aperçu que toutes les étoiles le présentaient avec la même 
période annuelle cl avec des caractères analogues. Ce n^est assu- 
rément qu'une apparence; mais, bien que nous en ayons trouvé 
expérimentalement la loi, il nous manque, pour remonter a la cause, 
des notions que Tétude du système solaire nous donnera plus tard. 

En tout cas, les erreurs accidentelles se manifestent ici |)ai' 
l'impossibilité de faire passer la sinusoïde par tous les points 
observés ; les écarts sont tantôt dans un sens, tantôt dans Tautrc, et 
presque tous fort petits. Ce sont ces erreurs accidentelles que nous 
allons étudier, en supposant que les oi>servations à discuter aient 
été préalablement purgées de toute erreur systématique provenant 
des instruments ou de toute autre cause. 



THÉORIE DES ERREURS ACCIDENTELLES. I93 



CHAPITRE X. 



THÉORIE DES ERREURS ACCIDENTELLES. 



Examinons d'abord le cas le plus simple, celui où Ton a mesuré 
directement une grandeur x pour laquelle on a obtenu les évalua- 
tions tij n!y nJ'j... en nombre m. C'est comme si Ton devait déter- 
miner X de manière à satisfaire le mieux possible aux m équations 
suivantes : 

X = /i, 



X ■=z n", 



Si ces mesures ne sont affectées que d'erreurs purement acciden- 
telleSy celles-ci seront indifféremment positives ou négatives ; en 
outre, les plus nombreuses, de beaucoup, seront les plus petites. Il 
en résulte qu'en prenant la moyenne des mesures il y aura une 
large compensation de ces erreurs. Si par hasard il se trouvait 
quelque grosse erreur (grosse dans les limites admissibles, bien 
entendu) qui-ne fût pas entièrement annulée par une erreur égale 
et de signe contraire, elle serait du moins fortement diminuée par 
le diviseur m, nombre des équations. L'équation résultante 

/t-h/i'-h/i'^-h... [/il ... 

X-=z OU ~ — - (M 

m m 

sera donc beaucoup plus exacte que chacune des proposées prise 
en particulier, pourvu que m soit un assez grand nombre. 

D'après cela, nous aurons une idée très approchée des erreurs 
accidentelles qui auront été réellement commises dans chaque 



(*) En représentant la somme des termes semblables par l'un d'eux enfermé 
^'ans le» crochets [ ]. 



194 LIVRE TROISIÈME. — CHAPITRE X. 

mesure partielle si nous portons cette valeur de jr dans les équations. 
Ces équations ne seront pas satisfaites rigoureusement ; elles lais- 
seront de petits résidus qui représenteront à très peu près les erreurs 
commises. Désignons-les par s, e', e", . . . . D'après cela, 



a; 


^— 


n 




£ 1 


X 


— 


n' 




t'. 


JU 




n" 


— 





X a}^ant ici la valeur ci-dessus - — -. Il est facile de voir que la 

somme de ces résidus est nulle, car, si Ton remplace x par ^a 
valeur, cette somme devient 

n -h /*' H- /i"' -f- . . . n -\- n' ~\- w" -f- . . . , 

m tu 

n -\- n' -\- n" ->t- . , , „ 

-i n^-\- 

m 

somme qui se réduit évidemment à zéro. 

Cela posé, remarquons que cette même somme 

(x — n)-^(x — n')'^-{x — /i')4-. . . 

est, à un facteur constant près (le facteur 2), la dérivée par rapport 
à ^ de la somme des carrés des erreurs : 

(x — n)^i-(x — n'y-h{x — n^y-T-, .., 

De ce que cette dérivée est nulle, il résulte que la somme des 
carrés des erreurs est un minimum. Cela veut dire que toute autre 

valeur que la moyenne - — =, mise à la place dex dans les équations 

proposées, donnerait une plus forte somme des carrés des résidus. 
Si Ton avait une autre série de m mesures de la même quantité, 
faites avec moins de soin et avec des instruments plus grossiers, 
la somme des résidus relatifs à la moyenne serait encore nulle* 
mais la somme de leurs carrés serait plus forte. On peut donc con- 
sidérer cette somme des carrés ^ réduite au minimum, comme un 
moyen d'apprécier la précision de ces m mesures^ Dès lors, pour 
juger de la précision d'une mesure isolée^ il suffira de prendre 1» 



METHODE DES MOINDRES CARRÉS. IQO 

moyenne des carrés des résidus, c'est-à-dire 

w5» I C» •* I 5» C» t • • • I *^5» I 

cl d'en extraire la racine carrée. L'erreur moyenne d'une mesure 
isolée sera donc 



y m 



Équations de condition de forme quelconque. — Méthode 

des moindres carrés. 

Il arrive souvent que la quantité à déterminer au moyen d'une 
série de mesures ne dépend pas de celles-ci par une relation aussi 
simple que x = n, et même, dans le cas le plus général, on aura 
plusieurs inconnues à déterminer à la fois, inconnues reliées aux 
quantités mesurées par une relation de la forme 

/(A,B,C,...,0 = N, 

l étant une variable indépendante, le temps par exemple, Â, B^ 
C, ... des constantes, indépendantes les unes des autres, qui entrent 
dans l'expression analytique delà loi, etN une quantité fournie par 
l'observation. Si l'on possède m mesures N, N', N*", . . . répondant 
à diverses valeurs tj t'^ /", ... de l'argument ^, on formera m équa- 
tions de la forme 

/(A,B,C,...,^')^N', 
/(A,B,C,...,^'') = N% 



Appliquons à ce système la règle précédente, c'est-à-dire cher- 
chons à déterminer les constantes inconnues A, B, C, . . . à l'aide 
de ces m équations {m étant bien supérieur au nombre desdites 
inconnues)) de manière que la somme des carrés des résidus, c'est- 
à-dire 

|/(A,B,C,...,0-N]*4-[/(A,B,C,...,^')-N'p4-..., 

soit un minimum. Pour cela il faut et il suffit que les dérivées de 
cette somme prises i** par rapport à A, 2" par rapport à B, 3° par 
^apporta C> etci) inconnues que nous avons supposées indépen* 



igô LIVRE TROISIÈME. — CHAPITRE X. 

dantcs les uues des autres, soient séparément nulles. Ces conditions 
du minimum nous fourniront autant d^équations finales entre Â, B, 
C, . . . et N, N', N", . . . qu'il y a d'inconnues, système qu'on résoudra 
par les méthodes habituelles de l'Algèbre. 



Équations de condition ramenées à la forme linéaire. 

Ces calculs seraient bien souvent inextricables ; heureusement 
les circonstances ordinaires de la pratique nous permettent de les 
simplifier considérablement. En cfiet, dans la pratique, on connaît 
toujours d'avance des valeurs plus ou moins approchées des in- 
connues A, B, C, . . . . Par exemple, dans l'Astronomie nautique, 
l'estime fournit des valeurs approchées des inconnues X et L. 
Désignons-les ici par A', B', C, . . . et par x, j*, ^, . . . les petites 
corrections dont ces valeurs provisoires ont besoin, en sorte qu'on 

ait 

A=:A'-i-^, BzziB'-hr, C — C'-\-z, .... 

Substituons ces valeurs dans l'équation générale et développons le 
premier membre, en négligeant les termes d'ordre supérieur au 
premier, c'est-à-dire les termes x^, j'^, 5^, . . • ou xj'yj'z, . . ., aiosi 
que les suivants, nous aurons 

/(A',B',C',...,0 + ^-^ + ^^4-^-+---N. 

équation linéaire en x, j', z, . , . qu'on écrira 

ajc -\- by -\- cz -h . . ,=: Hy 
en désignant par n la difl(ércnce immédiatement calculable 

N-/(V,B',C',...,0. 

Dès lors, il est bien facile d'appliquer, à la résolution des 
équations linéaires 

ajc -[-bv -\- cz -\-...z=zn, 
a'jc -r- b\r -i- c'z '^. . .- - n'y 



la condition de rendre minimum la somme des carrés des résid 



MÉTHODR DES MOINDRES CARRÉS. I97 

OU erreurs, c'est-à-dire 
(rtx-f- />j-HC5 -i-. . .— w)*4- {a'jr -h b'y-hc'z -h. . .— /i')*-h 

Réduisons les inconnues à trois pour fixer les idées et écrivons 
que la dérivée de la somme précédente, prise par rapport à x, est 
nulle; nous aurons Téquation finale en x 

2a{ax 4- 6/4- ex; — /i)-h 2a\a'x ■+- h' y-^ c'z — n')-h. . . = o. 

Supprimons le facteur 2 et désignons par [oa]j [oh], ... les 
sommes telles que 

ûfa -f- a'a' -h «"«^"4- . . . ou ab -h a'b' -^ oi''b'' -^ 

Cette équation prendra la forme 

[aa]x -h [ab]y -h [ac]z-=: [an]. 

En opérant de même pour jk et pour Zy nous aurons les deux der- 
nières équations finales 

[ab]x -h [bb]y -f- [bc]z — [bn]y 
[ac]x ~\-[bc]y -\-[cc]zz=z[cn]. 

Ces trois équations finales nous donneront pour x, y y z un système 
de valeurs jouissant de la propriété de rendre minimum la somme 
des carrés des résidus. Tout autre système de valeurs qu'on assigne- 
rait à Xy y y Zy AdJïs les m équations de condition, donnerait une 
plus grande somme pour les carrés des résidus. La règle est 
donc : 

Pour former l'équation en x^ ajouter toutes les équations de 
condition après avoir multiplié chacune d'elles par le coefficient 
de X dans cette équation, le signe y compris. Opérer de même 
pour les équations finales relatives kyelkz. 

On voit que cette prescription revient au fond à donner une 
g^rande prépondérance aux équations de condition où j? a les plus 
iorts coefficients, et de plus à changer tous les signes des équations 
où X diUïi coefiicient négatif. Ainsi, dans l'exemple suivant, 

3,0x4- i,4j = o,4, 

— 1 ,20:4- 3,07= 1,5, 

o, I jr 4- 2,oj'= 1 ,0, 



JQS livre troisième. — CHAPITRE X. 

si Ton tire , de la première , la valeur de j*, rerreur des mesures 
sera divisée par 3 ; elle le serait par un nombre trente fois plus 
petit dans la troisième. C'est donc comme si, dans la première équa- 
tion, X avait été obtenu par un nombre neuf cents fois plus grand 
d'observations directes (p. \\o\\). Par conséquent, il faut donner à 
la première une importance neuf cents fois plus grande qu'à la 
dernière. C'est ce qui a lieu quand, pour former réquatlon finale 
en Xy on fait la somme des équations ainsi transformées : 

9,00a' -H 4 >»>•-- i^'Xs 

1 ,44r-+- 3,6r = — I ,S. 
o,oi.r 4- o,2r ^=: 0,1, 



On faisait quelque chose de cela autrefois, avant Tintroduction 
de la méthode des moindres carrés due à Legendre, car, pour former 
Téquation en x^ on ajoutait ensemble les équations où x avait un 
fort coefTicient, après avoir changé de signe celles où ce cocfïicient 
de X était négatif, et Ton négligeait les équations dans lesquelles 
X avait un coefficient très faible. Mais la méthode des moindres 
carrés a l'avantage de donner à chaque équation, à chaque mesure 
par conséquent, l'influence qui lui revient réellement, de bannir 
tout arbitraire dans l'appréciation de l'importance de telle ou telle 
équation, et d'aboutir, en outre, au système des valeurs les plus 
probables pour les inconnues, ce qui sera pleinement démontré 
plus loin. 

Erreur moyenne des observations. 

Si nous portons les valeurs de x^v^ z, ainsi trouvées, dans les 
m équations primitives, nous aurons m résidus s, s', c", . . . tels que 
la somme de leurs carrés 



tt 



-\- t't' -\- i''i'^ -\- . . , ou bien [«] 



soit un minimum. Il est donc naturel de prendre, comme dans le ca« 
de la moyenne arithmétique, la moyenne de ces m carrés, c'est-à-dire 

- — ^pour la valeur movcnne des carrés des erreurs, ou ihi/i-^ 
//i ^ " V M 

pour l'erreur moyenne. 



erreurs 



ERREUR MOYENNE. tgg 

Cependant il est essentiel de remarquer ici que^ sinousnWions 
que trois équations de condition au lieu de m, en les résolvant 
nous obtiendrions un système de valeurs pour ar^j', z qui ne laisserait 
aucun résidu dans ces équations. Nous n'avons donc en réalité, mal- 
gré nos m résidus y que m — 3 données distinctes pour juger des 

; ±: i/ • — i donnerait une idée trop avantageuse du degré de 

précision des mesures. On est ainsi conduit à adopter m — 3 et non 
m pour dénominateur. D'après cela nous prendrons pour erreur 

moyenne d'une observation ±: \/ -^ — =^> i étant le nombre des in- 
connuesy et nous la désignerons en général par e« (* ). 



(*) Le motif allégué pourrait paraître peu concluant. Considérons donc la ques- 
tion de plus prés et supposons qu'il s'agisse de m équations à une inconnue telles 

que 

a: = /i, 

X " n'y 



r _ -1 

La Taieur conclue est ^r = - — -> En la portant dans les équations de condition, on 

a poor résidus 

i — i — n ou e, 
m 

— — — n ou f , 
m 



Si ces résidus étaient abso1\iment exacts, nous en conclurions e,, erreur moyenne 
d'une observation, par la relation 

mt;= [tt], 

et, par suite, nous aurions --1= pour Terreur moyenne de la valeur assignée à x. 

Mais - — - n'est que la valeur la plus probable dear; soit donc - — - -f- a la valeur vé- 
ritable; les m résidus exacts seront 

s —a, 

«'-a, 

I«a somme de leurs carrés sera 

[ct]--2a[c]-î-ma'= mt\. 
'Remarquez qu'ioi [ f ] =r o et que, a devant être de Tordre de grandeur de Terreur 



•2O0 LIVRE TROISIKVE. — CHAPITRE X. 

Erreur moyenne d'une fonction quelconque de quantités 

d'une précision donnée. 

Soit U = /(A, B, C, . • •) une fonction des quantités A, B, C, 
pour lesquelles les erreurs à craindre ou les erreurs moyennes 
soient respeclivement 

Lorsque A, B, G varieront de quantités de cet ordre-là, U variera 
lui-même d^une petite quantité u qu^il faut déterminer et que nous 
considérerons, sous certaines conditions, comme Terreur à craindre 
sur U. Or a, ^, y étant de très petites quantités dont on peut 
négliger les puissances supérieures et les produits dans le déve- 
loppement suivant, 

U±«=/(A,B,C,...)±^«±^P±^„ 
ou bien 

- — di^ -cm^'-dcJ' 

si nous formions des relations de ce genre pour toutes les valeurs 
qu'il est permis d'attribuer à a, ^, y, nous aurions les valeurs cor- 
respondantes de //. Par conséquent, nous obtiendrons la valeuT 
moyenne de // en prenant la racine carrée de la somme des carrés iA« 



moyenne <lc Xy nous pourrons, sans erreur sensible, le remplacer par -7==* 
relation précédente se réduira donc à 



fti] ~ m( — :k ) — mt\. 



<i*OII 



-/ 



liil 

m ■ I 



Par un raisonnement analogue on ferait voir que, dans le cas de f inconnue», «^^ 
doit écrire 

mais il faudrait s'appuyer sur les développements que nous donneronti plus loin -^ 



ERREUR MOYENNE. aoi 

toutes ses valeurs particulières divisée par leur nombre. Or, si nous 
laissons ces valeurs particulières sous la forme susdite, en faisant la 

somme des carrés tous les doubles produits tels que 2 -^ -1^ ap . . . 

disparaîtront, puisqu'à chaque valeur positive de a ou de ^ ou de y 
correspond une valeur négative de même ordre de grandeur (d'après 
le caractère même des erreurs accidentelles). On aura donc finale- 
ment, en prenant la racine carrée de la moyenne de cette somme 
de carrés, 

''=V(I)''-(i)>*-(i)>- 

puisque a*, p*, y^ sont considérés comme les moyennes des carrés 
de toutes les erreurs dont A, B, C sont susceptibles. 

Cela revient à différentier U par rapport à A, B, C, à remplacer 
dKy âflB, dC par a, p, y 6t à extraire la racine carrée de la somme 
des carrés de ces divers termes. 

Applications. — Nous avons trouvé y pour la moyenne de 
m mesures n, n\ n^, ... dune quantité x, 

[ni 

X =: - — -'i 

ni 

et y en désignant par e, e', ... les écarts des mesures indivi- 
duelles avec la moyenne^ nous avons vu que Verreur moyenne 
ïTune mesure est 

e, = 4/0L] ou plutôt ±i/HI. 
\ m ^ y m — i 

Quelle sera l'erreur à craindre sur la moyenne elle-même? 

Ici X est une fonction bien simple des mesures n, n\ n'\ . . . , 
car • 







n 




n' 




n" 


.r 


— 


m 


4- 


m 


4- 


m 



L'erreur moyenne de ces divers termes est ± — ; donc celle de x 



sera 



-vWïïI)Mâ)^=V'"(â)"=-ii- 



209. LIVRE TROISIÈME. — CHAPITRE X. 

Par exemple, Terreur moyenne à craindre sur la moyenne de 
cent mesures, effectuées à i' près, sera, non pas — > mais — > et, 

*^ "^ lOO lO 

pour réduire de moitié Terreur à craindre sur des mesures faites k 
la minute près, il faut prendre la moyenne de quatre mesures indé- 
. pendantes. En d'autres termes, la précision d'une moyenne n'est 
pas proportionnelle au nombre des mesures individuelles, mais 
seulement à la racine carrée de ce nombre. 

Seconde application. — Pour obtenir la sur/ace fTun rec- 
tangle y on en a mesuré les côtés a et 6, le premier avec une er- 
reur moyenne ± a, le second à ±^ près. Quelle est l'erreur à 
craindre sur la sur/ace conclue ah? 

On aura pour cette erreur 



±s/(boLy-h(a?)K 

De même Terreur à craindre sur une ligne ^mesurée en deux paris 
h et c, de sorte que a ^=b -{- c^ sera 

da^± S/(dby-h{dcy. 

en donnant aux différentielles da j db^ de le sens d'erreurs 
moyennes et le signe d» 

Enfin, si l'angle a est calculé par l'analogie des quatre sinus, 

sin a sin B =r sin 6 sin A, 

nous aurons, en différentiant cette expression après en avoir pris 
les logarithmes, 

da db dX dB 

H 1 -. ÏT> 



tanga tangZ» tangA tangB 

puis, en donnant aux différentielles la signification d'erreurs 
moyennes, 

^ . // db y / dX \* / àB ^' 

da ^ ± tang« ^ [^^^^) 4- [j^^^) H- [j^;^) • 



ERRRURS MOYENNES DES INCONNUES. ao3 

Erreur moyenne des solutions fournies par la méthode 

de Legendre. 

Soient, pour fixer les idées, m équations à deux inconnues 

a'.T H- b\y =:/i', 



I^s équations finales seront 

[aa]jr-\-[ab]x = [an]. 
[ablT^[bb]y=:[bn]. 

Pour avoir Terreur de ût en fonction des erreurs s, e', e'', . . - 
des données n, n\ n"^ . . .^ différentions x par rapport à ces quan- 
tités, conformément à la prescription du paragraphe précédent. 

Puisque 

^_ [an][bb]^[ab][bn] 

•^- [aa][bb]-^[aby ' 

nous aurons, en désignant pour un instant le dénominateur par D, 

Dda:= \[bb]a —[ab]b\dny 
-i-\[bb]a'—[ab]b'\dn', 
-h\[bb]a''—[ab]b'\dn''-\-.... 

Par suite, on aura, en faisant la somme des carrés de ces termes 
?ïii dny dn\ drfj ... et en remplaçant dn^^ dn'^^ dn/'^j . . . par 
our valeur moyenne ej, 

D^dx^ z=:\[bbY[aa] H- [aby[bb] — 2[bb][ab][ab]\t]. 

Si Ton réduit les termes semblables, et que Ton mette [bb] en 
^acteur commun, cette équation devient 

D^dx^ = [bb]Dt], d'où (ÏJF = i/E^£,. 

Or Y^ est la valeur qu'on obtiendrait pour j?. lui-même si dans les 
équations finales on remplaçait [fin] par i et [bn] par o. 



ao4 LIVRE TROISIÈME. -- CHAPITRB X. 

De même rerreur moyenne de y ou dy sera i / ^ n *> c'esl- 

à-dire e« multiplié par la racine carrée de la valeur qu'on dédui- 
rait pour y si dans les équations finales on remplaçait an par o et 
bn par i. Ces prescriptions sont dues à Gauss. 

S^il y avait trois inconnues, on aurait pareillement à résoudre les 
équations finales 

[aa]x 4- [ab]y -h [ac]z ~ [an], 
[ab]x -H [bb]y -h [bc]z = [bn], 
[ac]a: -H [ bc]y -h [cc]z = [en]. 

Les valeurs de x, y, z, • . . étant obtenues, on aurait leurs 
erreurs moyennes en remplaçant j?, y, z par x\ y y z' et en résol- 
vant trois fois les mêmes équations avec les seconds membres rem- 
placés successivement par 

I, o, o pour ^', o, I, o pourj'', o, o, i pour z'y 
et les erreurs moyennes de ar, j', z seraient €| \/V, ei \/p, tt yj^ • 

Application de la méthode des moindres carrés à un exemple. 

La longueur / du pendule simple qui bat la seconde est liée ai 
Taplatissement |x du globe terrestre par l'équation de Clairaut, 

/rn/'-l-d^ — [x)/'cos«X, 

où /' représente là longueur du pendule à Téquateur, q le ra^^- 
port^ delà force centrifuge à la pesanteur, toujours à Téquateu vr, 
et \ la colatitude. Voici diverses mesures de / effectuées en dive* 
points du globe par des navigateurs : 



o f moi 



Au Spitzberg lo.io 996,13 

Saint-Pétersbourg .... 3o. 3 994 >97 

New-York 49.17 993,a4 

La Jamaïque 7a. 4 9919^6 

Ile Saint-Thomas ... . 89.35 99i»i9 

Rio-de-Janeiro ii2.5> 99'» 77 

Montevideo 124.54 99^97^ 

Cap Horn i45.5i 99(>6a 

New-Shetland i5r3i.50 99^,^3 



APPLICATION DE LA METHODE. ioS 

Posons, pour abréger, 
nous aurons, pour déterminer j: cl^', les équations 



m 



5,181=10:4-0,969/, 
3,97 ~X-f- 0,749 V, 

2 , îî4 =■ -ar 4- 0, 4^6/, 

0,56-::: X -+- 0,096/, 
0,19— X, 

0,77 = 0:4-0,1527, 
1,70=0? 4- 0,327 V, 

3 , 62 11:- j? -h , 685/, 
4,23 = x 4- 0,793/. 

La première équation finale (relative k x) s'obtient simplement 
en faisant la somme de ces équations : 

(I) 22, 4i =9074-4,196/- 

Pour avoir Téquation relative à/, multipliez chacune des équa- 
tions proposées par le coeflicient correspondant de^ ; 



m 



4,97 = 


0,969074-0,938/, 


2,97- 


0,7490? 4- o,56i/. 


0,95 = 


0,4260:4- 0, 181/, 


o,o5 — 


o,095.r-+- 0,009/, 








0,12 - 


:0,l520? -+-0,023/, 


o,56 — 


0,327074- 0, 107/, 


2,48 = 


: o,685o: -+- 0,469/, 


3,35 = 


0,7930? 4 0,629/. 



Leur somme fournit Féquation 

(2) i5,45 = 4,i96'37 4-2,9i7/. 

La résolution des équations (i) et (2) donne 

0=0""*, 066, 
v = 5"*"',2o; 



ao6 LIVRE TROISIÈME. — CHAPITRE X. 

par conséquent, la longueur du pendule est 

A réquatcur 991""", 066, 

Aux pôles 996"", a66. 

Remarquez que^ est une fonction de raplalîsscinenl {jl; con- 
naissant actuellement ^>', nous en pourrons déduire |jl par la rela- 
tion 

elle donne 

Il — 1 

Il nous reste à déterminer Terreur à craindre sur chaque résuU 
lat. Pour cela, il faut chercher d^abord l'erreur movenne de ces 
mesures de /. En portant dans les équations de condition les 
valeurs de x et de^, nous aurons les résidus £, e', e", ... : 



Nombres 


Nombre» 


Cale 


. — obf. 


Carrés, 


obferYé». 


calculéi. 


ou valenr» de s. 


c'etl-à-dire (C. 


5,l3 


'5,11 


- - 


0,01 


0,0004 


3,97 


3,96 


- - 


0,01 


0,0001 


a,a4 


1 , 28 


■ ! 


0,04 


0,0016 


o,56 


o,56 










0,19 


0,07 


- - 


0,12 


0,0144 


o>77 


0,86 . 





0,09 


u,oo8i 


1,70 


ï,77 


-î- 


0,07 


o,oo4cj 


3,61 


3,63 


... 


0,01 


0,0001 


4,a3 


4,19 


"■ 


o.oj 


0,0016 




0,027a 



La somme [ee] = 0,027a; par conséquent Terreur moyen 
d'une de ces mesures sera 



7 0,0272 L. ^«»» ^A- 



puisque 9 est le nombre des équations et 2 celui des inconnues. 
Quant a Terreur à craindre sur les nombres trouvés pour jr et 
nous résoudrons les dcu\ s\ sternes: 

9,ooox'-i-4,i96/--' ) V < f ï 

• d ou .r :=. i 

4,i96.r'H-2,9î7v'=^o ) 2,96 

9,ooox'-T-4,i9^/— o ) r. , « 

; d ou y -— • 

4, iqCj:' -h 2,917/1=1 ) 0,96 



APPLICATION DE LA MKTIIODE. 207 

Par suite, l'erreur à craindre sur jt, ou £| y\?, sera 

va, 96 
cl sur y 

Sjv//^ ± J— ^ = =^ o-"'«,o68. 
^^0,96 

Il est très intéressant de savoir avec quelle précision l'aplatisse- 
ment jjl est déterminé par ces anciennes mesures du pendule en 
divers lieux de la Terre. La relation 

(|-ïiï-l^)(99i"""-+-^-) = v 

donne, en différentiant par rapport à [x, x, ^, mais en remar- 
quant que dJ: peut être négligé à cause du très petit facteur qui le 
multiplie, 

()uL 1= =h -i— = dt 0,000068. 
99' 

Cela revient à dire que Tincertitude du dénominateur de —y, va- 
leur trouvée pour [jl, est de dz 6 unités. 



2o8 LIVRE TROISIÈME. — CHAPITRE XI. 



CHAPITRE XL 



OBSERVATIONS D'INÉGALE PRÉCISION. 



Voici un cas où le simple bon sens indique immédiatement ce 
(|u*il y a à faire. La colatitude d'une station a été déterminée à 
deux époques différentes, la première fois par une série de m ob- 
servations, la seconde fois par une série de m' mesures de même 
précision. On a trouvé les valeurs X et V. Comment doit-on combi- 
ner ces résultats, qui ne sauraient avoir même probabilité puisqae 
m est différent de m'? 

Si nous avions sous les yeux les observations primitives, elles se 
présenteraient sous la forme 



Première série. 


Seconde série 


X = n 


X = N 


X - n' 


À - N' 


X = // 


X = N' 



Moyenne : A = — - Moyenne : X = i^-y- 



m " m 



11 n\ aurait qu'à prendre la moyenne générale, c'est-à-dire 

[/0 + [^] 

m -+- m' 

Remplaçons, dans cette expression, [/i] par mX et [N] par m'V, 

elle deviendra 

//iX -h m'V 

m -H m' 

X -4- X' 

11 ne faudra donc pas prendre la simple moyenne de /.cl 

de )/, mais bien ce qu'on pourrait appeler leur centre de gravité 



OBSERVATIONS D INÉGALE PRÉCISION. 20ij 

en leur supposant des poids proportionnels aux nombres d'obser- 
vations m et m' (*). 

Plus généralement, pour combiner un certain nombre de résul- 
tais X, V, X"^, . .. dont les poids respectifs seraient />,y9',/>",. .. ,il faut 
multiplier chacun d'eux par son poids et diviser la somme de ces 
produits par la somme des poids. Nous écrirons donc 

/>X -+-/>' X'-f- />" À" .. . \P'^\ 

'. 1 1 ^y^l !:f d , 

p-^p'-hp'... [p\ 

Le poids de ce résultat sera évidemment [/>]. 

Dans Texemple précédent, nous avons obtenu immédiatement 
les poids des valeurs "k, V, V\ • . . , parce que nous supposions 
connus les nombres d'observations supposées elles-mêmes d'égale 
précision. Il arrive souvent que ces nombres ne sont pas donnés; 
on n'a que les erreurs moyennes assignées par les observateurs à 
leurs résultats X, )/, A", .... Désignons ces erreurs moyennes par 
Cy e\ e!' y ..., puis imaginons que le résultat \ provienne de la 
moyenne de p observations affectées de l'erreur moyenne E, que 
X' résulte pareillement de />' mesures de même précision, et ainsi 
de suite. Il suffira que les nombres />, />', />", . . . satisfassent aux 
relations 

(l) e=:--r:> e =i -= > e in: — =r » 



' .^n 



sjp sfp' \P 

E étant une quantité arbitraire, pour ramener la question au ca<( 
précédent, et être autorisé à écrire 

1 1 ! on LL :? , 

/>-i-/>'H-y-h... [p\ 

Le poids du résultat sera p -\- p' -^ p" -{- ... ou [/>], et son erreur 

E K 

moyenne sera . =: ou 



s/p-hp'-hp"^... \/[p] 
Ainsi, les poids à attribuer aux valeurs X, V, , ,, n'étant assujet- 
tis qu'à être inversement proportionnels aux carrés de leurs erreurs 



(') C'est en effet par une formule de ce genre qu'on calcule le centre de gravite 
d'une droite dont les extrémités^ situées aux distances X et X' d'un point pris pour 
origine, seraient chargées des poids m et m'. 

• 4 



ilO LIVRK TROISIEME. — CHAPITRE Xi. 

moyennes, on dispose entièrement de l'arbitraire E. Celle-ci sera 
Terreur moyenne d'une de ces p -f- //-{-//,,, observations fictives; 
mais, comme les relations (i) doivent toujours être satisfaites, 
E sera d'autant plus grand qu'on aura pris des nombres plus grands 
pour ces poids. Cette arbitraire E porte le nom tïerreur moyenne 
de l^ observation fictive ayant pour poids l'unité, ou, plus briève- 
ment, Verreur moyenne de U unité de poids. Voici un exemple 
numérique. 

On a à combiner les résultats partiels d'inégale précision 

Erreur mof enne . 

/ 4^>9*4^ ■-■- '•*»*> 

À' |0.<j.4^ lii I ,.<) 

y^" 40.9-47 — «ï^ 

Si l'on prend 

p~-jy /^ = - ' P — ^ ' 

'4 ' o.2a 

l'erreur moyenne E de l'unité de poids sera de i". Pour éviter les 
fractions, multiplions tous ces poids par 4» nous aurons 

et alors E = y/4 = îî". Ainsi \ sera censé résulter d'une seule ob- 
servation aflcctée d'une erreur moyenne de a"; )/ résulterait de 
(|uatre observations pareilles et )/'de seize. On fera le calcul de la 
manière suivante, en ne tenant compte que des secondes : 



« m 



4^x1 j j 

4Hx4 iy>. 

47 X i6 . . . . 75-2 

Somme . . 989 

'-^ — -. ^^4? >Ï7 i*>ec 1 erreur movenue -^=. = liio ,ii, el w 

I -h :» -h 16 ^' ' ' " .2, '^^' 

colatitude conclue sera 

A ::^4l"y 47 , 1 J_ O , \\. 

Quand il s*ugit d'équations linéaires de la forme* 

a V -r- ùv -h cz =: n, 
a X ->r W y ^ c' z :^ n\ 



OBSERVATIONS d'iNKGALE PRÉCISION. !lll 

Cl si l'on connaît les erreurs moyennes e, e\ ... des mesures 
/i, /*', . . ., on formera les poids relatifs à ces équations par 

E* , _ E« 

P — '^' /> — ^, ..., 

c'est-à-dire en prenant des nombres inversement proportionnels 
aux carrés de ces erreurs moyennes. Dès lors, la première équation 
pourra être considérée comme provenant de la moyenne de/? équa- 
tions avant même premier membre, mais dont les seconds membres 
seraient fournis par/? mesures affectées de Terreur moyenne E. 
De même, la deuxième résulterait de // mesures affectées de la 
même eiTCur moyenne E, et ainsi de suite. Nous rentrons ainsi 
dans le cas des observations d'égale précision et la somme des car- 
rés des erreurs qu'il faut rendre miniiiiuni sera 

en désignant ici, comme d'ordinaire, par &, s', . . . les résidus de^ 
équations de condition. 

Pour cela il suffira de multiplier l'équation 

aa.v -r- aOy -h acz :=: an, 

par //, l'équation 

a (i ju -r a y -i- a c =: a n 

par/;', etc., et d'en faire la somme. Les équations finales seront 
donc 

[aap].v -f- [abp\v 4- [avp\z -. [anp\, 

[abp^.v -f- [bbp^y ^ {^^P\^ — [^'^PV 
[acp].v -h [bcp]y -r [ccp^z — [cnp\. 

Les valeurs des inconnues se déduisent de ces trois équations 
finales. Quant aux erreurs moyennes, si l'on résout de nouveau les 
équations finales après avoir accentué les lettres j',r, z et rem- 
placé les seconds membres par i , o, o, on aura 

Erreur moyenne de j:^* = E y/x'. 

On opérera de même pour^v et z, 

IjC plus souvent on ne connaît pas d'a\ance avec une exactitude 



21% LIVRE TROISIÈME. — CHAPITRE XI. 

suffisante les erreurs moyennes dont les n mesures sont affectées. 
C'est de sentiment qu'on évalue les poids en prenant des nombres 
simples i, 'j, 3, . . .. Dans ce cas. Terreur moyenne de Tunîté de 
poids doit être déterminée a posteriori. On portera donc les va- 
leurs obtenues pour les inconnue^ dans les équations primitives, 
on formera les carrés des résidus, on multipliera ces carrés par 
leurs poids respectifs, et on aura 



Krreur moyenne de Tunilé de poids E :— ±: i/ '•^" ', . 

Supposons, par exemple, qu'il s*agisse de traiter par la méthode 
des moindres carrés les observations d'une comète recueillies dans 
divers observatoires; qu'à Paris les observations aient été faites 
avec un équatorial de o", '2/\ ; que dans un observatoire privé 
on ait employé une petite lunette non parallac tique avec un micro- 
mètre annulaire dont les résultats comportent, en général, des er- 
reurs beaucoup plus considérables ; enfin qu'une troisième partie 
des observations ait été faite à Poulkowa avec un objectif de 
o"*,38 et par une méthode de triangulation (avec de petites 
étoiles) qui jouit d'une extrême précision. Ici l'attribution des poids 
devient assez délicate. Le calculateur choisit ordinairement des 
nombres simples, de manière à donner une prépondérance suflGsante 
aux observations réputées les plus précises. Sans doute on réduirait 
l'arbitraire en recommençant le calcul avec de nouveaux poids dé- 
duits des écarts constatés, dans la première solution, entre la théorie 
et l'observation, mais il ne faut pas oublier que ces écarts eux- 
mêmes n'expriment pas toujours les véritables erreurs de l'ob- 
servation quand on n'opère que sur un nombre très limité de 
données pour déterminer plusieurs inconnues. On peut craindre 
d'ailleurs que la théorie ne soit pas capable de représenter les 
phénomènes dans les plus petits détails. Le calculateur est donc 
tenu à beaucoup de prudence, car, en certains cas, le seul 
changement des poids fera varier sensiblement les résultats, et une 
idée préconçue sur la solution à obtenir pourrait aisément exercer 
quelque influence par l'intermédiaire de ce choix. 



OBSERVATIONS d'iNKGALE PRÉCISION. 



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•>.li LIVRE TROISIBMK. — Cil \PITRF: \II. 



CHAPITRE XII. 



APPLIC\TION DU CALCUL DES PROBABHJTKS A LV TUKOWE 

DKS RRREURS. 



La théorie des erreurs forliiilcs d'observation ou de mesure rentre 
évidemment dans celle desprobabilites.il nous suffira de rappeler 
ici la définition de la probabilité mathémaèique d'un événement et 
le théorème de Moivre sur les probabilités composées. 

Définition. — La probabilité d'un évémemeni est le rapport 
du nombre des chances fav^orables à cet événement nu nombre 
total des chances favorables ou défavorables. 

Si une urne contient loo boules blanches et 5oo boules noires, 
la probabilité de tirer de cette urne une boule blanche sera 



100 h_ 

«00 — «• 



Si Ton jette un dé ayant six faces numérotées de i à 6, la proba- 
bilité d'amener un de ces numéros, a par exemple, sera j. 

D'après celte définition, une probabilité exprimée en nombres 
est toujours une fraction; l'unité représente la certitude. 

Théorème. — La probabilité de la production simultanée de 
plusieurs événements indépendants les uns des autres est le 
produit des probabilités relatives à chacun de ces événements 
pris à part, 

Par exemple, si Ton joue avec deux dés, la probabilité d'amenff 
sonnez, cVst-à-dire les deux 6, sera J x ^ = ^. Si Ton a trois urne» 
contenant l'une a5 boules noires pour ^5 boules blanches, la 
deuxième 5o boules noires et 5o boules blanches , la troisième 
y 5 boules noires et a5 blanches, la probabilité de tirer trois boule» 
noires en puisant une fois dans chaque urne sera 

' *- "^ **^- "^ -"* ftil ï "S^ ï >w 1 — - _î. 



APPLICATION DU CALCUL DES PROBABILITÉS. Î>.l5 

Un caractère constamment remarqué dans les erreurs acciden- 
telles commises dans une série de mesures quelconques , c'est que 
les petites erreurs sont les plus nombreuses ; les autres le sont 
d'autant moins qu'elles sont plus fortes. Il pourrait donc exister 
une relation assignable en nombres entre la grandeur de ces erreurs 
fortuites et leur probabilité. 



Recherche de cette loi. 

Les théoriciens ont cherché à l'établir a priori au moyen d'une 
hypothèse sur l'essence des erreurs accidentelles. Supposons, ont- 
ils dity qu'il n'y ait pas de distinction essentielle à faire entre 
celles-là et les systématiques , et que les premières soient dues à 
des causes constantes, comme les secondes, mais en très grand 
nombre. Admettons, de plus, que chaque cause produise des 
erreurs ne pouvant dépasser une très petite quantité a, toujours la 
même, et affectant indifféremment les deux sens positif et négatif. 
Cette hypothèse nous replace dans le cas très particulier que nous 
avons considéré, page 66, dans l'emploi des tables de logarithmes. 
Admettons, enfin, que les erreurs accidentelles observées résul- 
tent de toutes les combinaisons possibles d'un nombre très grand 
m de ces petites erreurs élémentaires. Le Calcul des probabilités 
montre que ces combinaisons seront exprimées par les coefficients 
du binôme (i -f- ^)'", et une analyse fort simple établit que la dif- 
férence entre deux coefficients successifs devient, en passant à la 
limite où m = oo , la dérivée de la loi de probabilité des erreurs 
qu'une simple intégration fera dès lors connaître. Nous nous bor- 
nerons à signaler cette conception a prioriy pour passer à des con- 
sidérations moins hypothétiques. 

S'il existe une loi de probabilité des erreurs telles que j?, expri- 
mons-la provisoirement par /(a:), et cherchons d'abord les caractères 
immédiatement saisissables d'une telle fonction. D'abord, comme 
les valeurs positives de x ont même probabilité que les valeurs 
négatives, f{x) devra être indépendant du signe de x. 11 devra 
s'annuler pour toute valeur de x dépassant les limites ± A*, k étant 
l'erreur maximum qu'on puisse commettre dans le genre d'obser- 
vation considéré. De plus, si nous introduisons ici Tidée de con- 



;3(iG LIVRE TROISIÈME. — CHAPITRE Xfl. 

tinuité imposée par la représentation de la loi au moyen de la forme 
f{x)y Terreur x devra pouvoirpasscr par tous lesétats de grandeur 
entre — k et -h A*. 11 y a donc une infinité d'erreurs possibles. 
Lorsque, sur un nombre m d'observations, on constate qu'il y a 
p erreurs comprises entre x eix '\- Ajt, on est conduit à évaluer la 

probabilité de ces erreurs parla fraction—* Il en résulte qu'en ap- 
pliquant ici notre loi /{x), on de\Ta avoir, quel que soit /?/, 

en sorte que la probabilité d'une erreur absolument déterminée j* 
est la quantité infinitésimale /{x) dx. Mais en même temps, si Ton 
étend l'intégrale précédente à toute l'échelle des erreurs, de — k k 
H- A', cette probabilité sera la certitude exprimée par l'unité, en 
sorte que l'on doit avoir 



C 



A 
f{x)d.rrrz I. 



Ces caractères de la fonction étanl reconnus, appuyons-nous, 
pour achever de la déterminer, sur quelque chose d'universelle- 
ment admis. Dans le cas simple de mesures répétées d'une même 
grandeur, tout le monde s'accorde à considérer la moyenne arith- 
métique comme la valeur la plus probable de Tinconnue, et les 
écarts des mesures isolées, comparées à la moyenne, comme don- 
nant à très peu près les erreurs de ces mesures. La somme de 
celles-ci est nulle, cVst-à-dire 



(l) s -H S'-I- £ -h. . . =0. 

D'autre part, si f{^)dt est la probabilité de l'erreur e, f{t')di 
celle de l'erreur e', . . . , la probabilité de l'apparition simultanée 
de ces m erreurs sera, par le théorème de Moivre, 

F^ourqueles valeurs des inconnues qui répondent à cet ensemble 
d'écarts soient les plus probables, il faut que cette probabilité ^^'' 
un maximum, c'fst-à-dire que sa dérivée soit nulle. Prenons-"'* 



APPLICATION Dr OALriL DRS PROBABILITÉS. ai7 

logstrithmiquement, il \iendra 

Les deux conditions (i) et (a) devant être identiques, à un 
facteur constant près 'Jia, nous écrirons, en substituant le symbole 
général xà e, s' 

ce qui détermine la forme de la fonction. En elTel, en intégrant, il 
vient 

.(^C étant la constante, d'où 

f{.r) — Ç.e'^'\ ^ 

% doit être négatif, car il s'agit ici d*un maximum ; autrement dit, 
f{x) doit aller en diminuant à mesure que x croît et se rapproche 
de la limite A'. Nous le remplacerons par — h^. D'autre part, on 
déterminera C par la condition 



f 



k 



Comme, à partir d'une valeur un peu notable de .r jusqu'à l'infini, 
cette intégrale est presque nulle, nous pourrons, sans erreur sen- 
sible, poser 



/ 



Ce '''''dj' — i. 



ce qui donne C = -p- On a donc finalement 

V- 

Mais cette manière de procéder a l'inconvénient de ne rien 
ajouter aux analogies qui nous ont conduit à la méthode des 
moindres carrés. Il est bien préférable de considérer les choses 
d'un nouveau point de vue. Nous allons appliquer ici une seconde 
fois la méthode expérimentale, c'est-à-dire chercher, par expé- 



t%r8 MVRE TROISIÈME. — CHAPITRE XII. 

rience, si vraiment il existe une relation constante enln» la pro- 
babilité d'une erreur et la grandeur de cette erreur; puis, opérant 
sur des mesures réellement faites, sur des écarts dûment constatés, 
nous tacherons de découvrir graphiquement cette loi. 

Recherche empirique de la loi de probabilité des erreurs 

fortuites. 



Prenons, en premier lieu, des observations astronomiques. Pour 
déterminer la position du point vernal, origine des ascensioDs 
droites, Bradley a observé 4?^ 'ois, à la lunette méridienne de 
l'Observatoire de Greenwich, la différence d'iR entre le Soleil et une 
certaine étoile. Bessel a réduit avec beaucoup de soin ces 470 obser- 
vations, dont La moyenne donne la position du point vernal d^une 
manière très exacte. En comparant cette moyenne avec chaque 
observation, on obtient 470 écarts, qui représentent à très peu près 
les erreurs réellement commises. On a obtenu ainsi, pour Perreur 

moyenne e, = ±^/ -^—- > la valeur ± o*,39. C'est l'erreur à 

craindre sur une mesure isolée. Quant à l'erreur à craindre sur la 
moyenne, elle se réduit, comme nous l'avons vu, à 

. o*. 3q 
±: -^=^ — o»,oi-. 

V co 

On voit donc que cette moyenne est à très peu près l'expression 
de la vérité ; par suite, les 470 écarts ci-dessus mentionnés repré- 
sentent de très près les erreurs réellement commises. 

Or, en examinant le Tableau de ces 47^ erreurs, on trouve, 
quant aux signes, qu'elles sont indifféremment et en pareil nombre 
positives ou négatives; quant à la grandeur, on trouve que : 

Knlre 0,0 et 0,1 il y a 9} erreurs, tant positives que négatives. 





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IPPLICATION Dr C\LCUL DES PRO RA R IMTRS. î>.l() 

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Entre 0,7 et 0.8 il y a I4 erreurs, tant positives que négatives. 

)> 0,8 » OfO » 10 » » 

» o , 9 » I , o >» 7 >» >» 

Au-<lessus (le 1,0 >» 8 » » 

Ainsi, à en juger par celle série, la probabilité qu'une erreur 
soit comprise entre o'^el 0% i, cVst-à-dire le rapport 

nombre des erreurs de cet ordre 
nombre total des erreurs ' 

est ~^, tandis que la probabilité des erreurs plus fortes, c'est- 
à-dire jYb, ~,j, . . ., va en décroissant. 

Évidemment ces fractions ou ces probabilités suivent une cerlaine 
loi : cherchons-la empiriquement à l'aide d'une construction gra- 
phique. 

Si l'on choisit un système d'axes des x et des j^, et que l'on porte 
les erreurs sur l'axe des a?, on ne saurait porter les probabilités 
correspondantes sur l'axe des y y car la probabilité d'une erreur x 
déterminée, c'est-à-dire comprise entre x et x + rfx, doit être 
infiniment petite ; elle n'est finie que si les limites de l'erreur dif- 
fèrent elles-mêmes d'une quantité finie. On est donc conduit à 
chercher graphiquement une courbe ^==/(x) telle que les proba- 
bilités ci-dessus soient représentées par les aires comprises entre 
les couples d'ordonnées qui répondent aux abscisses o* et 0% i , 0% 1 
et G*, 2, ... . Comme il y a autant d'erreurs négatives que d'erreurs 
positives, celte courbe devra être symétrique de part et d'autre de 
l'axe des^ ; en second lieu, entre les ordonnées relatives kx = o et 
X = -f-o% I, l'aire devra être la même qu'entre les ordonnées de 
X = o et a: = — 0% I, c'est-à-dire ~ ou 47- On obtiendra celte 
courbe en divisant l'axe des x en parties proportionnelles à 0% i , 
o*, 2, 0% 3, • . • et en construisant sur les intervalles de o* à 0% i , de 
o', I à o', 2,... des rectangles proportionnels aux nombres 47> 
44» • • • 9 puis en traçant un trait continu qui laisse, en dedans, de 
petites aires triangulaires équivalentes à celles qu'il laissera en 
dehors. 

La courbe suivante, dont nous ne donnons que la moitié située 
du côté des x positifs, représentera, par ses aires, la loi de proba- 
bilité des erreurs comptées sur les abscisses. 



9.10 



LIVRE TROISIEME. — CHAPITRE XII. 



Elle se rapproche évldcmmenl du genre de celles qui ont pour 
équation v = nr~^*^\ a ci h étant des paramètres à déterminer. Si 

Fig. 70. 




Ô ë^ as 0,3 a^ o,J o.S a 7 



"S/ 



K 



en effet on les détermine par deux de ces points, on verra que la 
courbe y = 47>365r~' *'^***^''' passe à peu près par tous les 
autres. 

La seule différence appréciable consiste en ce que la courbe 
représentée par cette équation devrait atteindre Taxe des x, comme 
le fait la courbe que nous venons de tracer, en deux [>oints symétri- 
ques par rapport à Toriglne o, dont les abscisses x= ± A' repré- 
senteraient les erreurs limites, impossibles à commettre dans ce 
genre d'observations. Au lieu de cela, la courbe 

rm 47,365e-' »."«*)''' 

est en réalité asymptote à Taxe des jr. Mais les lignes de cet ordre 
s'approchent si rapidement de Taxe des x, qu*au delà de Tabscisse 
± A" leur aire devient entièrement négligeable, comme on le verra 
plus tard. 

Nous regarderons donc comme empiriquement établi avec toute 
Texactitude désirable que, pour le genre d'observations ici con- 
sidéré, la probabilité P d'une erreur comprise entre les limites 
finies j^ et j* -I- A.r, ou, en d'autres termes, le rapport 

aire de la courbe comprise entre h*s ordonnées correspondaDtes 

aire totale de la courbe 



aura pour expression 



P- 



/_;■ 



ae'^'^'d.r 



ae-'''-^VAr 



APPLICATION DU CALCUL DES PROBABILITES. A.W 

car, d'après ce qui a été dit tout à Theure, il est permis de rcm- 
placer^ sans erreur sensible, 



/ (le ^''-^^ffj: par 1 ae^^^^'d.v. 



Or, on sait que Tinté^^rale définie 



/ 






donc on a finalement 









et la probabilité infiniment petite de Terreur déterminée./- (c'est-à- 
dire comprise entre x et ^ -r- d.r) sera 

/' / » .' # 

Telle est, d'après les excellentes observations de Bradley, la loi 
de probabilité des erreurs purement accidentelles , c'est-à-dire 
dégagées de toute erreur s}'stématique. Et nous sommes ici en 
droit de considérer les choses ainsi, car, dans le système d'obser- 
vation de Bradley, les erreurs systématiques dues à Tinstrument 
étant sensiblement les mêmes pour Tétoile et pour le Soleil, ces 
erreurs disparaissent de la différence conclue des^ft. 

Mais il faut voir encore si, dans un genre de mesure tout dif- 
férent, nous retrouverons la même loi de probabilité des erreurs 
accidentelles. 

Le général Didion donne, dans son Traité des probabilités 
appliquées au tir, la série suivante d'épreuves faites avec un pistolet 
de cavalerie. Ce sont les écarts des balles tirées sur une cible où 
nous supposerons tracée une ligne verticale. Ces écarts sont donc 
mesurés dans le sens horizontal. L'arme employée n'ayant pas de 
déviation constante et les coups ayant été tirés avec le même soin, 
ces écarts, soit à droite, soit à gauche de la cible, doivent être 
considérés comme des erreurs accidentelles. En voici le Ta- 
bleau : 



222 



LIVRE TROISIEME. — CHAPITRE XII. 



-T- J'' 


-T-IO« 


-f- 5« 


-3i^ 


8* 


...,4c 


— 8* 


«' 


-23' 


5 


i3 


-f-29 


-^25 


-f-22 


—^7 


- 36 


3 


- 20 


-29 


-r-'J>9. 


-40 





— 15 


— 13 


- 8 


3i 


-- 9 


^ 


--2{ 


~ ' / 




— 10 


-^28 


- - 2 


-12 


-«y 


- 4 


- I 


i3 


—27 


- ■ 2 


-T-28 


- »7 




-36 


— 1 1 


; 18 





-17 


23 




- - 2 


23 


— 2 


-; 6 


— 3 


4 


-^10 


- - 4 


- 28 


-- 2 


-37 


- lO 


6 


- 3 


— 3 


2 


14 





'9 


18 


II 


—^4 


-2'î 


^7 


- II 


- 12 


- 21 


9 


1 


- «7 


— 17 




- 'JIO 


-12 


16 


- 1 


2 


u 


8 



En faisant la somme des carrés des écarts, divisant par 90 — 1 et 
extrayant la racine carrée, on trouve Terreur moyenne d'un coup 
ti = ± 18*"", 3. Il y a d'ailleurs quarante-deux eneurs positives, 
(|uaranle-trois négatives et cinq erreurs nulles , iiidilTércmment 
positives ou négatives. Si Ton range ces écarts par ordre de grandeur, 
sans faire acception des signes, on trouve: 



Kntie 


0*= 


et 


5* 

■-/ • • • • 


•^i 


écarts 


positifs 


uu 


négatifs. 


)t 


j 


» 


] 


20 




» 




ti 


)» 


10 


» 


i5 


18 




» 




»> 


»> 


i5 


» 


21 


1 1 




» 




)• 


» 


21 


>» 


26 


10 




it 




>» 


» 


26 


» 


3i 


8 




» 




>i 


>» 


3i 


» 


38 


* 




>» 




tt 


» 


38 


» 


45 


3 




» 




» 


El au- 


-delà 


de 


3u • • • • 


1 




» 




>t 



En traçant une courbe dontles abscisses seront o, 5, 10, 1 5, ... cl 



Fig. 71. 




telle que les aires comprises entre les ordonnées correspondantes 

!»oient proportionnelles aux nombres 12, 10,9, 5 j, 5,4» '^\f *i>r*'** 
obtient lu /ig, - 1 . 



APPLICATION Dt CALCUL DES PROBABILITÉS. 223 

Cette courbe est représentée de très près parl^é(iuatioii 

Elle est donc de même espèce que la précédente. 

On trouvera le même résultat dans tous les genres de mesures 
ou d'observations, pourvu qu'elles ne soient pas ailectées d'erreurs 
systématiques. La Statistique en fournit de nombreux exemples. 
C'est ainsi que les anomalies accidentelles de la taille humaine 
suivent la même loi de probabilité ; on s'en est assuré aux Etats- 
Unis, à l'occasion de la guerre de sécession, en examinant les 
documents statistiques qu'on v a recueillis sur la taille des con- 
tingents militaires. En voici le Tableau : 

Sur loooo hommes. 

Taille. Nombre réel. formule. 

|M> 

6l ]o5 lOO 

6'2 169 171 

63 369 368 

64 686 675 

65 1044 »o5i 

66 1391 1399 

67 i584 i584 

68 1607 i53i 

69 1218 1260 

70 8)2 884 

71 467 ^3i 

7'^ •j'v; -^67 

73 139 f 18 

7i *P <>« 



• ••• •••• 



La taille moyenne, 67***", a4, semble être le type que la nature 
cherche à réaliser dans cette région, mais qu'elle n'atteint qu'avec 
des écarts attribuables à des causes multiples et purement acciden- 
telles (B.-A. Gould). 

Nous considérerons donc l'intégrale 






comme représentant très sensiblement la probabilité d\iiie erreur 



224 LIVRU TROISIÈME. -CIIAPITKB \ll. 

accidenlelle comprise entre — x et -h j: dans tout système de mesure 
oud^observation dont le degré de précision sera défini par le para- 
mètre h. 

Signification du paramètre h. 

Nous allons voir, en effet, que tel est le sens de cette constante. 
La probabilité de Terreur x étant 

nombre des erreurs égales '<\ x h ^, , , 

î- zn e~"^^ dx 

nombre total des erreurs i^"^ ' 

multiplions les deux membres par x^; nous aurons 

somme des carrés des erreurs étçales k x h . i, . , 
_ j—j s — ___x*e-A«j-^j.. 

nombre total des erreurs . ^ 

En intégrant de — oo à H- oo , il viendra 

Moyenne des carrés de toutes les erreurs ^—^\ x^e ^'■'Vx. 



V7:c'_ 



Cette moyenne est ce que nous avons déjà désigné par jJ. 
Quant à l'intégrale qui donne la valeur de e J en fonction de A, nous 
Tobtiendrons aisément en diflerentiant par rapport à h une aulre 
intégrale définie déjà employée, à savoir 



/ 






On a ainsi 



-L •■ 



ihx^e f^'^'dxdh ■-:- V^dh. 



Par conséquent. 



Ainsi, £| donnant une idée nette de Texactitudc d^un système de 
mesures, il en sera de même de son inverse h. On devra considérer 
ce paramètre comme une grandeur proportionnelle au degré de 
précision. Quant à S| il est aisé de voir que c'est Tabscisse du 
point d'inflexion de la courbe de probabilité. 



APPLICATION DU CALCUL DES PROBABILITÉS. 1^5 

Erreur probable. 

Pour tirer parti de cette théorie, il faut savoir calculer les aires 
de la courbe de probabilité, c'est-à-dire les valeurs de Tintégralo 
définie 






'^'''dx. 



Réduisons Texponentielle en série, 41 étant un logarithme né- 
périen : 



X* 



(e-A«)^«:^.,+(i^^-/'«)l-- 



En multipliant par--=t/j? et intégrant, 

Nous sommes donc en état de calculer la probabilité P qu'une 
erreur soit comprise entre — x cl -^ x, x étant une quantité 
donnée. Renversons le problème et demandons-nous entre quelles 
limites — t, et -h tj une erreur doit être comprise pour que sa pro- 
babilité Psoit-. Nous aurons à calculer r\ parla condition 



2 v^L ' J 



On en tire, par un tâtonnement rapide, 

At, :^ 0,4769868, 



et, comme 



V/2 



on a finalement 

T, —£i X 0,6744897. 



2a6 LIVRE TROISIÉHE. — CHAPITRE XII. 

Cette quantité T^, telle qu'il y a à parier un contre un que Terreur 
sera comprise entre — v; et -h r,, est ce que Ton appelle ï erreur 
probable; on vient de voir qu'elle est à très peu près les j de 
Terreur movenne Si. 

Lorsqu'en étudiant un système de mesures on trouve que Terreur 

probable d'une mesure est de o,i, par exemple, cela veut dire 

qu'il y a autant de chances que Terreur d'une mesure, prise à 

part, soit entre — o,i et -f- o,i qu'en dehors de ces limites. En 

d'autres termes, dans une série de cent erreurs effcctivemenl 

constatées pour ce genre de mesures, il y en aura cinquante plus 

petites et cinquante plus grandes que o, i. Si l'on se reporte aux 

courbes dont nous nous sommes servi plus haut. Terreur probable 

r^ est Tabscisse dont Tordonnée partage Taire de la demi-courbe 

de probabilité en deux parties égales, tandis que Terreur moyenneî, 

n'est que Tabscisse du point d'inflexion. Ou bien encore, si Ton 

dresse la liste des erreurs d'une série par ordre de grandeur sans 

a\oir égard aux signes, et qu'on plie la liste en deux. Terreur 

probable sera dans ce pli, juste au milieu de la série. Or nous 

verrons que cette erreur probable remplace à elle seule toute la 

série et permet au besoin de la reconstituer, en sorte que, donner 

Terreur probable d'une suite de mesures, c'est donner le movcn à 

la fois le plus simple et le plus exact d'en apprécier la ])récision. 

Table de probabilités. 

C'est la table des valeurs de Tintégrale définie que nous venon«% 
de réduire en série. Pour calculer aisément cette série, remplaçons 

hx par son équivalent hr/—y ou par 0,4769 — ; puis, prenant pouf 

»• 
argument— et lui donnant successivement pour valeurs o; 0,1 — 



0,2: 0,3. . ., formons un tableau des valeurs que prend la série 

c'est-à-dire P. 

.r 



Par exemple, pour— = 0,1, on aurait 



V —-= [0,04769 — i (0,04769)' -+-...]= 0,05378, 



et ainsi de suite. 



APPLICATION DU CALCUL DES PROBABILITES. 



227 



V«learf d« — • 



0,0 
0,1 
0,2 



0,3 

0,4 

0,5 

0,6. . . . 

0.7 

0,8 

0,9. ... 
,0 



,3. 

,4. 
,5. 

,c. 

>y ■ 

,8. 

,9- 
2,0. 

2,1, 

2,2 

2 , 3 

2,5 



P. 
0,000 

o,o5j 
0,107 
0,160 

0,2l3 

0,264 
o,3i4 
o,363 
0,411 
o,456 
o,5oo 
0,542 
o , 582 
0,619 
o,655 
0,688 

o,7'9 
0,748 

0,800 
0,823 
0,843 
0,862 

",«79 
0,895 

0,908 



DIITi* renée. 
54 

53 
53 
53 
5i 
5o 

49 
48 
45 

44 
42 

40 

37 
36 

33 

3i 

î^9 

25 
23 
20 

19 

17 
16 

i3 



X 

Valeurs do — • 

T. 

2,5 

2,6 

a, 7 

2,8 

*>-,9 

3,0 

\9 a J • ■ • • 

3 9 

3,3 

«) • îi 

3,î 

3,6. . . 

vJ , / . . . . 

3,<.) 

i.o 

4,2... 

4,3 

4,4 

5,5 

i,f> 

/ _ 

lî/ 



P. Différence. 



0,908 
0,921 
0,931 

o,94i' 

0,950 

0,957 6 

",</>3 (. 



i3 
10 
10 

9 



4,8. 

4,9 
5,0 



<>,9<>9 
«,974 
0,978 
0,982 

0,985 

0,987 
0,990 
o,99ï 
o , 99'^ 
0,991 
0,99^ 
o,99<> 
0,997 
0,998 

0,998 
o , 998 

0,999 
0,999 
o,999^->5 



4 

y 
3 

2 

3 

1 

•> 

I 

1 

I 

I 

1 

o 

o 

I 

o 

o 



Supposons, par exemple, que dans la mesure des hauteurs au 
xlant un observateur ail pour erreur probable y, ^i:: zz 20". Lapro- 
iLilité de commettre une erreur positive ou négative, comprise en 
leur absolue entre 3o" et 4<>"> s'obtiendra de la manière suivante. 

>ur x:=3o", — — — = 1,5. En face du nombre i,3, la Table 

T, 20 

mneP^^ 0,688. Concluons que, sur 1000 observations, il v en aura 
^8 pour lesquelles Terreur sera 3o" ou au-dessous. Pour x = l^o" on 

irait — = 2, P = 0,823, et par suite il y aura 823 observations sur 

K)0 OÙ rerreur sera de i^d^ ou au-dessous. La différence 

823 — 688=135 

onlre que, dans une série de 1000 observations, il ne devra s'en 
cuver que i35 entre les limites assignées, ou i3,5 sur 100. 



228 LIVRE TROISléME. ~ CHAPITRE XII. 

On voit aussi, par la même Table, que la probabilité de ren- 
contrer dans une pareille série une erreur égale ou inférieure à 
3 fois Terreur probable, c'est-à-dire à i', sera 0,957. Il y aura 
donc, sur 1000 observations, gSj erreurs de cet ordre. Au-dessus, 
il n'y en aura que 4 sur 100, probablement pas i seule sur 10. 

Cependant, si sur 10 observations il se présentait une erreur 
égale ou un peu supérieure à 1', il ne faudrait pas se croire autorise 
à la rejeter pour cela, car la probabilité d'une telle erreur est faible 
(tooô)> ^^>s non pas évanouissante. Nous reviendrons plus loin sur 
ce sujet. 

L'application la plus remarquable qu'on puisse faire de cette 
Table est de calculer, de très près, toute la série d'erreurs qu'un 
observateur peut commettre dans un ensemble de mesures dont la 
précision est assignée d'avance parla connaissance de Terreur pro- 
bable. Supposons, par exemple, qu'un tireur au pistolet ait pour 
erreur moyenne ej = 18*"", 3, ou pour erreur probable t, = ia**",33 
(c'est le cas du tireur cilé parle général Didion). On demande 
d'après cel unique renseignement, combien de ses coups sur io<» 
s'écarteront de o*"™ à 5*^™ de la cible, combien de 5 à 10, de 10 à 
20, etc., et combien d'écarts atteindront 56*^". L'argument de la 

Table étant — > on calculera d'abord ces limites d'écarts en divisant 

par r, = ia,33, ce qui donne : 

Anuiuent 
F^arts j. 

oa valeur» de x. uu «alfun «le — • 

T. 

5 0,406 

10 0,810 

«5 i,ai7 

^« «,r*>7 

j6 2,109 

3i> 2 , 5 1 5 

40 3,245 

4î 3,()> 

36 i,54 

A\ec ces \aleurs de Targument, on entre dans la Table et Ton 
interpole par simples parties proportionnelles pour avoir les 
\aleurs de P. Celles-ci doi\ent être multipliées par le nombre de 
coups, qui est ici 100. On trouve ainsi : 



APPLICATION DU CALCUL DES PROBABILITES. 229 

Valeurs de x. Valeur* de I* X lOO. 

5 21,5 

10 ^\ S) 

i5 58,0 

^i 7i,« 

26 84,5 

3i yi,o 

40 97,1 

43 9», 6 

5fi et au-dessus. . . 21 , 5 

Chacun des nombres de la seconde colonne exprime le nombre 
de coups sur loo dont les écarts seront compris entre o et 5, entre 
o et lo, entre o et i5, etc. En retranchant chaque nombre du 
suivant, on a finalement : 

Nombre tliéoriquc 
Limiles do» écarts. des cuups. Nombre réel. 

De o""à 'i'^" 21,5 24 

» 5 »» 10 20 . 1 20 

'» 10 » i5 '7)0 iS 

>' i5 )' 21 iG,2 1 1 

»> 21 »' 26 0,7 10 

■ 26 » 3i 6,5 8 

>' 3 1 " 40 ^ ; ï 5 

" 4o '• 4 J ï ' 5 3 

" 4 3 '* 56 1,2 I 

Au-jlessus <lo îC)'^". ... ()/> o 

Ainsi, pour apprécier la précision d'une arme, il n'est pas 
nécessaire de recourir aux registres de tir et d'examiner la série des 
écarts constatés: il suffit de connaître Terreur probable de Tarme 
placée dans les mains d'un tireur exercé, puisque cette erreur pro- 
bable nous permet de reconstituer par le calcul, avec une exactitude 
bien suffisante, toute la séi'ie des écaris qui auront lieu sur un 
nombre donné de cou[)s, non j)as sans doute dans l'ordre où ces 
écarts se produiront eflTectiNement, mais avec leur vraie grandeur. 
En appliquant aux observations astronomiques de Bradley, déjà 
citées, le même procédé, on retrouverait encore plus exactement 
tout le Tableau des erreurs comprises entre o^ et 0% i, entre o% i 
et 0% a, etc. 



a3o LIVRE TROISIEME. — CHAPITRE XII. 



Démonstration de la méthode des moindres carrés. 

Bien que rexprcssion — r:e~'*'-^'rfjc ne représente pas, avec toute 

la rigueur mathématique du mot, la probabilité d'une erreur x dans 
un système de mesures de précision /r, elle en est une expression 
assez approchée, comme on vient de le voir, pour qu'il soit permis 
d'en tirer quelques conséquences. Soit donc un système de m 
équations entre des inconnues et les mesures qui doivent ser\irà 
les déterminer. Supposons qu'un système quelconque de valeurs 
assignées à ces inconnues produise, dans les équations de con- 
dition, les résidus £, t', s" Les probabilités de ces erreurs prises 

chacune à part scnuit 

et la probabilité de leur apparition simultanée sera, d'après le 
théorème de Moivre, le produit de leurs probabilités respectives» 
c'est-à-ilire 

Les valeurs les plus probables des inconnues sont é\idenimenl 
celles qui rendront cette expression maximum, c'est-à-dire qui 
rendront minimum la somme £- -:- s'- -^ s"- -f- . . . ; en d'autres 
termes, ce sont celles qui donneront la moindre valeur possible à 
la somme des carrés des résidus. C'est justement la condition à 
laquelle satisfait la méthode de Legendre. 



Objections qu'on fait communément à la méthode 

des moindres carrés. 

Bien que le Calcul des probabilités soit d^origîne française* ainsi 
que la méthode que nous venons d'exposer, leur emploi pour la 
discussion des obserxations est peu connu dans notre pays; noas 
avons dû adopter ici les notations et les règles de Gauss, qui sont 
universellomenl appliquées hors de France à toutes les sciences 



APPLICATION DU CALCUL DES PROBABILITÉS. St3l 

de mesures et d'expériences. Le discrédit qui semble frapper chez 
nous la méthode de Legendre, complétée par Gauss, tient à deux 
préjugés auxquels nous allons tâcher de répondre. Le premier 
résulte de Topinion que la méthode des moindres carrés ne s'ap- 
plique légitimement qu'à un grand nombre d'observations. Le 
second s'appuie sur ce fait que parfois des éléments importants, 
obtenus par cette méthode avec une erreur probable très faible, 
<mt été trouvés ultérieurement en défaut de quantités bien supé- 
rieures à ladite erreur probable. 

Sur le premier point, personne n'a défini ce que l'on doit en- 
tendre par ce grand nombre d'observations qui seul justifierait 
l'emploi de la méthode de Legendrc. Est-ce mille, cent mille, un 
million? En second lieu, ceux qui font l'objection n'hésileraieni 
pas un seul instant à appliquer à une dizaine d'observations ou 
même au plus petit nombre possible, c'est-à-dire à deux, la règle 
de la moyenne arithmétique, qui n'est pourtant qu'une forme par- 
ticulière de la méthode générale. La question n'est pas dans le 
grand nombre^, mais dans le nombre sufjisant dont voici la dé- 
finition : un ensemble de mesures ou d'équations de condition 
comporte légitimement l'application des méUiodes précédentes, 
lorsque les résidus manifestent nettement la loi de probabilité des 
erreurs fortuites. Dans le cas contraire, cet ensemble^he peut con- 
duire à aucune conclusion sérieuse; on n'est même jp^s en droit de 
lui appliquer la règle de la moyenne arithmétique. Nous allons 
citer un exemple où, avec 9 mesures, les méthodes peuvent être 
appliquées, et un autre où, avec 19, on ne peut pas même prendre 
une simple moyenne. 

Dans le calcul relatif aux mesures du pendule en différents lieux 
de la Terre, nous trouvons, pour l'erreur probable d'une mesure 
isolée, dzo""*,o43. Calculons d'après cela, au moyen de la Table 
des valeurs de l'intégrale définie, combien d'erreurs doivent tom- 
ber entre o et o,o3, entre o,o5 et 0,10, .... Nous aurons : 

Entre 0,00 et o,o5 5 erreurs; on en trouve G 

►) o,o5 » 0,10 3 >» >* 1 

» 0,10 » o, 1 5 I » •) I 

Au-dessus de o, 1 5 0,2 » » o 

L'accord est suffisant, l'application de la méthode des moindres 



232 LIVRE TROISIÈME. — CHAPITRE XII. 

carrés osl légilîmc, les erreurs probables trouvées pour les valcur> 
attribuées aux inconnues donnent une idée exacte de leur pré- 
cision. 

S'il en était autrement, c'est-à-dire si la répartition des écarts 
différait très notablement des règles de probabilité, il faudrait en 
conclure que les observations, mesures ou expériences, sont xiciéfs 
j>his ou moins par quelque erreur s\stématique. En voici un 
exemple. Par une série de 19 expériences faites avec soin on a dé- 
terminé l'équivalent de Thydrogène en prenant 100 pour celui de 
roxygéîie. ïl s'agissait de saNoir si cet équivalent doublé est enlitr 
ou Iraclionnaire. V^oici les résultats : 

Écart» 





iVarb. 


i9.,54(> 


— 


Si 


12,4^0 


- - 


'^ 


•^P47 


— 


33 


lîi,. Î9I 


- - 


23 


iTi,48o 


— - 


3î 


1-2 /tgG 


— 


iH 


i2,'î ><» 


- 


3(> 


1 ?. , 5 3() 


■ - 


3(> 


1 V. , 5oS 


— 


(\ 


i'^/i^\) 


- — 


2Î 




Movenno 



12, 5 '22 


-- H 


1*2, >5l 


- 3; 


12^490 


2i 


12,490 


-- Vî 


12,533 


»9 


I2,55i 


37 


1 2 , 5C2 


-- 48 


12,476 


- 4-^ 


12.480 


- 34 



I >,ji4 

l)'a|>rcs ce résultat, il ne saurait être question ici d'un nombrr 
rniifr. Mais, en IVxaminant d<* |)lus près, on trouve qu'à en jugrr 
pu- I«s ♦'•«Mils' Terreur probable d'une mesure isolée serait rz 0,0209- 
par suite, sur i() écarts nous en devritms trouver 

i.S futn* o.ouo t'I 0,010: il \ tMî a > 

4 , > 0,010 " 0,020 * 

».:> 0.0. >o »' o,<>3o J 

».7 o.oJo »» o.ojo <J 

I .t» 0,0 j(> H 0,C»"lO >' > 

•.* . I aii-ilclj t\c 0,0 »o <» 

(les écarts ne ^uixant nullement la loi d(» probabilité des errour? 
;ie<id»'nlellts, il faut en conclure, ou (]ue le nombre des e\pi*- 
riences est beaucoup trop petit et rend illusoire ré\alualioii d»- 



APPLICATION DU CALCUL DES PROBABILITÉS. 233 

l'erreur probable, ou qu'elles sont entachées de" quelque erreur 
systématique. Dans Fun et l'autre cas, la moyenne ne donne pas le 
résultat le plus probable et la question qu'il s'agissait de décider 
par ces expériences reste en suspens. 

Passons à la seconde objection. De la discussion des passades 
de Vénus sur le Soleil observés en iy6i et 1769, M. Encke a dé- 
duit : 

Parallaxe du Soleil = 8", 67 116 ±: o'',o370. 

D'après celte petite erreur probable il y aurait un contre un à pa- 
rier que la vraie parallaxe est comprise entre 

8% 53 et 8%Gi. 

Or, nous savons aujourd'hui que la vraie parallaxe 8", 8i3 tombe 
bien en dehors de ces limites. L'erreur, o'', 9.4ï84, est égale à 
6,36!2fois l'erreur probable o'',o37. ^-'^ Table précédente ne va pas 

jusqu'à cette valeur de l'argument — > mais il est aisé de faire le 

calcul par la série donnée plus haut. On trouve alors pour la pro- 
bai)ilité d'une telle erreur 0,00001 (*). Ainsi, à s'en tenir à l'erreur 
probable assignée par M. Encke à son résultat, il y aurait cent 
mille à parier contre un qu'il n*est pas en erreur de o'', 24 184, et 
pourtant telle est la correction que nous sommes obligés de lui 
faire subir. 

De même Newton avait déduit, des mesures exécutées par Pouud 
sur les satellites de Jupiter, la masse de cette planète =: 777^57. Plus 
tard Bouvard la détermina par une tout autre voie, en construisani 
les Tables deJupiter et de Saturne sur la théorie de Laplace.II trouv:i 
■~T^. L'accord était remar(|uable. Laplace, appliquant ici le Calcul 



(') C<*tle srric est Iroj) Iciileinoiil roincrjj;eMlc pour i\ci^ vaI(Mirs iiii peu rnrlc> 
cir /i JT. Laplace a dorinô jxjiir rv cas riiUégralc clcfiuie !?nii.s la lorinc d'une fraflion 
roiitiiiue fort aiscc à calculer : 

/l.Z\ T. , J^ 

:>. 7. 



I - - 



I - . 

• 



234 



LIVRE TROISIEME. — CHAPITRE XII. 



des probabilités y trouva qu'il y avait un million à parier contre un 
que la valeur yg— notait pas en erreur de j^. Or, peu d*anDées 
après, les astronomes étaient obligés de l'augmenter du double de 
cette dernière quantité et de porter cette masse à j^» 

Certes il y a eu déception pour les astronomes dans ces deu\ 
cas, mais il n'y a pas lieu d'en accuser l'emploi de la méthode des 
moindres carrés ou du calcul des chances. Nous ne saurions trop 
répéter que cet emploi n'est légitime que dans le cas où les obser- 
vations ont été purgées de toute erreur systématique sensible. Or 
on a reconnu que Pound avait négligé certaines corrections instru- 
mentales ; que Bouvard, dans ses immenses calculs, n'avait pas tenu 
un compte absolument exact de toutes les inégalités du mouveraenl 
de Saturne; enfin que les observations des passages de Vénus sur le 
Soleil sont entachées d'erreurs systématiques fort singulières que 
nous aurons lieu de discuter plus tard. L'introduction de la mé- 
thode des moindres carrés dans les calculs a rendu, aux astronomes, 
rimmense service de fixer énergiquement leur attention sur lare- 
('herche et Télimination préalable de ces erreurs dangereuses. 



rians laquelle 2 
I 



sont 



I -- a X I 



— > s— t — 

X I -f- 3x I 



\ppliqiions-la au ras aclucl. Les réduites surcessivcs 

-5a I -i- <)a -f- 8a* 



Ox 



^oi* 



10 a 



i.)a' 



En |>osanl hx — o, ^7*mj'| x ^),3G.î, on trouve, par la dernière réduite, 



log/t*j* 0.99118 

log2 o.3oio3 

'•»?» «» 70779 

loga- 7/|i538 

I* réduite. 

lo^num 0,170:17 

io^dén 0,19028 

loR V réd.. 9,(»7999 



log loge, 
log/i'j:'. 



Nombre — loge'*'-**. 
log/(â; 

ïogV^^ 



Olog 



9.63778 

9>99^'^ 
o,()2896 

i,25.>6o 

o, '19539 

0,3^|8')7 

'|.<)997^> 

5,0003'| 



,-A«jr« 



log 

hx\'T. 

log 4» réd. 

Nombre... 
I — nomb. 



5.00014 

9^97<W 
.',,9801$ 

0,00000^ 
«^». 09*0990* 



X 



La valeur de l'intégrale définie pour — = (î^^fyx est donc o,()9999oi: on voit corn- 
ai 

bien le reste de l'aire de la rourl>e, c'est-à-dire 0,0000096, depuis l'aliscisse 6,36) 
jus<|u'à l'infini, est déjà petite. 



APPLICATION DU CALCUL DES PROBABILITÉS. 235 



Conclusion. 

Le Calcul des probabilités, appliqué à la théorie des mesures 
ou des observations, a l'avantage de confirmer ce que le bon 
sens nous avait appris déjà sur la meilleure manière de combi- 
ner les observations ; mais il ne nous donne aucun moyen de les 
corriger ou de choisir entre elles les bonnes pour rejeter les 
mauvaises. La Table précédente nous apprend bien que la proba- 
bilité d'une erreur, égale ou supérieure à 3 fois Terreur probable 
r,, est 1 — o, 957 = o, 043, qu'elle n'est que 0,007 pour une erreur 
égale ou supérieure à 4t^i> en sorte que la première ne doit se pré- 
senter que 43 fois et la seconde 7 fois sur 1000 observations; 
mais elle ne nous apprend pas dans quelle partie d'une série de 
mesures cette erreur de grandeur exceptionnelle devra se trouver. 

Il arrive souvent, à la mer, que les observations de hauteur, par 
exemple, deviennent fort difficiles quand la mer est très agitée ou 
l'horizon brumeux. Alors, dans une série d'une dizaine d'observa- 
tions, on en rencontre de très discordantes et l'on éprouve une 
forte tentation de les laisser de côté, parce qu'elles gâteraient, 
dit-on, la moyenne. On a proposé pour cela un critérium qui con- 
siste à exclure, sur n observations, celles dont la probabilité, esti- 
mée parleurs écarts avec la moyenne, tomberait à — et au-dessous. 

Par exemple, ayant réuni 20 observations d'un phénomène et ob- 
tenu, en les comparant une à une à la moyenne, une évaluation de 
l'erreur probable tj, on rejetterait toutes celles dont la probabilité 
serait de ~ seulement, ou de o,o5. La Table précédente montre 
que ce sont celles dont les écarts atteignent ou dépassent le triple 
de l'erreur probable. Alors on referait la moyenne des observa- 
tions conservées en obtenant ainsi un accord plus encourageant. 
Mais c'est là un pur enfantillage. Si la moyenne des observations 
non triées est déjà assez précise pour faire apprécier l'erreur pro- 
bable des observations, pourquoi y toucher? Ensuite n'est-ce pas 
par une vue tout à fait arbitraire du sujet qu'on préfère la frac- 
tion - à d'autres fractions, telles que - ou — ? Une règle bien plus 
prudente est celle que suivent les astronomes; elle consiste à ne 



236 LIVRE TROISIÈME. ~ CHAPITRE \II. 

jamais attendre le résultat d'un calcul pour trier leurs obsena- 
lions. Ils ne rejettent que celles qui sont marquées douteuse^ 
(deux points : ) ou très douteuses (quatre : : ) par robservateur lui- 
même, au moment même de Tobservation. 

Si nous avons insisté longuement sur la méthode des nioimlre> 
carrés, c'est qu'il est bon de la connaître et de savoir Tappliquer 
au besoin. C'est un moyen puissant de discussion dont les hommes 
(le science tirent parti lorsqu'ils veulent savoir jusqu'à quel poinl 
leurs théories, leurs formules s'adaptent à la réalité, ou bien lors- 
([u'ils veulent obtenir, avec toute laprécision possible, des constantes 
fondamentales dans la Science. Par exemple, lorsqu'on a réuni le> 
mesures géodésiques d'arcs de méridien effectuées à grands frais, 
sur tous les continents, afin d'étudier la vraie figure du globe, c'est 
par la méthode des moindres carrés qu'on devra traiter les équa- 
tions de condition, dut le calcul durer des mois entiers et exiger 
tout un personnel de calculateurs. 



LIVRE QUATRIÈME. — GÉODÉSIE. 287 



LIVRE QUATRIÈME. 



GEODESIE. 



Nous savons maintenant déterminer les coordonnées géogra- 
phiques d'un point quelconque du globe avec une très grande 
exactitude. En reportant ces coordonnées sur un globe, ou sur 
une Carte par des procédés géométriques, on obtiendra ainsi la 
représentation de la Terre entière ou d'une de ses parties, au moyen 
d'un certain nombre de points bien déterminés, et Ton comblera 
les intervalles à l'aide d'opérations purement topographiques. 

Il y manquerait encore l'échelle. Pour l'avoir, il faudrait mesu- 
rer le rayon de la Terre. Le procédé le plus simple consisterait à 
observer, comme on le fait pour les astres à dimensions sensibles, 
le diamètre angulaire de la Terre vue d'une station de hauteur 
connue. Soient h l'altitude de la station au-dessus de la mer, A le 
diamètre angulaire du globe, r son rayon ; on a 



'■ • 1 * 



/• -h II 



% 



Gel angle -jA n'est autre chose que le complément de la dépression 
d de l'horizon du spectateur placé à l'altitude h. Il s'obtient, sur 
mer, avec une certaine précision, parce qu'alors les contours du 
globe terrestre apparaissent avec netteté, sans être altérés par les 
inégalités du sol. On déduit de cette relation 



cosdy d'où 2sin*A(f: 



r -\- Il ^ r -^ Il 

En tenant compte de la réfraction géodésique,dont la constante est 
m^ et en négligeant h au dénominateur vis-à-vis de /•, cette for- 



238 IVRE QUATRIÈME. 

mule devient, comme on le verra plus loin, 

. , , , m — \ h 

2Sin*Jrt=i: 

* m r 

Les élèves de TÉcole navale de Brest se sont exercés à mesurer 
ainsi la dépression de Thorizon delà mer d'une hauteur de ya";!^ 
ont trouvé d ^= i5'3o". Voici le calcul de r en donnant à m la \a- 
leur 8, trouvée page 1 16 : 

log/i i,875c>6 

lo{;| 9>9»^«' —<<» 

CMog2 9»69897 — lo 

C*logsin*J^ 5.!3i9394 

lojrr 6.80998 



• 



/• = G i '56 000'". 

Ce nombre est un peu trop fort. On obtiendrait plus d'exacti- 
tude en opérant sur le sommet d*une haute montagne au milieu de 
rOcéan, telle que le pic de Ténéri fie (3710"), et non seulement on 
mesurerait ainsi le ravon de la Terre, mais on en déterminerait très 
passablement l'aplatissement, cardans le sens du méridien on aurait 
</=i"5o'ir\ tandis que dans le sens transversal on trouverait 
i**49''S3'. La Terre n'étant pas une sphère parfaite, mais un ellip- 
soïde de révolution légèrement aplati aux pôles, le cùne formé par 
les ravonsNÎsuels tangents à son contourne serait pas un cône droit 
à base circulaire, mais un cône à base légèrement elliptique. 

C'-e procédé n'a jamais été sérieusement appliqué à cause des pe- 
tites anomalies que présente parfois la réfraction gcodésique. Ln 
moven beaucoup plus exact consiste à mesurer la longueur s d'un 
arc de méridien quelconque; on en détermine ensuite Tamplitude 
angulaire vue du centre de la Terre. Celle-ci sera la différence de* 
colatitudes A et a' des extrémités de l'arc 5. On aura enfin, r dési- 
gnant le ravon de la Terre, r^ A — //) = 5, relation où l'angle À' — '• 
devra être exprimé en parties du ravon, c'est-à-dire converti en 
secondes et divisé par ao6 265". 

Quant aux petites irrégularités du sol solide et au relief des 
continents, on les déterminerait par une opération spéciale, à savoir 
un nivellement rapporté au niveau de la mer. C'est en effet lasu^ 



GEODESIE. 289 

face des mers, prolongée idéalement par -dessous les continents, 
qu'on doit considérer comme la surface mathématique du globe 
terrestre, car elle est en chaque point perpendiculaire à la direc- 
tion de la verticale, du moins si Ton néglige les petites dénivel- 
lations accidentelles ou périodiques de l'Océan ducs aux vents et 
aux marées. 

Il est aisé d'ailleurs de se faire une idée du peu d'importance de 
ces irrégularités quand on les rapproche des dimensions du globe 
lui-même. Représenlez-le par la circonférence qui figure, sur la 
PL I de cet Ouvrage, l'orbite d'Uranus. Elle a 0^,73 de rayon. 
Eh bien, si vous donniez au trait une largeur un peu plus forte, de 
•j- de millimètre environ, non seulement les plus hautes montagnes 
et les profondeurs des mers seraient comprises, à cette échelle-là, 
dans l'épaisseur de ce trait, mais encore la petite déformation due 
à Faplatissement. Nous sommes donc en droit de les négliger pro- 
visoirement, et de considérer tout d'abord la Terre comme un(» 
sphère dont la surface mathématique se manifeste le mieux sur les 
mers. 



a4o LIVRE QUATRIÔME. — CHAPITRE XUI. 



CHAPITRE XIII. 



ANCIENNES MESURES DE LA TERRE. 



——* 



Lorsque rexpédilion d'Alexandre dans les Indes eut ouvert TO- 
rient et élargi les notions géographiques jusque-là fort étroites des 
Grecs, la question des dimensions de la Terre prit naissance. II fal- 
lait s'en Taire une idée pour agencer les nouveaux documents 
qu'on avait recueillis en parcourant l'Asie presque jusqu'à la Chine. 
Mais, en Tabsence de déterminations astronomiques, on n'avait 
guère que des évaluations grossières des distances en journées de 
marche, d'après les armées ou les dires des voyageurs. Aristote 
portait à 4oo ooo stades le tour entier de la Terre, on ne sait sur 
<|uels fondements. En admettant iSo"* pour le stade olvmpiqoe, 
cette évaluation donne 72 millions de mètres au lieu de 4o millions. 

Mesure d'Ératosthènes. 

La première mesure réelle, scientifiquement exécutée, eslcelled'E- 
ratostliènes, astronome qui vivait 25oans avant J.-C. Il avait été ap- 
pelé à Alexandrie par Ptolémée Philadelphe. Il opéra, comme nous 
venons de le dire, en mesurant un arc s d'un méridien et en le com- 
parant avec son amplitude céleste a' — ).. L'arc choisi était énorme; 
il s'étendait entre les parallèles extrêmes de l'Egjpte, ceux d'A- 
lexandrie et de Syène. Ce pays avait été obligé de tout temps, par 
la constitution de la propriété et le grand phénomène périodique 
de l'inondation du Nil, d'établir un cadastre régulier sur tout son 
territoire. Du temps môme d'Ératosthènes le gouvernement avait 
organisé une corporation d'arpenteurs qui mesuraient au pas tontes 
les distances dans la partie habitée et cultivée de la vallée du Nili 
c'est-à-dire depuis la Méditerranée jusqu'à la première cataracte, 
près de Syène. Ce géographe était donc en possession de documents 



ANCIENNES MESURES DE LA TERRE. 24 1 

précis pour déterminer, en tenant compte de Forientation (*), c'est- 
à-dire dans le sens du méridien, la distance de ces parallèles ex- 
trêmes. Il trouva, en nombres ronds, 5ooo stades. Avec les élé- 
ments de l'ellipsoïde terrestre que nous obtiendrons plus loin, cette 
même distance est de 797 760°*. Ainsi ce stade-là serait de i59",6. 
I^ stade valait toujours 600 pieds ; mais, comme le pied variait d'un 
pays à l'autre, cause de confusion qui n'a pris fin qu'à l'établisse- 
ment du système métrique, on est souvent incertain sur la valeur 
des stades. Ici le pied employé devait être celui du cadastre égyp- 
tien, d'environ o",a7: et, en effet, 109'", 6 divisé par 600 donne 
o™, 266. Nous avons donc une idée nette de la partie géodésiquc 
de l'opération d'Ératosthènes. 

Quant à la partie astronomique, elle consistait à déterminer les 
colatitudes \ et V d'Alexandrie et de Syène. F>atosthènes mesura 
à Syène et à Alexandrie, à l'aide du gnomon, la distance zénithale 
du Soleil à l'époque d'un solstice d'été ; il trouva ainsi z = 7*'i2' et 
3'= o pour les deux villes. De là)/ — X = 7°! 2'; par suite, en sup- 
posant la Terre sphériquc, l'arc de i"= ' =694,4 stades. 

11 a donné 700 stades en nombres ronds. Le tour de la Terre serait 
donc de a5o 000 stades ou de aSoooo x6oo x o",27 = 4o5ooooo", 
au lieu de 4o millions de mètres d'après les évaluations modernes. 
Nous ne saurions aujourd'hui apprécier exactement l'erreur com- 
mise, faute de connaître, avec une précision suffisante, la valeur du 
pied égyptien il y a deux mille ans; mais, au point de vue astrono- 
mique, nous possédons des moyens de contrôle sérieux. La Con- 
naissance des Temps donne pour Alexandrie et Syène 

X 58.48 

>/ 61.55 

Différence.. 7. 7 

L'erreur de l'amplitude déterminée par Eratosthènes n'est donc 
que de 5'. 

Voici une autre vérification plus délicate. Nous verrons, dans le 
deuxième Volume, que le gnomon donnait la distance zénithale du 
bord supérieur du Soleil et non celle du centre. L'erreur, d'envi- 



(') La différence de longitude des deux villes est de 2059'. 

iG 



242 LIVAB QUATAIBMB. — CHAPITAB XIII. 

roD i6', disparait ici dans la différence des distances zénithales, 
mais il en faut tenir compte si Ton veut déterminer la colatilude. 
Les z observés à Alexandrie et à Syène sont donc 7*^28' eto**i6'. 
Pour obtenir les correspondants du Soleil à Tinstant du solstice 
d'été, il faut connaître Tobliquilé de Técliptique. Elle éuit de 
23*'28'i8'' en i^So et diminue de 48" par siècle. Deux mille ans 
auparavant elle était donc de 23"44'* Ainsi, au solstice d^été, le 
du Soleil était de 66** 16'. Par la formule >. = o — 5 on trouve 

X d'Alexandrie 66*» if»'— 7'»28' ^ 58'*4H' au lieu de 58*48' 

X' de Syène 66* 16'— o'» 16' = 66" o' » 65** 55' 

Ne connaissant pas le point précis des deux villes où robser\'a- 
tion a été faite, il peut rester une incertitude de l' à 2' sur ces co- 
latitudes ; mais celte comparaison suffit à prouver que toute Topé- 
ration d'Ératosthènes a été faite avec soin, et même avec plus 
d^exactitudc qu^on n'en trouve dans les meilleures observations de 
cette époque reculée. Il est bon de rappeler à cette occasion qu'Er 
ratoslhènes a été le véritable créateur de la Géographie générale; 
le premier il a su apprécier Textension du vaste continent euro- 
péo-asiatique depuis les îles Canaries, à Fouest, jusqu'aux côtes de 
la Chine, à Test; il estimait que cette vaste terre, centralement tra- 
versée dans le sens d'un parallèle par une chaîne de hautes mon- 
tagnes, ne dépassait pas iSo** de longitude, ce qui laissait entière- 
ment inconnue et inexplorée Tautre face du globe terrestre occupée 
parle Pacifique, l'Amérique et l'Atlantique. 

Prétendue mesure de Posidonins. 

Ëratoslhènes avait assigné, pour la distance de Rhodes à Alexan- 
drie, 3750 stades. Voici les coordonnées de ces deux villes : 

Rhodes 53^33', I 25»53',8 

Alexandrie 58'*48',2 27*3i',2 

Par la formule 

cosrt r= cosX ces)/ -h sîii X sin X'cos( L' — L), 

on trouve pour la distance a, en arc de grand cercle, 5^25', a. Avec 



ANCIENNES MESURES DE LA TERRE. SjS 

6,8o3ao pour le logarithme du rayon de courbure du méridien à la 
colalilude moyenne de 55°, nous aurons 60 1270™ pour cette dis- 
tance. Par conséquent le stade valait 160" et le pied o™, 267. Nous 
avions trouvé tout à l'heure o'^,266. C'était donc le même pied 
égyptien et le même stade de 160" que nous avons déjà rencontrés. 
La précision de cette nouvelle mesure montre que ce géographe 
s'était servi, pour l'établir, des traversées les plus directes de Rhodes 
à Alexandrie et que, suivant toute probabilité, les marins de celle 
époque se servaient déjà fort habilement du loch et de l'ampou- 
lette pour mesurer le chemin parcouru en mer. Mais c'est là la 
seule donnée valable de la prétendue mesure de la Terre qu'on at- 
tribue à Posidonius. 

Ce dernier part de la remarque fausse que l'étoile Canopus 
(i" grandeur) ne fait que raser l'horizon de la mer à Rhodes; 
étant la distance polaire de l'étoile, on aurait donc, en négligeant 
la réfraction, inconnue à cette époque, 

X = — 90**. 

D'autre part, Posidonius affirme que cette étoile avait 7^80' de hau- 
teur, à Alexandrie, au moment de son passage au méridien ; par 
conséquent, 

toujours en négligeant laréfraclion. Il en a donc conclu 

)/— X=:7»3o', 

ce qui donne 

3^5o 
^ . = 5oo stades au dci^ré, 

au lieu des 700 stades d'Ératosthènes. L'erreur est des ~, près de 
moitié du résultat trouvé. 

Il est aisé aujourd'hui d'obtenir, par un calcul de précession 
qu'on trouvera dans le second Volume, la coordonnée de Cano- 
pus à l'époque de Posidonius. Elle était de i42''3o'. Par conséquent, 
au lieu de raser l'horizon à Rhodes, elle s'y élevait, au méridien, à 
une hauteur de i°24'î5. Au lieu d'avoir à Alexandrie, à sa culmi- 
nation, une hauteur de 7°3o', elle ne s'élevait qu'à 6" 26'. Évidem- 
ment la première observation repose sur de vagues ouï-dires, et la 
seconde n'a pas été faite, car on ne se trompait pas, à cette époque, 
d'un degré entier. Il est probable que Posidonius aura calculé cette 



244 LIVRE QUATRiéXE. — CHAPITRE XIII. 

hauteur à raide des coordonnées écHptiques observées à Rhodes 
par Hipparque un siècle auparavant, car Hipparque, ne connais- 
sant pas la réfraction, a donné pour cette étoile, mal placée, une 
distance au pôle de Técliptique assez erronée. Quoi qu'il en soit. 
Terreur de l'amplitude astronomique de Tare Rhodes- Alexandrie 
résulte de ce fait : 

Rhodes X — 53.33, i 

Alexandrie /' -= 58. ^8.-ji 

/ — / = 0. I i. I 

)/— A = j"i5' et non 7"3o'. L'erreur est ainsi de a"^, c'esl-à-diif 
des 7^. 

Évaluation de Ptolémée. 

Nous arrivons à l'évaluation de Ptolémée vers Tan i5o. Ce grand 
astronome se borne à dire qu'il a repris la mesure d'Eraloslhènes el 
qu'il a obtenu le même résultat. Seulement il adopte aussi JOi> staJe> 
en nombres ronds pour le degré. Le stade de Tauteur de YAlmn- 

geste était de 6oo pieds phîlétériens. Or ce pied est de o"*, 36 au lieu 

o « ^fr" 
de o", 267. Pour faire la conversion il a du multiplier 700 par — -w^' » 

ce qui donne 5i5 stades, ou 5oo en nombres ronds. 

Vérification de l'évaluation de Ptolémée par les Arabes. 

Cette évaluation a été confirmée par les astronomes aralnrs qui 
mesurèrent, en 827, un arc de i** dans les plaines de la Mésopota- 
mie. Ils trouvèrent 56 milles et conclurent qu'ils avaient vérifié 
ainsi le nombre de Ptolémée. Le mille arabe étanl d'environ 
2100"", leur arc avait donc 117 600"", ce qui, à raison de 5oo stades 
au degré, donne o.35'" au stade. C'est grossièrement le stade philé- 
térien do Ptolémée (216""), et la différence doit tenir à notre éva- 
luation actuelle du mille arabe du temps du calife Almamouo. 

Mesures modernes. 

En résumé, l'antiquité ne nous a légué qu'une seule mesure sé- 
rieuse, celle d'Eratosthènes. Elle a suftî pour donner aux géo- 



ANCIENNES MESURES DE LA TERRE. 245 

graphes grecs une idée assez juste des proportions de l'Europe et 
de l'Asie vis-à-vis des parties inconnues du globe. Le moyen âge 
n'a rien tenté dans cette voie ; les notions géographiques s\ sont 
même oblitérées au point de faire croire à Christophe Colomb 
qu'il atteindrait l'Asie en franchissant au plus une centaine de de- 
grés vers Touest à travers l'Atlantique. La découverte de l'Amé- 
rique (149a), due à ce grand homme, donna un nouvel essor à la 
navigation et rendit de plus en plus nécessaire aux marins la con- 
naissance des dimensions de notre globe. Il est probable que les 
premiers navigateurs au long cours se servaient de l'évaluation de 
Ptolémée pour obtenir la valeur de i" ou de i' terrestre en unités 
de mesure modernes. 

Fernel, Snellius, Norwood. 

Ce n'est, en elfet, qu'au courant du siècle suivant, cinquante- 
iiuit ans après la découverte de l'Amérique, qu'on voit un premier 
essai de mesure directe. Le médecin Fernel détermina fort exac- 
tement en i55o, par ses propres observations astronomiques, 
Tamplitude de Tare méridien de i** compris entre Paris et Amiens. 
Il en mesura la longueur par un procédé fort ingénieux dont on 
pourrait tirer aujourd'hui bon parti sur les lignes de chemin de 
fer. Ce procédé consistait à adapter aux roues de sa voilure un 
compteur et à enregistrer ainsi le nombre de tours de roue dans 
un voyage de Paris à Amiens, sur une route à 1res peu près droite 
et dirigée exactement du nord au sud. Il mesura ensuite avec soin 
la circonférence de ses roues, et, après avoir tenu compte des 
petites inflexions de la route, il trouva 07 070*^ pour la longueur 
de ce degré. Le succès était complet, mais il ne parait pas qu'on 
ait fait grande attention à ce beau résultat. 

Snellius, géomètre hollandais, mesura, soixante-cinq ans plus 
tard, en i6i5, la distance d'Alkmaar à Bcrg-op-Zoom et trouva 
,>5oai'' au degré. L'erreur était de 2000^, mais l'opération avait 
été conduite d'après des principes nouveaux qui furent adoptés 
plus tard par tous les géodésiens. La marche suivie consistait à 
rattacher les deux extrémités de l'arc à mesurer par une série de 
triangles juxtaposés, de manière à réunir deux triangles contigus 
par un côté commun. Snellius observait tous les angles de ces 



246 LIVRE QUATRIÈME. — CHAPITRE XIII. 

triangles et mesurait Fun des côtés. Le calcul trigonométriqne 
devait lui faire connaître la distance des points extrêmes. 

En i635y Norwood eut la patience de chaîner les a^,5 qui 
séparent Londres de York, en relevant à la boussole les sinuosités 
du chemin. Il trouva 5y 4î*4*« L'erreur est de 35o^. Mais en Angle- 
terre même cette mesure semble être restée ignorée. Les géographes 
et les marins anglais se servaient du statut mile de 1760 yards 
comme d'un mille de 60 au degré, tandis que le degré vaut réelle- 
ment 69 j de ces miles. Cette erreur, d'un sixième environ, que les 
mesures de Fcmel, de Snellius, de Non;vood auraient dû faire éviter, 
a joué un grand rôle dans Thistoirc de la Science ; nous verrons 
qu'elle a failli étouffer dans son germe la découverte de l'attraction 
universelle. 

Picard et les Cassini. 

Toutes ces tentatives restèrent inaperçues ou ignorées jusqu'au 
jour où Picard se mit à TœuxTe avec des procédés nouveaux, d*unc 
précision que Ton n'a guère surpassée depuis. Pour la première fois 
on vit des lunettes figurer dans les instruments de mesure, ce qui 
permit de décupler la grandeur des côtés des triangles et de cen- 
tupler Texactitude des mesures angulaires. A l'exemple de Snellius, 
Picard couvrit la méridienne de Paris à Amiens d'une chaîne de 
triangles. Il y rattacha une base mesurée à Juvisy avec un soin 
extrême, et calcula Irigonométriquement la méridienne qui traver- 
sait sa triangulation. Telle est la méthode qu'on suit encore 
aujourd'hui et que nous allons exposer en détail. La mesure de 
Picard, exécutée en i665, porta le degré à 07 060^. Elle fut publiée 
quelques années plus tard ; le jour même où elle parvint en Angle- 
terre, Newton, armé de ce nombre, découvrait Tattraction univer- 
selle. 

L'opération que nous venons de rappeler est la véritable origine 
de la Géodésie. Picard comprit que ces méthodes nouvelles s'appli- 
queraient parfaitement à la description géométrique d'un grand 
pays comme la France. Dans un Mémoire célèbre qu'il présenta à 
l'Académie, il proposait de conduire à travers la France entière, 
sur la méridienne de Paris, une chaîne de triangles allant de 
Dunkerque à Perpignan, et d'y ratUcher toutes les triangulations 



ANCIENNES MESURES DE LA TERRE. 247 

partielles destinées à relier à cette vaste base les autres contrées 
de la France. Ces triangles, à leur tour, seraient remplis par des 
opérations de détail purement topographiques, dont les erreurs 
inévitables ne devaient pas aller en s'accumulant, puisque, de 
distance en distance, les levers de détail s'appuieraient sur de 
nouveaux côtés de triangles parfaitement déterminés. Une telle 
Carte était de nature à fournir aux ingénieurs civils ou militaires 
toutes les données nécessaires à l'étude de leurs projets pour la 
construction des routes, des canaux de navigation ou d'irrigation, 
à l'administration pour Tassiette de l'impôt foncier, à la propriété 
territoriale pour l'exacte délimitation des terres. Colbert comprit 
la grandeur et l'utilité pratique des propositions de Picard et lui 
procura l'approbation du roi. En 1680, après la mort de ce savant 
académicien, Cassini et Lahire commencèrent ces grandes opéra- 
tions. La méridienne centrale fut achevée en 1718, et la Carte de 
l'Observatoire, nommée souvent Carte de Cassini, fut terminée 
à la fin du siècle dernier. 

Expéditions en Laponie et au Pérou. 

La Géodésie devait servir la Science pure d'une manière non 
moins décisive. Les théorèmes d'Huygens sur la force centrifuge 
avaient donné à penser que la figure de la Terre, tournant autour 
d'un certain axe, devait, en vertu de cette rotation même, être 
aplatie aux pôles et renflée à l'équateur. Jupiter, dont la rotation 
est plus rapide, présentait en efiet, dans les lunettes déjà puissantes 
de cette époque, un aplatissement très caractérisé. Newton, abor- 
dant cette question dans l'hypothèse d'une sphère liquide homo- 
gène, montra que l'aplatissement provenant d'une rotation sem- 
blable à la nôtre lui imprimerait un aplatissement de ^jû* 1^ ^^ ^i^^ 
plus encore en rattachant, à l'existence de cet aplatissement, le 
phénomène grandiose de la précession des équinoxes (*). 

Si la Terre avait ainsi une figure aplatie, la longueur des arcs 
de 1® d'amplitude devait aller en croissant de l'équateur aux 



(') C'était là une démonstration péreniptoire de l'aplatissement. Avec une Terre 
sphérique il n'y aurait pas eu de précession ; avec une Terre allongée, la précession 
se serait effectuée en sens inverse. 



248 LIVRE QUATRIÉSIE. — CHAPITRE \III. 

pôles. Cependant les mesures géodésiques alors en cours d'exé- 
culion en France ne semblaient pas favoriser cette conclusion. 
L'Académie des Sciences résolut cette question capitale au moven 
de vastes opérations entreprises à la fois vers l'un des pôles, à 
Téquateur, et dans une région intermédiaire. Les résultats de ce* 
expéditions, qui constituèrent définitivement la Géodésie et aux- — 
quelles se rattachent les noms de Maupertuis et de Clairaul (I-.a — 



ponic), de Bouguer et de Lacondamine (Pérou), furent ccu\-ci 

o ^ T 

Au Pérou, par 9i°3o' de colatitude i — 56 jSo 

En France, par .\5° de colatitude , i - ^ 07 otK) 

En Laponie, par 20** de colatitude * -- '^7 »'^'^ 

Les rayons conclus sont : 

Au Pérou 3 'iji 5-îo^ 

En France 3 2()<) 85o 

En Laponie '\ mjo 000 

Ces iiomi3res, qui représentent réellement les ravons de coui*— 
biu'c de la courbe génératrice du sphéroïde terrestre, mettent **ii 
évidence la figure elliptique, ou du moins son aplatissement. 

Les opérations ultérieures n'ont fait que confirmer etdéveloppr 
ces résultats, en montrant que la Terre est réellement un ellipsoïJf 
de révolution (aplati) autour de son axe de révolution, c'cst-à-din* 
autour de la ligne des pôles. 

Cet aplatissement est d'ailleurs si faible, la figure inatliématique 
de la Terre, définie par la surface des mers qui partout est perpen- 
diculaire à la direction de la pesanteur, diflere si peu d'une sphère 
parfaite, que nous sommes en droit de le négliger tout à fait dans 
la description des procédés de la (iéodésie; nous en tiendroDs 
compte plus tard dans les calculs. 



OPERATIONS POUR LA MESURE D UN ARC DE MERIDIEN. 



a49 



CHAPITRE XIV. 

OPÉRATIONS GÉODÉSIQUES POUR LA MESURE D'UN ARC 

DE MÉRIDIEN. 



Soil AM le méridien qu'il s'agit de mesurer: 
1*^ On choisit de part et d'autre de cette ligne des points B, C, 
D, . . . (y/^'. 72) de manière à former une chaîne de triangles dont 







on mesure les angles et un coté, de sorte que, de proche en proche, 
le calcul de ces triangles fasse connaître tous les colés. 

2" En A, on détermine astronomiquement la direction du méri- 
dien, c'est-à-dire Tazimut CAa, ce qui permet de résoudre le 
triangle partiel AC<7, et par suite, de proche en proche, tous les 
triangles partiels aB6, /yDc, .... f /arc x\M est la somme des cotés 
ou segments Aa -^ au — bc ~ . . . . 

Z^ On détermine les colatitudes A et V des extrémités A et M de 
l'arc ainsi mesuré. 

Les opérations géodésiques sur le terrain comprennent : 



aSo LIVRE QUATRlàMB. —CHAPITRE XIT. 

i"" La reconnaissance du terrain, le choix des stations et la cod- 
struction des signaux. 

2^ La mesure des angles des triangles. 

3"" La détermination d^un des côtés à l'aide de la mesure d'une 
base, et la jonction de cette base au susdit côté. 

4^ Cette base doit avoir été, au préalable, réduite au niveau delà 
mer par un nivellement conduit, de la base, à la mer la plus voisine. 

Choix des stations. — Forme des triangles sphéricpies. 

Pour résoudre le triangle ABC, où les trois angles et un côlé<' 

sont connus, on a 

. , sinB 

siii o z=isina —. — r- • 
sinA 

En dilTérentiant logarithmiquement, on a 

(ib fia r/B ^A 



tan^6 taiif;6r tan^B taiigA 
el, en donnant aux difTércnti elles le sens d'erreurs probables, 

()b 



tang^ 



V \lanj;6r ' \langB/ "^ VlangA/ 



L*influence d'erreurs inévitables d\ et c^B dans la mesure de*^ 
angles sera d'autant moindre que ces angles seront plus près de 
90°. On satisfait autant que possible à cette condition en adoptant 
la forme équilatérale. Tout triangle dont Fun des angles différerait 
trop de 60" doit être rejeté. 

En France, les triangles de premier ordre n*ont guère plus de 
di\ lieues de côté. Leurs dimensions sont en effet limitées par cette 
condition que, de chaque sommet, il faut pouvoir viser les som- 
mets voisins. En pavsde plaine, cette condition exige la construc- 
tion de signaux très élevés. 

Si a et b sont les extrémités d'un côté, il faudra y élever deux 

signaux a A, 6B, tels que : arc a6 < 38oo"(\ h -^ \^), A, A' étant 
les hauteurs de ces signaux (voir p. loV On en tire, en supposant 
h = h\ 



OPÉRATIONS POUR LA MESURE d'uN ARC DE MÉRIDIEN. !l5l 

En pays de plaine, on aura donc les résultats suivants pour les 
hauteurs quMl faut donner aux signaux, et même dépasser sensible- 
ment afin que la trajectoire visuelle ne rase pas le sol de trop près. 

Haatear 
Longueur d«s côté*. des deax signaux. 

5 lieues 7™ 

6 » 10 

7 » i3,6 

8 » 17,8 

9 » 2*2 , 5 

10 » 27,7 



Mesure des angles des triangles. 

On se servait autrefois du cercle répétiteur de Borda pour me- 
surer les angles plans du triangle formé par trois signaux consé- 
cutifs, A', B', C {^fig' 73). Mais, comme on a besoin du triangle 

Fig. 73. 



sphérique ABC tracé sur la surface terrestre par les pieds des ver- 
ticales des trois signaux, il fallait en déterminer les angles dièdres 
tels que B'A'OC'= A. Pour cela, considérons le trièdre ayant pour 
arêtes la verticale A'Z et les côtés A'B, A'C. En mesurant en A' 
les distances zénithales z et z* des deux signaux B' et C, et Tanglo 
B'A'C ou l'angle a du triangle plan, on aura A par la formule 

cos a = cos z cos z' -t- sin z sin z^ cos A. 



2^2 LIVRE QUATRIEME. — CHAPITRE XIV. 

Évidemment, Tanglc dièdre A du triangle sphérique ABC n'est 
rien autre que la projection, sur le plan horizontal en A, de Tanglf 
plan B' A'C. La très petite différence A — a, que nous désigneron* 
par jc^ peut se déduire de la formule précédente en profitant de ce 
que les dislances zénithales z et :;' diffèrent peu de 90". Cette dif- 
férence A — \' se nomme réduction de r angle B'A'C à V ho- 
rizon. Pour Toblenir, remplaçons z et z' par 90** — h et go" — //. 
<»l A par a — .r, nous aurons 

co<^ --. sin/* si II// — cos/i cos//'cos(a -^ .r>, 

cl nous développerons en série h's sin el cos des petits angles A. 
A' et X en négligeant les termes du quatrième ordre en // el //', ainsi 
que les termes du deuxième ordre en j^, parce que x est déjà dn 
deuxième ordre (si k et //' sont du premier); on aura ainsi 

cos^/ --_ fi/i' -^ cosa — .V siiia — ly/t* — //'*)eos^/. 

Kn mettant i — .>sin*-i^^ à la place dr cos«, il virnt 

.r<\n(i -:- — \{/t — //')-— (//-— //'V)-in-l ^/. 

Knfîn, multipliant i(A — /t' j'iravcos-^f/ — sin-^r/, on obtient, apn'> 
réduction, 

.r sin<7 — 1-(A — h' )* >iii- \ a \[/i h' y cos- la. 

<•(» (|ui re\icnt à 

h — Il r . .h h' .- 



./• 



( — — ) tan-1^/ I — -^ — ) ooljrt. 



<*\prrssion dont le deuxième membre doit être divisé par 20<) 2(ij 
pour donner x en secondes. 

Mais ou a remplacé le cercle répétiteur par le théodolite, qui 
lionne immédiatement Tangle A du triangle sphérique compris 
«•ntre les verticaux FA'C et FA'B' des deux signaux. Ce qu'on 
fuesure ainsi, dans une triangulation, ce sont les angles d'une série 
de triangles sphériques tracés sur une même surface de ni\eau. 

Autrefois on s'astreignait, pour axoir une xérification d<M*hnqur 
triangle, à mesurer les trois angles A', IV, C' du triangle plan dont 



OPÉRATIONS POUR LA MESURE d'UN ARC DE UKRIDIEN. u53 

la somme doit faire 180". Aujourd'hui on mesure les trois angles 
dièdres A,B, C, dont la somme doit être de i8o°H- excès sphé- 
rique. 

Excès sphérique. 

Soit le triangle ABC {Jig- 74) î prolongeons AB de manière à com- 
pléter la circonférence. Prolongeons de même AC et BC jusqu'à cette 
circonférence. L'hémisphère supérieur de la sphère sur laquelle co 
triangle est tracé se composera de la somme de quatre triangles, 
dont deux, ABC, DCE, forment le fuseau C, tandis que les deux 
derniers, joints chacun au triangle ABC, donnent les fuseaux A eî 

Fig. 74. 




B. Cela posé, si Ton prend pour unité la surface de la sphère, 

_A 
36Ô 



A 
un fuseau quelconque A sera représenté par -^- > tandis que Itî 



T 
triangle ABC, rapporté à la même unité, sera représenté par -. — - » 

en désignant par T la surface' du triangle en mètres carrés, et par / 
le rayon de la sphère en mètres. 

On aura donc, en remarquant que l'hémisphère a alors pour sur- 
face ^, 

A B C cîT I 



SGo*» 36o" 360*» 4^/*' "" 2' 
d'où 

A-^Bh-C=:i8o°-+-— ^ X -^=: 18004- 206265"-^. 

» ,v T 
Ce terme 206 265^' -5 est ce qu'on nomme excès sphérique C ; c'est 

l'excès de la somme des trois angles d'un triangle sphérique sur 
deux droits. 

Dans les triangles géodésiques dont les côtés ont ordinairement 



i54 LIVRE QUATRIÈME. — CHAPITRE XIV. 

6| 8 OU lo lieues, cet excès se réduit à i" ou 2*^ ou 3*^ (*). On Tobtient 
aisément en calculant la surface du triangle en mètres carrés comise 
s'il était plan, et en réduisant en secondes le rapport de cette sut- 
face au carré du ravon. Si les angles du triangle ABC ont été bien 
mesurés, l'excès de leur somme sur i8o° doit être égal à cet e\ch 
sphérique. 

Signaux et réduction an centre de la station. 

En pavs de plaine, on est obligé de construire de hautes tourelle> 
en maçonnerie, ou des charpentes très élevées en forme de pm- 
mide, pour porter robser\'ateur et son instrument. On a renoncé 
depuis longtem])s à se servir des clochers. La /ig. 76 donne une 
idée assez nette de ces constructions. 

L'important est que le pilier central sur lequel repose Tinslni- 
inent n'ait pas de points de contact avec la pyramide ni avec h 
plancher sur lequel se place l'observateur. La petite tige verticale, 
sur laquelle robser>'ateur placé à la station voisine devra pointer 
sa lunette, doit se projeter bien exactement au centre du pilier, ce 
qu\>n vérifie à Taide du fil à plomb. 



Si Tobsonatour est l*oreé do placer son instrument en d«'horsdu 
contn* ainsi délorminé, les angles mesuras par lui son>nl affeclé* 
«Tuno erreur dVvcentricitê dont nous avons déjà \u la théorie. 

SoitMil A ^AV. 7.^"^ le contre du signal, et .VB, AC les directions à 

vM Ou xoit |H«urquoi le* trtin^lcs s|>bcnqor» «I* U GcmJéMc ne *«»nl p^s daer- 
:umcs |vjir Wur» lr\»i* gin^K^. Les lomiu)e> /^ Je U |açe *^i ne s-ml |ias applicables. 
.-4r S ■ v^»' — J^" ne »lirtVre Je .#>* que d'un ançle e\or<«ixeiueiit fielit. Jonl U 
^ranJeur eM «le l\»i\ire meute Je> orrvur^ J\^lM4rr«atf*n. Il faat Jone au oiuins •■ 
«^'^r« ci,««MM i^mr le» tnaa^les |4^bs. 



OPEBATI0!tS PODR LA HBBURE D'DM ARC DE MEHIDIEH. -j55 

erver. Soil, de plus, O le pointoîi l'observateur se trouve. Pour 
les directions des signaux seront OB et OC. Prenons pour ori- 
: des angles la droite OM déterminée par les points A et O. Pour 

FlB. 76. 



iCT de l'angle MOB à l'angle MAB, il suClit de retrancher du 
mier le petit angle ^ qui a son sommet en B, angle donné par la 



a56 LIVRE QUATRIÈME. — CHAPITRE XIV. 

relation 



sin? _sinMOB, 



c 



d'où 



par suite, 



S=i2o6'265'-sinMOB, 
c 



MAB -= angle mesuré MOB — % 



On corrigera ainsi toutes les directions observées autour du 
point O, et Ton obtiendra celles qu^on aurait observées si Tinslni- 
nient avait pu être placé au signal A. Ce petit angle ^ se nommr 
réduction au centre de la station. 



Tour d*horizoii. 

Il y a deux causes d'erreur à craindre dans les mesures angu- 
laires de la Géodésie : les lents déplacements rotatoires de Tin- 
strunient sous la main de Tobser^'ateur, et ceux du pilier qui It' 
supporte. Ce dernier cas se présente surtout dans les signaux 
élevés, comme celui des Anglais aux Harlettes {/ig- 76), lorsque 
Téchalaudage central qui supporte le théodolite n'est pas suffi- 
samment protégé contre Faction du Soleil. On y obvie matériel- 
lement en fixant, au pied même du théodolite, une lunette de 
repère qu'on dirige, au début des mesures, sur un signal éloigni' 
(p. io<)). A chaque mesure d'un angle horizontal (* ), on consulte 
celte lunette : si le fil s'est écarté de l'objet visé, c'est que le pied 
du théodolite aura dévié d'un petit angle. On corrige rcrrcuren 
ramenant la lunette de repère, et avec elle tout rinstrument, daD> 
la direction première. 

Mais on a aussi un précieux moyen de contrôle et de correctioD 
en achevant de mesurer tous les angles horizontaux autour de U 
station, même ceux qui ne doivent pas servir , car, leur somme 
devant être égale à quatre droits, si l'on trouve une légère diffé- 
rence, on est conduit, par les règles les plus simples du Calcul des 



(*) Tour le» angles \erticaux le grand niveau du théodolile accuse ton^ ki 
déplacements qui («cuvent survenir dans le plan vertical où 1 on observe et altcfcr 
les distances icnithalcs. 



OPÉRATIO: 



DB LA MESURE D ON AHC DB HBKIDIBl 



aSj 



probabilités, à la répartir également entre tous les angles mesurés 
de manière à satisfaire à la condition susdite. 

L'autre cause d'erreur est de nature plus complexe. Si les si- 
gnaux eux-mêmes se déplacent peu à peu, périodiquement, dans 
le cours d'une journée, sous l'influence du Soleil (et c'est le cas de 
tous les clochers, dont les géodésiens ont dd renoncer à se servir), 
ou bien s'il se produit, sous l'influence du Soleil ou du vent, 
de légères déviations azimutales dans la réfraction, la somme 
des angles d'un triangle mesurés successivement ne sera plus 
180° -+■ excès sphérique. Le Calcul des probabilités nous montrera 
bientôt que la petite difl"érence due à toutes les causes d'erreur 
doit aussi être également répartie, à titre de correction, entre les 
trois angles de chaque triangle. Ces précautions sont d'autant plus 
nécessaires que la mesure d'un angle par la méthode de la réité- 
ration ou de la répétition prend plus de temps. 



Signaux lamineax; phares on héliotropes. 

Il est bien préférable de placer de petits phares portatifs ( lampes 
à double courant d'air avec réflecteur parabolique) sur les pilicriî 




mêmes qu'on doit ériger en chaque station pour porter l'instru- 
ment. Seulement, ces signaux ne seraient visibles que pendant la 



258 



LIVEE QUATRIÈME. — CnAPITBE XIV. 



nuit, à moins d^employer la lumière électrique. Pendant lejonr, 
on remplace la lampe par un petit miroir que Ton manœuvre de ma- 
nière à envoyer la lumière du Soleil dans la direction de Tobser- 
vateur. 

1° Signaux de nuit; phare du colonel Man gin {Jig* 75). — 
Il suffît de donner ici le dessin de cet ingénieux appareil dont la 
source lumineuse, une simple lampe à pétrole, peut être remplacée 
par la lumière bien plus intense que fournit Télectricité. 

a® Signaux de jour; héliotrope de Gauss. — L'héliotrope de 
Gauss se compose d'une lunette montée sur un trépied, comme le 
théodolite, et munie, en avant de Tobjectif, de deux miroirs assem- 
blés à angle droit, qui ne recouvrent que la moitié de cet ob- 
jectif. 



|<T — — 




. .'. ÎS.N -N >.■«•> 







Ki:;. -s. 

« 

En faisant tourner ces miroirs jusqu'à ce que Tun dVux en\oie 
los ra\ons réllôchis du Soloil clans la lunette, où ils forment une 
image de col astn*, l'autre niin»ir enverra un faisceau de ra\ons so- 
laires dans la direction diamétralement opposée, et, si la lunettede 
rhéliotrope est dirigée sur rinstrument de robser\ateur, la lunette 



OPÊEATIOXS POUR LA MESURE D*UN ARC DE MÉRIDIEN. aSQ 

de celui-ci recevra un faisceau de rayons très sensiblement paral- 
lèles, qui formeront au foyer une image semblable à celle d'une 




$ f 
* r 

// / 



il ! 




étoile, sur laquelle il sera facile de pointer avec une grande pré- 
cision. 

La théorie de cet instrument, qu'on utilise aujourd'hui àTarméc 
pour envoyer au loin des signaux télégraphiques, est bien simple. 
Pour que Timage perçue par l'observateur fût celle du Soleil tout 
entier, il faudrait que le miroir eût des dimensions telles que, vu 
delà station, il sous>tendît, comme le Soleil lui-même, un angle de 
Sa'. Soit d cette dimension, et 4o ooo*" la distance de l'observateur, 
car telle est la plus grande longueur des côtés de nos triangles. On 

devra avoir 3438' 7 = 32', d'où û?= 4oo". Comme on ne lui 

40000 

donne pas même o",i de côté, l'image qu'il enverra à l'observateur 

n'aura pas -j^ ou -, du diamètre du Soleil, ce qui répond à 

^ 400 4000 * * 

3^' lO/ïo'' 

7 = -j-^ — = o",40' L'image vue dans la lunette sera donc un 

4000 4000 ^ 

point lumineux semblable à une étoile. 

Ce genre de signaux serait parfaitement perceptible à une qua- 
rantaine de lieues, s'il était possible à Tobservateur ou au porteur 
de l'héliotrope de se poster au sommet d'une cime assez élevée. 

Cet instrument, actuellement en usage en France, a été singu- 
lièrement simplifié par le commandant Perrier. 11 se réduit à un 
miroir monté sur deux axes rectangulaires, et posé sur le pilier de 
la station précédemment occupé par le théodolite, juste dans les 
mêmes repères, de manière à éviter toute réduction au centre de la 



station. Un aide manœuvre ce miroir à la maîn ei se guide, pour 
diriger le faisceau de lumière solaire qu'il doit envoyer au théodo- 




lite do l'observateur, sur une planchette percée d'un trou circulairi- 
dont le faisceau lumineux doit éclairer le pourtour. 



Hesnre des bases. 



Joiunncmenl. — Sur un terrain hien plal, à proximité du ré- 
seau, on élahiît deux ))ilier5 destinés à (i\er les eitrérailés d'une 
hase de lo^" à la^". Pour la jalonner, on place vers le milieu Ar 
cette base, et dans sa direction, une lunette semblable à la lundi'' 
niOiidienue dont on rectifie avec le plus grand soin la ligne de vi- 
sée, de manière à la rendre hieo perpendiculaire à l'axe de rola- 
tion rendu lui-même parfaitement horizontal. Les piliers des extré- 
mités ne doivent mt^me être dénnilivemenl scellés ffu'après qu'm 
se sera assuré que le (il vertical de la lunette, tournée altemili* 
vemcnt vers leurs mires, les bîssectc exactement. On fait ensailr 
planter, des jalons en nombre convenable, de manière qu'ils « 
projettent lous sur le fît vertical de la lunette. 

Règles et chevalets. — Dans l'alignement ainsi tracé, on plwe 
bout à bout trois règles de 4" en platine, portées sur des trsvenf^ 
de bois et sur des chevalets. Elles sont nivelées avec solo. (^ 



OPÉRATIONS POUR LA MESURE D*UN ARC DE MERIDIEN. 'l6l 

estime ensuite leur température par la dilTérence de dilatation entre 
elles et une seconde règle de cuivre soudée à une de leurs extré- 
mités. Elnfin, on mesure, à Taide de languettes mobiles à verrous 
munies de verniers, le petit intervalle laissé à dessein entre leurs 
bouts afin d^éviter les chocs. 

Puis, laissant en place les deux dernières règles, on enlève la 
première qu^on reporte plus loin, bout à bput à la suite de la der- 
nière, toujours en évitant le contact, et l'on^'ôpère sur cette seconde 
portée comme sur la précédente i^fig- 8i). 

Lorsque le terrain n'est pas bien horizontal, on mesure Tincli- 
naison de chaque règle avec le niveau. 

Fig. 8i. 




Pour une base de 12000°, il faut placer ainsi bout à bout 
3ooo portées. L'opération dure environ un mois. A la fin de chaque 
journée, on fixe sur le sol le point auquel on est arrivé, et pour 
cela on enfonce en terre un fort piquet vers le bout libre de la der- 
nière règle. On marque un point sur la tète du piquet; on y laisse 
tomber un fil ù plomb touchant en haut la languette de la règle. 
Le lendemain, pour recommencer, on replace le fil à plomb, et 
par suite la règle de la veille dans la môme position. 

Soient /o la longueur d'une de ces règles en platine, étalonnée 
avec soin à o" du thermomètre sur la toise du Pérou, ancienne 
unité linéaire des géodésiens, ou aujourd'hui sur le mètre des 
Archives nationales, k son coeHicient de dilatation, sa tempé- 
rature, M> le petit intervalle laissé à dessein entre deux règles con- 
sécutives et mesuré au moyen d'une languette à verrou munie 
d*un vernier, i son inclinaison sur l'horizontale; la longueur de la 
base sera, en désignant par n le nombre des portées, 

B = /i/o -+- Sr H- (/qH- i')2A-0 — 2( /o -^ r) Ssin*i/. 



2G2 LIVRE QUATRIÈME. — CHAPITRE XIV. 



Degré de précision de la mesure d'une base. 

Désirons par dlo rcrrcur probable de rélalonnage, dH Terreur 
probable de la tempéralure de la règle sur le terrain, dir Terreur 
probable de la mesure d*un intervalle laissé entre deux, règles : le 
carré de Terreur probable de la base B sera 



rz 



en supposant que les inclinaisons / aient été bien mesurées et que 
les portées aient été exactement placées sur Talignement gé- 
néral. 

Supposons dla = — o^'^jOi, <W = == i**, dr = j^ de millimètre, 
on aura, avec k = 0,000086 , B = 1 2 000" , 



OB —- y 3o — io3 — 7,5 —- 120°*™ à peu près. 

Ainsi -rr- = , et c'est à un cent-millième près que les di- 

r> 100000 * ^ 

mensions linéaires du réseau entier seront déterminées. 

Les deux causes d'erreurs prépondérantes sont donc ici un étalon- 
nage imparfait et Tévaluation si difïîcile de la température des règles 
sur le terrain. C'est sur ce second point que s'est portée prin- 
cipalement Tattention de Borda. Il a résolu le problème par Tin- 
vention des règles bimétalliques, cuivre et platine. Chaque règle 
se compose de deux règles superposées, de dilatation différente, 
fixées Tune à Tautre par une de leurs extrémités, et avant toutes 
les deux la longueur /© pour H = o". A Taide d'un vemîer tracé à 
Tautre extrémité, on mesure, à un instant quelconque, la diffé- 
rence d de leurs longueurs. En désignant par A' le coefficient de 
dilatation du cuivre, double à peu près de celui du platine, on aura 

d'où Ton tirera 0, pour le même instant. Mais, même avec celle 
ingénieuse disposition qui a été adoptée par les géodésiens do 
monde entier, on n'obtiendrait rien de bon si Ton ne garanlisi^il 
par un petit toit les règles métalliques contre les ravons du Soleil 



OPÉEATIONS POUE LA MBSUEB D*UN ABC DE MÉRIDIEN. a63 

< 

OU la radiation vers le ciel. Pour obtenir une précision supérieure, 
celle d'un millionième par exemple, il faudrait être en état de dé- 
terminer la température des règles à 0^,1 près. 



Rédaction de la base au niveau de la mer. 



Le terme — a(/4- c^)Ssin^^e réduit la base à Thorizonde Tune 
des extrémités. Elle donne dès lors la longueur d'un arc de cercle 
tracé sur la surface de niveau passant par ce dernier point. 11 reste 
à la projeter sur la surface de niveau des mers, ce qui ramènera 
toute la triangulation à ce même niveau. Soient k raltitude de la 
base AB, r le rayon terrestre ; on aura 

Fiff. 82. 




rr. = 7 > d ou AB — ab^=^ — AB. 

arcAB r -:- h r 

Pour A = 400", AB = 12000", r;=6 4ooooo™, cette réduction 
serait de o",8o. 

L*altitude de la base est fournie, comme on le verra plus loin, 
par un nivellement géodésique poussé jusqu'à la mer la plus voi- 
sine. 

Jonction de la base avec le réseau. 

Si la base étaitdirigée perpendiculairement à Tun des côtés, vers 
son milieu, les triangles de jonction formeraient un losange dont 
la base et le côté seraient les diagonales. Avec un côté de 10 lieues 
et une base b de 3, l'angle B au sommet sera de 33**, angle assuré- 
ment défavorable, et comme l'erreur probable du côté conclu u, 
en tant qu'elle dépend de celle de cet angle, est 

b ''^^ 



264 



LIVRB QUATEIÊME. —CHAPITRE XIV. 



elle se réduira, en supposant dB = i"^, à ^ de mètre, tandis qu'avec 
une base de j lieue elle serait de 2"*. 

On voit par là combien il importe de donner à la base la plas 
grande étendue possible. De quelque manière que la jonction soit 
faite, il faut toujours conclure du petit au grand, et, à ce compte, 



f: 



Fig. 83. 






e".. 



i 




\ 

N 



en supposant même exactitude dans les opérations de la jonction, 
les bases de 2000** mesurées en Allemagne et en Russie donne- 
raient une précision six fois moindre. 

Le plus souvent la hase ne peut être mesurée dans remplacement 
le plus commode. On la relie alors au coté voisin par une triangu- 
lation plus compliquée dont les figures ci-jointes offrent deux mo- 
dèles. 



CALCUL DES TEIANGLES GÉODÉSIQUBS. ^65 



CHAPITRE XV. 

CALCUL DES TRIANGLES GÉODÉSIQUES. -- THÉORÈME 
DE LEGENDRE. — COMPENSATION DES ERREURS. 



Réseau géodésiqne français. 

Pour donner une idée de la vasle triangulation qui couvre notre 
territoire, nous plaçons ici la Carte géodésique de France à très 
petite échelle. Ce réseau se compose de trois méridiennes, celle de 
rOuest, celle de Paris et celle de l'Est, coupées à angle droit par 
six chaînes de triangles dirigées suivant les parallèles d'Amiens, de 
Paris, de Bourges, de Lyon, de Rodez et de Perpignan. Ces grands 
quadrilatères ont été eux-mêmes remplis de triangles de premier 
ordre. II sera question plus tard des triangulations dirigées le long 
des parallèles; actuellement nous nous bornons à appeler Tatten- 
tioD sur la grande chaîne qui s'étend de Dunkerque à Perpignan. 
Elle a été poussée plus loin, par Barcelone, jusqu'aux îles Formen- 
tera par Biot et Arago, et nos officiers d'état-major viennent de 
la prolonger encore, en commun avec les officiers espagnols, par- 
dessus la Méditerranée, jusqu'à notre triangulation de l'Algérie. 

Désignons désormais par a, 6, c les longueurs en mètres ou en 
toises des côtés du triangle géodésique ABC. Les arcs correspon- 
dants seront, en parties du rayon r de la sphère, -> - > -• Le pre- 
mier ayant été mesuré directement, nous calculerons le second par 

, h , a sinB 

sm - ^ sm ; — 7- • 

/* /• sinA 

Les arcs étant petits, il y aura avantage à remplacer leurs sinus 



a66 LIVEB QUATElàMK. —CHAPITRE XV. 

par leurs développements en fonction des arcs, ce qai donne 

b i b^ __ /^ * ^* \ ^'"^ 

r 6 r' " ' ~" \r 6 r* * ' / sinA 

Négligeons les cinquièmes puissances des petits arcs et écrivons 

b a sinB 



/• r sinA 



I /6» _ o^ sinB \ 
6 \r' r* sinA/ 



Il est permis, avec la même approximation, de remplacer -| par 

, 1 / rt* sin*B jw • • ^ 

sa valeur approchée —^ . ^ . > et d écrire, en remarquant que 



sin*B — sin*A r=sin(B -^ A)sin(B — A), 
b a siiiB I a' sin(B -f- .\)sin(B — A)sinB 



r r sinA 6 r' sin'A 



('). 



On peut donc calculer le triangle ABC comme s'il était plai| 
c'est-à-dire par la formule 

sinB 
b^^a— — r-> 
smA 

à la condition d'ajouter à cette valeur un petit terme correctif dool 
la valeur ne saurait dépasser o", 25. Pour l'évaluer, en effet, fia- 
sons a = 4o ooo", r = 6 4oo ooo™ ; on aura 

a \ a^ I \ a} \ 4oooo" - 

- = -:— » -T = -z-x — el - — — - — — — z=L o",ao. 
/• loo r* '.îjooo or- b aoOoo 

Legendre a remarqué qu'on pourrait se passer du terme correc- 
tif si, au lieu de calculer ce triangle comme plan avec des angles 
évidemment un peu trop forts, on retranchait tout d'abord de ces 
angles le tiers de Texcès sphérique pour les ramener à la condition 
des angles d'un triangle plan. Soit C l'excès sphérique du triangle 
ABC qu'on obtiendra immédiatement par 

C:^ A-hB^C — i8o». 



(') On chasse le dônoininateur r, en sorte que le calcul ne porte plus sur le^^ 
arcs eiprimiîs en minutes et secondes, mais sur leur longueur en mètres. 



CARTE DD RÉSEAU GËODËSIQUE 



DE L.V filv.^(:e. 




c plati les tiiaii^lc!^ .le premioi 



268 LIVEB QUATBIÊMB. — CHAPITRE XV. 

On aura, en opérant comme le prescrit Legendre, 

sîn(B-JÇ) 
sin(A — \C) 

Développons ces sinus et divisons haut et bas par cos^6: 

b a I — lanjr|CcolB sîn B 
r r I — tangj6cotA sinA 

Pour effectuer cette division aux termes près du deuxième ordre 
en C, il suffît de multiplier le numérateur par i +tangjCcot A, ce 
qui donne, en remarquant que 

. „ sîn(B — A) 

COtA — COtD =■ — : — îT — : r— > 

sin D Slll A 

b a sinB a i sinB sin(B — \) 

- = •' — r H — tang « c - — r . ^ . — r" ' 

r r Slll A /• 6 sinA sinBsiiiA 

Mais nous avons vu plus haut que Texcès sphérique C a |>our va- 
leur 

T |^6sinC I a* sinB sin(B -4- A) 

/•* /•* 2 /•* sinA 

On peut donc remplacer plus haut tang^^ par 

1 a* sinB sin(B -f- A) 



6 r* sin A 



9 



aux termes près du troisième ordre (*). La relation précédente de* 

vient 

b a sinB i a' sinB sin(B 4- A)sin(B — A) 



r r sinA C r* sin* A 



c*est-à-dire justement ce que nous avons trouvé par le premier 
procédé. Donc, au lieu d^employer ce procédé, on a la même e\ac- 



(') Comme dans cette substitution tang^C est multiplie par —t le lerme du 

second ordre en C, que nous venons de négliger, aurait lui-mt^roe — pour fartear: 

a* a* 

et comme C" t'st de Tordre — > l'erreur serait encore de Tordre — r • 

r* r* 



THEORBME DE LEGENDRE. 269 

titude en traitant les triangles géodésiques comme des triangles 
plans, après avoir retranché de leurs angles le tiers de l'excès sphé- 
rique. Les termes que l'on néglige ainsi dans l'un et l'autre cas ont 

pour facteur r> c'est-à-dire lorsque a est de /loooo'". 

^ lao /•* 3 000 000 ^ 

Finalement, pour résoudre le triangle sphérique dont on connaît 

le côté a en mètres et les angles dièdres A, B, C, on calculera C 

par 

£ = Ah-Bh-C — 180", 

puis on obtiendra 6 et c par les formules 

, sinB' siiiC 

br=.a — — T-: ) cz=La - — r-, j 
sinA sinA 

dont les angles sont donnés par 

A'=A-K, 
B'=B-K. 

, , l) C Cl"^ 

On obtiendra ainsi — et — aux termes près de l'ordre — r • 

On calcule ainsi de proche en proche, en partant de la base, tous 
les triangles d'un réseau. Pour vérification, on mesure, à l'autre 
extrémité du réseau, une seconde base dont la valeur, calculée par 
la chaîne des triangles, doit s'accorder, à une petite fraction près 
du mètre, avec la valeur obtenue directement. C'est ainsi que la 
triangulation de la France s'appuie sur sept bases qui ont été 
mesurées : 

i^ A Melun, par Delambrc et Méchain; 

îi" A Perpignan, id. 

3*^ A Ensisheim, par le colonel Ilenr} ; 

4" A Brest, par le colonel Bonne; 

5" A Aix, en Provence, par le colonel Delcros ; 

6" A Bordeaux, par le colonel Brousseaud; 

7" A Dax, par le colonel Corabœuf. 

La grande méridienne russe de 25° d'amplitude a treize bases; 
mais celles-ci sont bien plus petites que les nôtres. 



270 LIVRE QUATRIÈME. — CHAPITRE XV. 

Compensation des angles d*an triangle. 

Si l*on ne mesurait sur le terrain que les éléments nécessaires 
au calcul d^une triangulation, il ne serait pas question de corriger 
ces éléments : on les introduirait dans les formules tels que Tobser- 
vation nous les donne. Mais, à titre de vérification, on fait le plus 
souvent des observations superflues; par exemple, on mesure le 
troisième angle de chaque triangle et, au bout d^une chaîne de 
triangles, on mesure une secondebase. De là des relations nouvelles 
entre les éléments nécessaires et les éléments superflus, relations 
(|ui doivent être rigoureusement satisfaites. Evidemment elles ne le 
pourront que si Ton fait subir aux mesures de petites corrections. 
Nous allons les déterminer par la condition que la somme de leurs 
carrés soit un minimum. 

Partons du cas le plus simple. On a mesuré les trois angles A, B, 
C d'un triangle plan et obtenu les résultats a, ,3, y» en sorte que les 
équations de la question sont 

■'=: / 

B —: 3 ('(piations susceptibles de petits résidus, 

c = V \ 

V-r- H -r- C ^^ i8<.»*, équation qui doit être satisfaite rigoureusement. 

Si Ton se reporte à la théorie des erreurs (p. ig^). on verra qu*il 
uVst possible d'appliquer directement la méthode des moindres 
carivs qu'à des inconnues indépendantes les unes des autres. Ici la 
qualriomo équation établit entre elles une dépendance rigoureuse'. 
11 l'aut donc éliminer, à l'aide de cette équation, une des incon- 
nues, A par exemple, ce qui réduit le svslème de ces équations à 

B zr 3, 

V. — ,. 

B -C:^ 180-1. 

rruilons-les par la méthinle des moindres carrés ; nous aurons 
les équations tiualos on éorl>anl 

jB C > - iSo - 2. 
B - jC — - — iSo — 2. 



COMPENSATION DES ERREURS. Hyi 

On en tire 

3C=:2Y-+-i8o — a— p--3Y-i- i8o — (a-4-? h 7), 

C--=:Y~i(a-+- ?-+-Y-i8o«), 
de même 

B — p — l(a-+-?-f-Y— »8o»). 

En portant les deux valeurs dans la quatrième équation ci- dessus, 
on trouve 

Ainsi, lorsque la somme des trois angles d^un triangle plan 
mesurés avec le même soin ne fait pas juste 180®, la correction la 
plus probable consiste à répartir par tiers la difTcrence entre les 
trois angles. S^il s'agissait d'un triangle sphérique, il suffirait de 
remplacer dans les formules précédentes la somme 180** des trois 
angles par 180® -|- C. 

Compensation d'un réseau de triangles. 

S'il n'y avait pas d'autre mesure superflue dans le cours de la 
triangulation y on se contenterait de corriger ainsi les angles de 
chaque triangle pris à part. Mais si nous supposons une seconde 

Fig. 85. 




base, il en résulte, entre les angles et les côtés, une relation que 
l'on obtient en multipliant membre à membre, d'un bout à l'autre 
de la cliaine, les analogies 

a sin.\ h sinB' a' sinA" 



272 LIVBB OUATRIÉMB. — CHAPITBB XV. 

Pour fixer les îdées, supposons iroîs triangles îotermédîaîres 
seulement, et représentons par a et b' deux côtés mesurés direc- 
tement, c'est-à-dire les deux bases que nous considérerons comme 
rigoureusement exactes. La relation nécessaire sera 

a sin \ sinB'sîn A" 

Z/"'sinBsinA'sinB'' 

D'au ire part, on a mesuré les trois angles de chaque triangle. 
Voici donc l'ensemble des relations fournies par ces mesures : 

A:--_a, A':=-.a', k'-a' 1 

B -— 3, B' ~ 3', B" -: ^i^" > équations susceptibles de résidus, 

C:=Y, G'^r, C^-rv" ' 
A 4-B -i-C =!8o-H^ 

A'-t-B'-hC — iSo-t-C' 

A''-hB''-hG''--^i8o-f-^'' 

a sin A sin B' sin A* 
b' " ■ sin B sin V sin B" 



équations qui doivent être rijjoti- 
reusement satisfaites. 



Les neuf inconnues étant reliées parquatre équations de rigueur, 
il faudra, avec l'aide de celles-ci, éliminer quatre d'entre elles, ce 
qui réduira le nombre total des équations de treize à neuf, et U' 
nombre des inconnues de neuf à cinq. 

Alors nous serons en droit d'appliquer la méthode de I-.cgendre, 
car les inconnues conservées sont indépendantes les unes de^ 
autres. 

On remarquera que Tune des équations de rigueur n'est pa> 
linéaire. Pour lui donner cette forme, nous suivrons la marche indi- 
quée page Kjf), c'est-à-dire, considérant a, p, y, a, fi', ..., foumie> 

par l'observation , comme des valeurs très approchées de A , B, C 

nous désignerons par x, j-, ;;, x', j', ... les très petites correclion> 
qu'il faut leur ajouter, de sorte que 

A— a-hx, A':=a'-}-.r', 

H-?^J , 

Avant de porter ces expressions dans les treize précédentes , 
remarquons que la dernière peut être écrite de la manière 



COMPENSATION DES ERRBUBS. ajS 

suivante: 



p a sinB sinA'sinB" _ 
6' sinAsinB'sinA' 

En remplaçant B par ^ -h^', A' par a -+- x', . . . , on développera 
les logarithmes en négligeant les puissances supérieures des petites 
corrections y, x', . • • > ce qui ramène cette équation à la forme 
linéaire. Posons 

206 265^ 1' - "'"P"^"^'^'"^' nar k 
b sinasmp sm^' * 

puis 

180 -hC— a — 3 — 1 par w, 

j8o-hC' — a' — 3' -y' par z^', 
i8o-hC''— a^'-^^'-Y* par n\ 

on aura les treize équations 



ft 



X T=: o, .r — O, X —: O, 



(1) i/=o, / ^o, /'— o 



) 



^ m: O, z' ^izOf z" ~=z O, 



1 j; H-/ H- w -+- /J — O, 

I r."-!- r-^'-i- t'^.l. fi'' 



•>f -^r H-^ -H/i''=o, 



(3)/col34-J:''cota'-i-/''cotfl''— j:cota— /col^'— a.''cota"-l-/i-=:o('). 

Des quatre équations rigoureuses (a) et (3) tirons les valeurs 
de quatre des inconnues, y, 2, z', z" par exemple, en fonction des 
cinq autres. Voici ces valeurs : 

' _ .^•'^ota' y" coi}" 
^'~' cet 3 cotp 

.root a y roi 3' .rVoU" /• 
"^ cotp "^ cotp "^ cot? cet?' 

.rVota' r'col?" 



coip col 3 

xcota r'ootS' ./•"cola"' k 
coip coip cotp cot^* 

z' — — n' — j;' —y, 



f P f H 

Z -Z - - /r — .T — V . 



(') Celle équation résulte de la différen lia lion de la relation logarilhmique pré- 

18 



Vi 



LIVRE QUATRIEME. — CHAPITRE XV. 



En portant ces valeurs dans les équations (i)^ nous formerons 
les neuf équations suivantes entre les cinq autres inconnues, qu*ou 
pourra désormais considérer comme indépendantes : 



(5) 



n — a -t- 





JC o, 






jt" o, 




.7-' col a' 


col? 


.root a 

1 


col? 


' col? 


1 


v'rotS/ 
col? 


.r'rota' 

1 


■ I ■ 


' col? 


1 


v'col?" 
col? 


.rrola 


col? ' 


col? 




vVol?' 
col? 


.r rota 




col? 


fi' 


.r' y' 


:_0, 


•1 

n — 


X" - y 


— o, 




y 


-o, 




. y". 


- O. 



A 



col? 



=^o, 



col? 



— O, 



De ces équations, traitées par la méthode de Lc*;:endre, on dé- 
duira les valeurs les plus probables de x^x^x^^y'^y^ et, en por- 
tant celles-ci dans les équations (4)» on obtiendra les valeurs Ie^ 
plus probables de >, >3,z', z" , Ces neuf valeurs satisferont à toutes 
les conditions de rigueur, telles que celle de reproduire identi- 
quement les bases, de quelque manière qu*on conduise le calcul 
pour aller de Tune à Taulre. 

L'exemple simple que nous venons de donner trace la marche à 
suivre dans des cas plus complexes. 

Les géodésiens s'attachent à multiplier les moyens de vérifica- 
tion. Non contents de mesurer les trois angles de chaque triangle, 
ils achèvent en chaque station le tour de Thorizon. Au point A, par 
exemple, après avoir mesuré A, C, B'', ils mesurent encore Tangle 



cédente par rapport auv angles, non par rapport aui. bases a et b\ que nous suppo- 
sons exactement mesurées et non susceptibles de correction. 



COMPENSATION DES ERREURS.. 27> 

extérieur A, de manière à avoir Téquation rigoureuse 

 4- C -h B'' -h A ziiz 36o«, 

à laquelle leurs mesures devront satisfaire. De plus, ils s^imposent 
la règle d'observer dans certaines stations des directions superflues, 
par exemple, en A la direction AD, en C la direction EC, etc. 
Chaque observation superflue introduit ainsi une équation nouvelle 
entre les angles seulement, ou entre les angles et les côtés. Vérita- 
blement, en multipliant ainsi ces équations de rigueur, on augmente 
la probabilité des corrections obtenues par les méthodes dont la 
Géodésie est principalement redevable à Gauss et à Bessel, mais 
le calcul se complique bien vite et devient impraticable dès qu'on 
veut l'étendre à un réseau géodésique un peu grand ('). A notre 
avis, il vaut mieux, en général, employer son temps et ses res- 
sources à perfectionner sur le terrain les mesures nécessaires qu'à 
recueillir des mesures superflues dont on est ensuite incapable 
de tirer parti dans le cabinet. 

Observations astronomiques pour déterminer la direction 

et l'amplitude de la méridienne. 

Azimut du premier côté et colatitude du sommet, — On place 
en A un cercle méridien portatif, pour y déterminer la colatitude A 
et la direction A;,, du méridien, en érigeant en m une mire tempo- 
raire. Remplaçant ensuite le cercle méridien par un théodolite, 
on mesurera l'azimut //lAB--:^ A| du côté AB. Par suite, la direc- 
tion ARSÏ . . . XYZ de la méridienne à travers la chaîne des 
triangles se trouvera déterminée. 



(•) On en est réduil alors à décomposer le réseau en groupes séparés et à y opé- 
rer des compensa lions parliellcs d'après les règles précédentes; mais ce procédé 
laisse évidemment une place assez large à l'arbitraire, et ne répond pas à Tidéal 
de la théorie, qui serait de déterminer les corrections par l'ensemble de toutes les 
équations de condition. 



U76 



LIVRE QUATRIEME. — CHAPITRE \V. 



Calcul de la méridieniie par segmenta. 

Dans le triangle sphérique ABR, on connaît le coté AB 
les angles dièdres A i et B. La formule 

T 

C ■=. 206 265" -; > 



= c et 



A, 



m 



l> 



pour laquelle T peut être calculé par la formule connue des 
triangles plans 

fera connaître Texcès spluVique de ce triangle. On ramènera donc 
la résolution de ce triangle sphérique à celle d*un triangle plan en 



CALCUL DE LA llÉft IDIEN'NE . 277 

retranchant j£ de ses angles, et Ton aura 

R— iC = i8o«— (A,— }i:4-B- J-e), 

sin(R— Je) sin(H — |c) 

Dans le triangle suivant 6RS, on connaît BR et les angles en B 
et R, ce dernier étant le supplément de l'angle R obtenu précé- 
demment. On en déduira donc le second segment RS. Le troi- 
sième triangle SDT donnera le troisième segment ST. On arrivera 
ainsi au dernier segment UX. 

Le point X n'étant pas déterminé sur le terrain, on ne saurait y 
observer la colatitude. C'est en V queX' aura dû être mesuré. Soit 
VZ l'arc de parallèle passant par V et décrit (sur la sphère) du 
pôle P comme centre. Il reste à calculer ce dernier tronçon XZ. 

Pour cela, menons l'arc de grand cercle VY perpendiculaire- 
ment à la méridienne. Le triangle XVY se calculera comme les 
précédents, et fera connaître en mètres les côtés XY et VY. Ré- 
duisons ce dernier en arc, en divisant sa valeur en mètres par le 
rayon /• de la Terre. Le long triangle sphérique PVY nous donnera 

sinP I I 

iïiTVY ~ imPV "" iTnT ' 

puis on aura 

tangPY' 3=: cosP tangPV, 

doù 

PV_PY — tang«|Psin2)/- . .. 

Cet arc transformé en mètres donne YZ. 

Ainsi, l'arc de méridien compris entre les parallèles de A et V de 
colatitude sera, en mètres, 

AR -H RS -+- SX -T . . . ; XV -+- YZ. 

Enfin si l'on mesure en V l'azimut du dernier côté VX, cet azi- 
mut devra s'accorder avec celui qu'on déduira de l'angle en X du 
triangle VXY, et servira ainsi de vérification. 



278 LIVRE QUATRIÈME. — CHAPITRE XVI. 



CHAPITRE XVÏ. 



SUR LA COURBURE DES SURFACES CONVEXES. 



La Terre n'étant pas une sphère parfaite, les verticales, c'est-à- 
dire les perpendiculaires à la surface des eaux tranquilles ne con- 
courent plus au centre, et même les verticales des trois sommets 
d'un triangle géodésique ne se rencontrent pas en général; elles 
passent seulement, vers le centre de courbure moyenne de la région 
considérée, dans un anneau excessivement étroit. Il nous faut donc 
étudier les petites modifications que la forme propre au globe ter- 
restre, d'ailleurs si peu difTérenle d'une sphère, doit introduire, 
sinon dans les opérations précédentes, du moins dans les calculs 
qui s'y appliquent. Pour cela nous allons exposer aussi simplement 
que possible quelques notions indispensables sur la courbure des 
surfaces convexes et sur les lignes qu'on y peut Iracer d'après 
une définition géométrique; telle est la ligne ARST. . . de la 

A>. 86. 

Indicatrice; rayons de courbure principaux. 

Supposons qu'une surface rapportée à trois axes rectangulaires 
soit représentée par l'équation z z=f(^x^y) et qu'on puisse appli- 
quer la série de Maclaurin au développement de cette équation: 
on aura, en désignant par l'indice o les valeurs que prennent les 
coefficients du développement général quand on y fait x = o, 



SUR LA COURBURE DES SURFACES CONVEXES. 



279 



Si la surface passe par Torigine, tangentiellement au plan des xj^^ 
et qu'on choisisse la direction de Taxe des x de manière à faire dis- 
paraître le terme en xy, l'équation se réduira à 






(d>r 



V<r*jo'-> 



Coupons la surface par un plan parallèle à celui des xy et situé 
à la hauteur A (infiniment petit du deuxième ordre); la section 
aura pour équation, en négligeant les termes d'ordre supérieur, 



'Xh:=. 



_ (^f 



. (^Lf\ 



dx^o-^'-^'W)/' 



Ce sera donc une ellipse si la surface est convexe, car alors les 
coefficients dex^ et de y^ seront positifs. Cette ellipse infiniment 
petite a reçu de M. Ch. Dupin le nom à^ indicatrice ; l'étude de 
ses caractères géométriques indique et détermine ceux de la sur- 
face elle-même autour du point considéré. 

Fig. 87. 
Ct 




Pp .y 



Menons par l'axe des Zy c'est-à-dire par la normale à la surface en 
O, un plan quelconque qui coupe la surface suivant la courbe 
A'OA et le plan de l'indicatrice suivant le diamètre A'A =ap. 
Soit OC = 2r le diamètre du cercle osculateur en O, c'est-à-dire 
du cercle qui passe par les trois points infiniment voisins A',0, A. 
II est évident que 

BA' = (2r — A)A, 
ou, en négligeant A^, qui est du quatrième ordre de petitesse, 



p*:— 2/7l. 



28o LIVRE OUATmàME. — CHAPITRE XVI. 

Ainsi le rayon de courbure d'une section normale quelconque est 
représenté par le carré du rayon correspondant de l'indicatrice. 
Désignons par a et b les deux axes de celle-ci, en sorte qu*on ait 

b* a* 

Les deux sections normales passant par les axes, et ayant pour 
rayons de courbure Ret R', donneront lieu aux relations 

(i) b^—iWh, a«=T2H/i, 

et Ton voit immédiatement qu'à ces deux sections, dont les plan> 
sont rectangulaires^ répondent les rayons de courbure maximum et 
minimum. 

Si, pour orienter toute autre section normale, nous désignons par 
(f l'angle que sa trace fait avec le demi-axe i,nous aurons 

par suite 

p' P* . 

b* ' a^ ' ' 

ou bien 

77; COS'O -r- rr Slir O = ) 

IV * H * / 

relation qui donne le rayon de courbure r d'une section normale 
dans un azimut <f, quand on connaît les rayons de courbure princi- 
paux Ret R'. 

Courbure moyenne. 

De même qu'on se représente la courbure d'une ligne en consi- 
dérant le triangle infiniment aplati A'OA formé par deux élé- 
ments consécutifs OA, OA', la corde A^V= ap et la flèclic OB= A. 
de même on peut se représenter la courbure d'une surface autour 
du point O en considérant le cùne infiniment aplati que forment 
les éléments rectilignes, tels que OA, OA', de toutes les sections qui 
passent par la normale en O. C'est un cône droit ayant pour basi* 
rindicatrice ; ses plans principaux répondent aux axes de celte 
courbe. 



SUR LA COURBURE DES SURFACES CONVEXES. 281 

Nous aurons à examiner jusqu'à quel point il est permis de sub- 
stituer un élément de sphère à un élément du sphéroïde terrestre. 
Pour cela considérons d'une manière générale à quelle condition 
doit satisfaire une surface supposée flexible, mais inextensible, 
pour s'appliquer sur une autre, et quelles sont les lignes tracées 
sur la première surface qui ne changent pas de caractère en s'ap- 
|)liquant sur la seconde. Il est évident qu'un cône ne peut s'appli- 
quer ainsi, exactement, sur un autre cône que si les angles au som- 
met de leurs développements sont égaux, c'est-à-dire si la déchirure 
qu'ils subissent en s'appliquant sur un plan est la même. Nous al- 
lons montrer que cet angle de déchirure, pour un élément quel- 
conque de surface, est inversement proportionnel à Taire de l'in- 
dicatrice. 

L'aire du triangle élémentaire Omn est Ip^^^'f • C'est la projec- 
tion, sur le plan de l'indicatrice, de l'aire d'un triangle élémentaire 
du cône ^p'^d(f'. Désignons par p la perpendiculaire abaissée du 

Fig. 88. 




centre sur la tangente Pm/i, par i l'angle que la génératrice p' du 
cône projetée en Om = p fait avec le plan de la base, par î' l'incli- 
naison analogue de la droite qui joint le sommet du cône au 
point P; Tangle f sera l'inclinaison de l'élément plan du cône. Par 
conséquent 

p'= -^ et lp*f/o= ^-^.cosi'd^'; 



en d'autres termes. 



Mais on a 



, , , cos'i 



ces i' 



h ^ ., h 
lang«=i-, tanffi'i=:-: 

P P 



l'équation différentielle précédente devient donc, en considérant 



282 LIVRE QUATRIÈME. — CHAPITRE XVI. 

que i et rsonl des angles infiniment petits, 



/ I /i« V 

O^ 14^ -y 



I /l* 

I 7-^ •• 

ou bien, en négligeant les lemnes — ou — > 



f/c-'=</:5 



( - - — ^1 



Nous verrons un peu plus loin (p. a88 el 289) que 



a-b^ —: := 6*siii-:i — ^*COS*:5. 



/>- />*>in-t5 -^'cos*s 



Portons ces valeurs dans Téquation différentielle précédenlc fl 
intégrons de o à a—, nous aurons 

<oinnie «les ani:les au soinniel - 1 r ^ - f/i- -~ b- - ^ n* -ab — br^\. 

il' b' 

rJr 
La déchirure du cône intininient aplati a donc pour valeur —j-- 

Vinsi. pour qu*un élément de surface s'applique exactement sur 
un autre, il faut que leurs indicalrices* de même flèche, aient ménw* 
aire. 

Si Ton déforme d'une manière quelconque une surface flexibir, 
chaque élémenl do la nouvelle surface sera applicable sur l'élémenl 
correspondant de la première: par conséquent, l'aire de chaque in- 
dicalrice reste invariable dans ce changement de forme. 

I/aire rnib esl. en vertu des relations n ». p. î>8o, proporlionneik 

à \ RIV. Par suite, le produit des mvons de courbure principaux 
reste invariable quanti on déforme une surface pour l'appliquer 
sur une autre sans déchirure ni duplicature. Si celle autre esl une 

sphère, il faut donc que son rayon soil égal à y RR'. 

Dans ce développement d'une surface sur une autre, il esl évi- 
dent que les courbes tracées sur la première changent de figure; 
mais ni leurs longueurs, ni les angles qu'elles forment, ni les sur- 



SUR LA COURBURE DES SURFACES CONVEXES. 283 

faces qu'elles comprennent ne sont altérés. Une courbe jouissant 
de la propriété d'être la plus courte entre deux de ses points reste 
la ligne la plus courte sur Tautre surface. Supposons qu'on ait, 
sur le sphéroïde terrestre, un très petit triangle curviligne dont les 
côtés jouiraient de cette propriété; si R et R' sont les rayons prin- 
cipaux de la surface en cette région, on pourra l'appliquer sur une 

sphère de rayon y/RR'; les côtés deviendront sur la sphère des arcs 
de cercle, car ce sont là les lignes les plus courtes qu'on puisse y 
tracer; les angles du triangle sphérique seront égaux à ceux du 
triangle sphéroïdal; les surfaces de ces deux triangles seront les 
mêmes. 

La moyenne de tous les p^ de l'indicatrice peut s'écrire 



— / p^ ch . 



'^ -0 



Cette moyenne est ab ou y/KlV ; il en sera de même de la moyenne 
de tous les rayons de courbure de la surface, puisque ceux-ci sont 

proportionnels aux p^. y RIV représente donc, en ce sens, le rayon 
de courbure moyen d'une surface en un point où R et R' sont les 
rayons de courbure principaux. 



Lignes de courbure. 

Ainsi, en chaque point d'une surface, on rencontre deux sections 
normales se croisant à angles droits et ayant, l'une le plus grand, 
l'autre le plus petit rayon de courbure. La continuité exige qu'en 
passant d'un élément à l'autre, dans un sens quelconque, la cour- 
bure varie par degrés insensibles. On comprend donc qu'on puisse 
tracer sur une surface une ligne continue qui serait en chaque 
point tangente à la section principale de courbure maximum en 
ce point, et que, si l'on construisait une seconde ligne tangente 
partout aux sections principales de courbure minimum, cette se- 
conde ligne couperait la première à angle droit. Il y a ainsi sur 
chaque surface une infinité de lignes de courbure de première 
espèce, croisant à angle droit une infinité de lignes de courbure de 
deuxième. Elles sont telles qu'aux points consécutifs de chacune de 



284 LIVRE QUATRIÈME. — CHAPITRE XVI. 

ces courbes les normales à la surface se rencontrent deux à deux, et 
forment ainsi une surface développable. Si Ton se reporte à Télé- 
ment conique déjà considéré, il est facile de voir que les plans dia- 
métraux nV sont pas normaux, en général, à la surface du cône; 
seuls les deux plans principaux jouissent de cette propriété ; par 
conséquent, les seules normales infiniment voisines qui rencontrent 
Taxe sont celles qui se trouvent dans les plans principaux. 

Les lignes de courbure ainsi définies s^obtiennent immédiatement 
sur les surfaces de révolution. Ce sont les méridiens et les paral- 
lèles de la surface. On voit, en eflet, que les éléments superficieb 
situés sur un mémo parallèle ont les axes de leurs indicatrices 
tangents à ce cercle dont le centre est sur l'axe, et que les 
normales menées en différents points de ce parallèle se rencontrent 
bien deux à deux, puisqu'elles se rencontrent toutes et forment 
lin cône de révolution autour de Taxe. Par conséquent aussi, le< 
lignes de la seconde courbure , lesquelles doivent croiser les pre- 
mières à angle droit, ne peuvent être que des méridiens; les unes 
et les autres sont des courbes planes. La Terre étant, comme nous 
le verrons plus loin, un ellipsoïde de révolution, on décrira à sa 
surface une ligne de courbure en marchant, soit sur un même paral- 
lèle, soit sur un même méridien. Dans le premier cas, la colatitude a 
reste la même; dans le second cas, la longitude Lest constante. 

Lignes géodésiques. 

Supposons qu^on marche sur le globe terrestre par la méthodr 
des alignements, comme nous l'avons fait tacitement pour tracer 
la ligne ARS.,,X de la /ig. 86 à travers nos triangles géodé- 
siques. Cela revient à tracer sur le sol un premier élément AR dans 
une direction donnée. Arrivé en R, on détermine Félément suivant 
RS par la condition que RS soit dans le plan déterminé par Téléroent 
AR et la verticale en R. Arrivé en S, on détermine Télément 
suivant ST, de manière qu'il se trouve dans le plan vertical mené 
en S dans la direction SR, et ainsi de suite. La ligne ARS. .. ainsi 
tracée jouit évidemment de la propriété d'avoir deux éléments 
consécutifs dans un même plan \ertiral, c'est-à-dire normal à la 
surface de la Terre: par conséquent les plans osculateurs de cette 
courbe sont normaux à la surface. Il en résulte que cette courbe 



SUR L\ COURBURE DES SURFACES CONVEXES. a85 

jouit de la propriété d'être la plus courte qu*on puisse tracer sur la 
surface entre deux quelconques de ses points. En effet, si vous faites 
rouler tangentiellement un plan sur la surface le long de la courbe 
ARS..., l'enveloppe de ses positions successives sera une sur- 
face développable dont les génératrices se trouveront perpendi- 
culaires aux plans verticaux déterminés par deux éléments consé- 
cutifs de la courbe. Si Ton développe cette surface sur un plan, 
la transformée de la courbe directrice sera une ligne droite. Elle 
sera donc plus courte que toute courbe voisine dans la zone de 
contact des deux surfaces. 

Ces courbes d'alignement se nomment courbes géodes iq ues ; on 
obtiendra mécaniquement celle qui unit deux points quelconques 
en tendant un fil sur la surface entre ces deux points. 

Si l'on se reporte au cône infiniment petit du second degré qui 
représente un élément superficiel autour d'un point quelconque, 
on verra que les courbes géodésiques qui passent par ce point 
répondent aux arêtes opposées de ce cône, celles qui se trouvent 
dans ses plans diamétraux. Il est évident que les normales à la sur- 
face, menées par les points successifs d'une pareille courbe, ne se 
rencontrent généralement pas deux à deux, comme cela a lieu pour 
les lignes de courbure. Ainsi, dans la fig, 88, la normale à la surface, 
à l'extrémité de l'élément projeté en Ont ne rencontre pas la nor- 
male en O ; elle en dévie d'un petit angle facile à déterminer. 

Cependant, si la surface est de révolution, une ligne géodésique 
ou d'alignement, dont le premier élément serait aligné dans le sens 
du méridien (c'est justement le cas des Jig. 56 et 86), se confondra 
avec la ligne de courbure de même direction, c'est-à-dire avec le 
méridien lui-même. C'est pourquoi le procédé d'alignement des 
segments AR, RS, ST,..., qui a été employé plus haut pour tracer 
un méridien sur une sphère, à travers une série de triangles, est 
encore applicable à l'ellipsoïde de révolution. Cela nous donne 
même le moyen de soumettre l'hypothèse de cette dernière forme 
à un contrôle délicat. En effet, si la Terre est réellement une sur- 
face de révolution, en déterminant par l'observation l'azimut du 
dernier élément en X, on devra trouver zéro. Dans le cas où 
l'azimut calculé différerait notablement de la direction observée, il 
faudrait en conclure que, dans cette région, la surface mathéma- 
tique de la Terre n'est pas de révolution. 



a86 LIVRE OUATRIÈME. ^ CHAPITRE XVI. 

Les côtés A, B, C d'un triangle géodésîque n'a^anl guère plus 
de 20' d'amplitude y ils peuvent être considérés comme des arcs 
de courbes géodésiques tracées entre les trois sommets. Quand oo 
remplace la surface de Tellipsoïde terrestre par la sphère de même 
courbure movenne, ces lignes géodésiques restent géodésiques sur 
cette sphère, et y deviennent par conséquent des arcs de cercle de 
même longueur se coupant sous les mêmes angles. Nous n'avons 
donc rien à changer à nos opérations sur le terrain ; elles sont censées 
être failes sur la sphère localement équivaleule, et le triangle ABC 
répond à un véritable trièdre a\ant son sommet au centre de cette 
sphère. 



►> «p»< 



FORlIl'LBt APPLICABLES A L ELLIPSOÏDE TBBRBSTRE. 



a87 



CHAPITRE XVII. 



FORMULES ET DOxNNÉES NUMÉRIQUES APPLICABLES 

A LELLIPSOIDE TERRESTRE. 



Rayons de courbure principaux, 
l/équation d'une ellipse rapportée à ses axes étant 

nous la mettrons sous la fomic suivante 

En un point M quelconque de la Terre, la coordonnée courante 
pour un observateur placé à fa surface du globe est la colatitude, 

Fig. 89. 




c'est-à-dire Tangle A de la verticale MZ avec Taxe de rotation OB. 
Or MZ est normale en M à la surface de rellipsoïde terrestre, cl 
par conséquent à Tellipse génératrice BMA. On aura donc 



(i) 






cijc 



Si nous désignons H grande normale MN par N, ce qui donne 
(2) j7=^NsinX, 

nous aurons, en vertu de l'expression de tang)., 

jr=: N(i — e') cosX. 



a88 LIVBB QUATRIÈME. — GUAPITBB XVII. 

En portant ces deux valeurs de x et de ^ dans Inéquation de 
Tellipse, il viendra 

Différentions cette dernière équation , on trouve 

—zr- =: -e^ COS A SIII A. 

oA a* 

La relation (2) donne 

-^ =: — =- (I ~ e) COS A. 

En combinant cette dernière avec (i), il vient 

rfy \' 

-TT = r (i — e*) sinX. 

(fk a* 

Par suite, si R représente le rayon de courbure en M, on aura 



, . ^ ^ fis i V/.r* -h (iy* \' ( I - pM 

Comme Tangle MOB = '^ nous a servi dans la théorie des surfaces 
et qu'il joue un rôle en Astronomie sous le nom de colaiitudegêi}- 
centrique, nous ^introduirons ici en désignant par p le rayon OM 
de Tellipse. Les relations 

./• — p sin^ — ]\ sin X, 

j- z= p cos^ -^ N (1 — e*) cosX -= .N — j cosX 

donnent, quand on porte les premières valeurs de x et de y dans 
Téquation de la courbe, 

,^ n^f^ 

rt* ces* «p -H 6* sin* 9' 

On en tire encore 

\i (a^cos*^ -h ^^sin*ç; ^. 

En désignant par •} l'angle f — ), on aura, dans le triangle NOM, 

p ces •{/ ~ .N - 0\ ces À , 
psin4^= ON sin À, 

expressions où ON = N cos). — y = Ne^ cosÀ. 

Par conséquent p cosi, qui est égal à la perpendiculaire p menée 



FORMULES APPLICABLES A l'eLLIPSOIDE TERRESTRE. 289 

du centre sur la tangente en M, peut s'écrire 

/?= N — ON cos). -~ N (i — <?'co8*X) ~ " 
ouy en fonction de Tangle ^, 

^î — a'- b^ - — -^ — nr^r - 

' fl*cos*o -h 6^*sin'ç> 

Les précédentes donnent encore 

e'cosXsinX -i^'sin^X 



tang<)/ = 



c > 



1 — e* cos* X I — j- e* — J e^ cos 2 X 
par suite 

^ =: rhinaXn — ( t) sin4X-f . . 



2 — e' 2 X'i -■ e\ 



Rectification d*un arc d'ellipse. 

Pour achever de réunir les formules qui nous seront nécessaires 
dans la suite, nous allons exprimer la longueur d'un arc s d'ellipse 
en fonction des colatitudes A et V de ses extrémités. L*é(|uation 
différentielle est ds = RcOx, dans laquelle 

H~6r(i — 6'*)(i — c'^cos^X) ^ 

Développons celte expression en série par la règle du binôme de 
Newton : 

R m fl ( I - - e* ) ( I -h ^ 6'* cos' X -i - ^ e'* cos* X 4- -4V ^^' c^s'"' X -f- . . . ). 

Remplaçons les puissances de cosXv par leurs expressions en 
fonction des cosinus des multiples de l'argument (*), et posons, 



(•) Au moyen de la formule connue 



. ■ ^ , ^ m(ni — i) , , ^ - 

cos"' A — — —^ I cos /«A m r<»s ( m — { > A ■ vos {ni — 1) a 




I .j 



m {m i). . .1 — • 1 ) 



ni 



«lui nous donne 



* • 






COS'a { ( os 'i a 7 cos > a 

cos'a rjCos'iA f-ros'iA- i4<o.s>X :- 75. 

•9 



9.90 LIVRE QUATRIÈME. — CHAPITRE XVII. 

pour abréger (•), 

'^ i 1 ^ 8 8^^^ Tir Tï ^ 

' 8 8*^^ Ta 81*^ ' • • ' 

T8 3 î ^ • • ' 

il viendra 

R--:a(i~ e»)(M ~ Scos2l -: Pcos4X-^ Qcos6X .... 

Il suffil dès lors de mulliplier par cfk el d*intégrer entre lc5 
limites A et V : 

s -. a(i — e^)[M(r — l) -h l^ (s'inni' — Mn2l) 

-i-{P(sin4>'-siii4X) iQ(siii6X'— sin6).) ...]. 

On met ordinairement celte série sous une forme un peu plus 
simple en posant )/ — X =r a, a'-i- a rrr q a, : 

i s ■::. ail — (f- ) { M a -|- N ces i )., si 11 a 

(5) ^ . . 

/ -I- JP cos'iÀ, ^i"2a -f- JOcos6X,sin3x -r-...j. 

Éléments de T ellipsoïde terrestre. 

Pour juger de la courbure de notre globe, nous anticiperons sur 
les résultats auxquels nous parviendrons plus loin, en donnant ici 
les valeurs de a et de e- qui entrent dans les formules précédentes : 

a GSjSSqS'»: 7()"S loga -_- G, 80 '4711 3, 
t'* o , f )oG839.") , log e' - 7 , 835o'.i -10. 

Voici maintenant les valeurs des rayons de courbure principaux 
N et R, calculés de 5** en 5°, ainsi que celles du rayon de courbure 

moyen y/>îR. On a pris a pour unité; il suflirait donc d'ajouter le 



(*) Il est bon de faire remarquer ici, conimc moyen de vcrifîcatiun, qu'on doit 

avoir 

M N F- Q> ... I. 

Bn effet, à l'équaleur, où X 90^ H «ve réduit à a{i — e*) en vertu de la for- 
mule Cl); il CD doit iUre de miMiie de son expression en série, qui devient alors 

H rt(i-c«j. M- N p-Q--...). 



FORMULES APPLICABLES A l'eLLIPSOÏDE TERRESTRE. agi 

logarithme de a aux nombres suivants pour avoir les logarithmes 
de ces divers rayons en mètres : 

Rayonii de coarbure prinrlpaiix. Rayon do coarburo 

^ ^ — --^-^ . moyen. 

Colatitode X. iogN. logR. logV^NÏÏ. 

o 

o 0,0014903 O, 0014903 0,0014903 

5 0,0014789 0,001 i56i 0,0014675 

10 o,ooi44'^2 o,ooi355o 0,0014001 

i") 0,0013901 0,0011897 0,0012899 

20 o,ooi3i54 0,0009656 0,001 i4o5 

25 0,0012233 0,0006895 0,0009564 

3o 0,0011167 0,0003697 0,0007432 

35 .... 0,0009989 0,0000160 o, 0005075 

40 0,0008733 9^9996393 0,0002563 

45 0,0007439 9,999'^^>o 9i9999975 

5o 0,0006145 959988629 9»9997387 

55... . 0,0004892 9>9984864 9»9994778 

60 0,0003716 9,9981342 9>999*5'^9 

65 0,0002655 9 ,99781 56 9)999o4^>6 

70 0,0001738 9j997'^4o8 9*9988573 

75 0,0000995 9,9973179 9,9987087 

80 0,0000448 9,997*538 9,9985993 

85 o,ooooii3 9,997^533 9,9985323 

90 0,0000000 9j9970»9Î 9^9985097 

On voit combien la surface mathématique de la Terre s'écarte peu 
d'une sphère. La courbure moyenne, au 45* parallèle, est à très 
peu près celle d'une sphère ayant pour rayon i. De là aux pôles 
elle diminue peu à peu, en tout de j—; vers l'équaleur, elle aug- 
mente de ^. La variation de courbure transversale est deux l'ois 
plus petite. 

Il faudra se représenter nos triangles géodésiques comme étanl 

reportés sur une série de sphères de rayon y/NR, variant d'une ma- 
nière pratiquement continue puisque les côtés de ces triangles n'ont 
qu'une amplitude d'une vingtaine de minutes; on devra donc, dans 
les formules trigonométriques données pour leur calcul, remplacer 
le rayon supposé constant r d'une sphère unique par le rayon moyen 

y/NR, variable d'un triangle àl'autre. Ce changement porte seulement 
sur le calcul de l'excès sphérique des triangles partiels par lesquels 
on détermine les segments de la méridienne. Évidemment il n'y a 
pas de cercle vicieux à employer ici des quantités N, R qui dépendent 
des éléments cherchés de l'ellipsoïde terrestre, car les valeurs les 
plus grossièrement approchées de ces éléments suffisent amplement. 



29^ LIVRE QUATRIÈME. — CII.iPITRB XVII. 

Donnons ce petit calcul pour un triangle équilatéral de in ooo"* 
de côté, pour toute Tétendue de la triangulation française : 

V logNR. loga'NR. 

40**.. o,ooo5 i3,Go99 lo*;» 97<>990 — '" 

i 

45"*.. 0,0000 13,6094 log 40000 .. 9)^041 

^^^ • • 9>999^ 13,6089 logsinôo". . . 9,9376 — 10 

log 206265'. . '».3i45 

i4,i55i i4,i55i li.rSîi 

logrt«NR... 13,6099 13,6094 i3. 6<>8o 

log£ 0,54^2 0,5457 0,5461 

£..... 3',5o9 3',5rj 3',îi; 

Voilà à quoi se réduit Tinfluence de Taplatissement sur les calculs 
géodésiques dont nous nous sommes occupés jusqu^ici. Cela tient 
évidemment à la presque sphéricité du globe et à la petitesse de 
nos triangles. 

Voici encore quelques données utiles sur la figure de la Terre : 

Lonicvrar d« l** 
)». ''»Çp' r ~" '^ — V* «lu méridien. tor 1m paralkl». 

o 9)99^5098 o. 0,00 111706,6 0,0 

5 9,9985212 J. 3,34 111697,9 9735,6 

10 9,9985551 4. 2,86 111671,8 19395,6 

ij 9,9986105 4*54,95 111629,1 28905,1 

20 9,9986857 7.36,i6 111571,8 38190,5 

25 9,9987782 9. 3,40 iii>oo,8 47i^>3 

3o 9^9988^52 10.14,02 iii4i8,8 558o5,3 

35 9,9990034 M. 5,90 III 328,1 63999,8 

\o 9»999»'^9'^' ïi-37,46 iii23i,6 7«7o«,7 

45 9>999^^*^7 11.17,80 iiii32,2 7**î^52,9 

5o 9,9993880 11.36,64 iiio33,u 833(|9.9 

55 9»9995i3i ii. î,34 110936,8 9>394,o 

t*x> 9ï999^3o3 10.11,91 110846,7 96491 t9 

6> 9î999736o 9. 1,00 110765,5 100955,6 

70 9î999î^'^7"^ 7-33,77 110695,4 104662. 1 

75 9,9999011 5.52,85 iio638,6 io755î,3 

80 9.9999554 4' >,3o 110596,8 i09<>4^,o 

^j 9)9999^^^ •-^•^,19 110671,2 iiOi>o>,3 

90 o.ooo<^ooo o. 0,00 110662,6 1 11324, o 

La longueur des arcs de i" du méridien n'a pas élé calculée par 
la formule ( 5 ), mais f»ar ciz = R </ a, en faisant </ A = ' , *.. ■> ce qui 
r>l bien suflîsaiil. 



ARCS DE MÉRIDIENS MESURÉS EN DIVERS LIEUX. 9.98 



CHAPITRE XVIII. 



ARCS DE MERIDIENS MESURÉS EN DIVERS LIEUX. 



Depuis les célèbres mesures exécutées vers 1780 par les Acadé- 
miciens français en Lapon ie, en France et au Pérou, les travaux 
géodésiques ont traversé trois époques différentes. 

I** Celle de la fondation du système métrique. La méridienne de 
France mesurée, pour la seconde fois, parMéchain etDelambre avec 
les méthodes et les instruments de Borda. Les oiesures existantes 
ne permettent pas de décider de la véritable figure de la Terre; on 
les calcule en supposant que la Terre est un ellipsoïde de révolu- 
tion. Aplatissement jj;;. 

2" Au retour de la paix, toutes les nations civilisées entre- 
prennent des travaux géodésiques à l'imitation de la France. Aj)- 
paraissent l'arc anglais de 9°, celui de Russie de 8", celui des 
Indes de 3® et plusieurs petits arcs en Danemark, au Hanovre, en 
Prusse. Les calculs de MM. Airy et Besscl montrent que ces me- 
sures s'accordent bien avec l'hypothèse précédente, et qu'il n'est 
pas nécessaire de recourir à celle d'un sphéroïde quelconque. 
Aplatissement de j^. 

3" C'est l'époque des arcs gigantesques, 23" en Russie, 22° par 
rAngleterre et la France, 24° aux Indes, l'arc de Lacaille au Cap 
mesuré de nouveau et étendu à 4° par les Anglais. Le calcul de 
ces mesures /?rowç'<? que la Terre est sensiblement un ellipsoïde de 
révolution. Aplatissementjg^. 

Pendant ce temps la figure de la Terre était étudiée au moyen 
des observations du pendule dont Picard, puis Bouguer et LaCon- 
damine donnèrent les premiers exemples. Par cette méthode, totale- 
ment indépendante de la première, on trouve aujourd'hui ^^!^ .. 
pour l'aplatissement. 

C'est cet ensemble de mesures et de calculs que nous allons ex- 



2^4 LIVRE QUATRIÈME. — CHAPITRE XYIII. 

poser. Voici le Tableau des mesures effectuées. On ne s*est pas 
contenté d ^observer les colatiludes X et X' aux deux bouts de Tare 
mesuré; on les a déterminées également en un certain nombre de 
stations intermédiaires, afin de multiplier les moyens de compa- 
raison entre la figure théorique de la Terre et sa figure réelle. 

TABLEAU DES ARCS HÉRIDIEHS AGTUELLEMEIIT MESURÉS. 



o / » 



SulJoi». CoUtliBde*. L9mtmnné9tmtc% 

Arc russo-suédois. 



Fuglenaes I9*I9*4S|7 0,0 

Stuor-Oïvi ai. 19. 1,6 ii3 753,9 

Tornea aj.io.iS^S 276975,8 

Kilpi 27.21.55,0 459770,1 

Hogland 29. 54.49,9 ^5 i83,7 

Dorpal 3i ,37. 12,4 703 022,3 

Jacobstadt 33.29.55,2 810 302,9 

Nemesch 35. 20. 54,1 9i6o33,8 

Belin 37.57. 17,8 i 064 843,3 

Krenicnetz 39.54.10,0 1176062,3 

Ssuprunkowski 4i.i4.5(r,9 i 252 8i3,7 

Wodolui 4^.58.34,8 i 35i 371,7 

Nekrassowka 4 J .39.67,2 i 447 786,8 r: 6V 

Arc anglo-français. 

Saxaword 29.10.21,4 0,0 

Great Stirling 3^.32. 10,9 192273,0 

Durham 35. i3.53,8 346 261 ,5 

Green>vich 38. 31.21.7 534 i46,6 

Dunkerque 38. 57. 5i ,6 559 388 ,3 

Panthéon 41. 9.10,6 684333,1 

Carcassonne 46.4:- 5,7 1005472,9 

Barcelone 48.37.12,1 i 110028,8 

Monljouv 48.38. i5,o 1 110972,9 

Formentera 5i.20. 3,9 1264645,5 

Arc de Prusse. 



0,0 



Mcmel 34. 16. 19,6 

Kœnigsberg 33.17. 9,5 ^7 965,4 

Tnuu 35.46.48,5 se 177,0 



ABCS DE MÉRIDIENS MESURÉS EN DIVERS LIEUX. 296 

Stations. Colatitadet. Lon^iican des arcs. 

Arc danois. 

o , g T 

Lyssabel 35. 5.49,6 0,0 

Lauenbourg 36.27.43,0 87436,6 

Arc de Hanovre, 

Altona 36.27.14,7 0,0 

Gœttingue 38.28.12,1 ii5i63,7 

Arc des Indes. 

Shahpur 57.38.25,9 0,0 

Khimnana 59.37.48,2 94 '50^9 

Kaliana 60.29.11,7 142807,3 

Garinda 62. 4-3o,o 233 214,8 

Khamor 64.i4-49)i 356620,7 

Kalianpur 65.52,49,^ 449499i9 

Fikri 67.58.56,2 668960,2 

Walwari 69.16.38,7 641 455,3 

Damargidda 71.66.45,2 79^999» 4 

Darur 73.5o.i3,9 901434^0 

Ilonur 75. 4.38,6 971864,6 

Bangalore 77. o. 8,2 1081021,8 

Putcliapoliam 79. 0.18,9 > *9Î 7/6,9 

Kudankulam 81.47.49,6 1 363 210,9 

Arc du Pérou. 

Colchesqui 89.67.28,6 0,0 

Tarqii . . . 93. 4-32,1 176876,6 

Arc du Cap. 

North-End i»9.44-I7î7 0,0 

Hceren logement Berg . . 121.68. 9,1 126906,5 

Royal Observatory 123.56. 3,2 238701,8 

Zwarle Kop 124. 1 3. 32, 1 265 3o8,6 

Cape Point 124.21. 6,3 262468,6 

Détermination des éléments de Tellipsoîde terrestre. 

Bien qu'on ait déterminé sur chaque arc la colatitude de plu- 
sieurs Stations intermédiaires, afin d'étudier en détail la figure de 



296 ' LIVRE QEATniÈUE. — CHAPITRE XVII 

la Terre dans ces régions, nous n'emploierons, pour abréger, que 
Tare total cl les colatitudes extrêmes. Si la Terre est réellement un 
ellipsoïde de révolution aplati aux pôles, Tare s du méridien s'expri- 
mera par la formule (5). En eflectuant les produits de M, N, P, . .. 
par 1 — e'-j on aura 

16) J L -, 

( -I- (f ^' ^ el^*) sinacos2X|-f -j^e^sinaacos ';>.| I, 

Nous négligerons les termes en e^ ; ils influent à peine sur le 
chiflre des dixièmes de toise. Pour former les équations de condi- 
tion linéaires que nous traiterons par la méthode des nioindn*-» 
carrés, il faut obtenir, au préalable, des valeurs approchées dos in- 
connues a et e^. Les observations du pendule nous ont donner 
(p. 206) [JL = jj^. On en déduit log e- — 7,83194. L'arc russo- 
suédois, calculé par la formule (1) avec cette valeur, donne 

a ----- 3 9.7:^ G'^y . 

Avec celle première évaluation de a et de c- la formule (6) de- 
vient 

(v ; [i,i997322]a-i-[4,29/jG3] sinacos2/,-f-[i,25o] sin2acos4^'i ('•• 

En calculant par cette formule les longueurs des arcs inesurrs 
on trouve : 

5 ub«ervc. (s) calculé. x •«). 

T T T 

Arc russo-suédois 1^4778(3,7 0,0 0,0 

Arc aiiglo-françai*i .... 1 -iGI (ij ),8 1 264 692,7 - 46,9 

Arc de Prusse 86177,0 86i34,8 - 38,6 

Arc de Danemark 87137,0 87 |()6,7 3o,2 

Arc de Hanovre ii5 164,0 11 5 102,8 60,9 

Arc des Indes i 353 210,9 i 353 278,3 - 67,4 

Arc du Pérou 176875,5 176866,0 9,5 

Arc d'Afrique 262470,4 262477,7 — 7,3 

Ainsi les valeurs provisoires de ^/ete^ sont déjà très approchées. 



(') Iri a est exprimé en secondes et les coeffiricnls entre parenthèses sont de« 
logarithmes. 



ELEMENTS DE L ELLIPSOÏDE TERRESTRE. 



^97 



Nous allons les faire varier de petites quantités da et de^y de ma- 
nière à réduire la somme des carrés des écarts au minimum. 
L'expression précédente de (5), différentiée par rapport à a ete-, 
donne 

(ç) 

-h -J J e* sin 2 a ces 4 ) 1] cide- ; 



a 



il suffît d'y introduire les données numériques relatives à chaque 
arc; on forme ainsi les équations de condition suivantes : 



Rpsidu». 



Arc russo-suédois . . 


. o,\\'i\ôa 


-•- 0,0296^ ^e^ - 


T 

0,0 


T 

-f- II, S 


Arc anglo-français . . 


0,3804 


- o,o5ia 


- 4(J,9 


22, \ 


Arc de Prusse ... . 


, ojiGS 


- 0,0001 


- 38,6 


39,0 


Are de Danemark . . 


OjO'iCj 


OjOOOJ 


- 30,9. 


^'93» 


Arc de Hanovre 


o,o'J:>>- 


0,009.0 


- Co,(j 


(>2,.'i 


Arc des Indes 


o,4i35 


- o,336i 


- 67,4 


1,1 


Arc du Pérou 


0,0640 


- 0,0 )43 


9.^ 


- 20,1 


Arc du Cap 


, 0802 


- o,o6G8 


- -^ 3 


- 3,1 



On voit que les petits arcs de Prusse, de Danemark et de Ha- 
novre sont sans influence sur la détermination de e^. A cet égard 
Tare indien est tout à fait prépondérant. Les équations fînales 



donnent 
d'où 



0,5280 (}rt - o,\\ji!\ade- - - 43,71, 
- o, 1 5'î.'i da h o, 1 2 1 6r/ ôe^- -r- '?.\,'^S 

a •--.. — 37^,2, a()c'*-zrz ;- 158^,05, 



()e*^- 0,000 048 3 ot f* — 0,006 839 5 ; loge* ^11: 7, 835 02. 

Si l'on pose [ji = -> comme i — C'= (i — [jl)^, la correction dy du 
dénominateur 29/î de raplatisscment est 



Jv r:: 



— cV. 



2(v — Ij 



Ici Ton trouve 



(h -r- - 2,09. 



En portant les valeurs de da et de adc- dans les équations de con- 
dition, on obtient les résidus inscrits à coté de ces écjuationF. La 



298 LIVRE QUATRIÈME. — CUAPITRB XVIII. 

racine carrée de la somme des carrés divisée par 8 — 2 est 
±135^,07, dont le produit par 0,6745 donne dz a3^,6 pour Ter- 
reur probable d'une mesure d'arc de méridien. On résoudra de 
nouveau les deux équations précédentes après y avoir remplacé àa 
par X, aâe'^ par y et les seconds membres par i et o ; on trouve 
ainsi 

par suite, l'erreur probable de a sera 

7h 23^,6 X 1,7 — ^o^j-j. 

On résoudra les mêmes équations après avoir remplacé les seconds 
membres par o et i ; on trouve ainsi 

V?- 3,6; 

l'erreur probable de a(^e^ est donc ±:S\^^y et celle du dénomina- 
teur de [JL sera di i , i . La solution est donc 

«— : 3,272 SSy'^'.Ô == 4<^^>7 (*^' \^ — — ' 

' ' -1 7/ \ , 291,9 1,1 

ce qui donne 

S:-. [1,199722 oja"-!- [4,22571] sinacos2Xj-l- [i,25/i] sinascos^Xj. 

Le coefficient de a de- dans l'équation relative aux Indes est si 
prépondérant qu'on pourrait craindre que cette valeur de jjl ne fûl 
réellement déterminée que pour celte région de la Terre. Il n'en e*l 
rien : si Ton supprime la sixième équation, on trouve 

a 1- 3 272 588^, o |x j= > , 

291,4 

résultats à très peu près identiques aux précédents, sauf que Tin- 
certitude de la valeur de [x est plus forte. 

La première conclusion à tirer de ces calculs est que la surface 
mathématique du globe terrestre, celle des mers idéalement pro- 
longée par des canaux par-dessous les continents, est à très peu 
près un ellipsoïde de révolution. Comme tous les grands arcs 



(• ) En mètres, a = 6 878 SgS- ±l 79". 



ÉLÉMENTS DE L ELLIPSOÏDE TERRESTRE. 299 

se trouvent dans l'hémisphère nord, on pourrait craindre que 
l'autre hémisphère ne présentât des diflTérences sensibles qui nous 
échapperaient ici, à cause de la petitesse de Tare du Cap, mais les 
observations du pendule ne semblent pas confirmer cette crainte (*). 
D'après les calculs récents du colonel Clarke, comprenant toutes 
les observations de ce genre faites sur les deux hémisphères, 

on a 

1 

292,2 ±11,3 

valeur bien préférable à celle de la page 206 et qui s'accorde très 
bien avec la précédente. 

Une dernière remarque sur ces calculs. Nous avons traité les 
écarts ou résidus comme si leur grandeur probable était la même 
quelle que fût l'étendue des arcs mesurés. Cela n'est pas tout à fait 
exact. Mais les opérations géodésiques sont d'une précision telle 
que leurs erreurs propres sont à peu près négligeables, même pour 
les plus grands arcs. Ainsi l'erreur probable de l'arc russo-sué- 
dois, en ce qui concerne la partie géodésique, n'est que de ± d"**, 
malgré son énorme amplitude de aS**. Il n'en est pas de même, 
comme on le verra au Chapitre suivant, des colatitudes des extré- 
mités. Là est donc la source principale, on peut dire a posteriori 
presque unique, des écarts ci-dessus. Or la détermination de ces 
colatitudes est indépendante de la longueur de Tare s. 



(') Cependant M. Saigey avait trouve autrefois jfj pour l'hémisphère boréal cl 
lYj pour l'hémisphcre austral; mais les observations du pendule n'ont pas encore 
la précision nécessaire pour résoudre une question pareille. 



»♦— « 



300 LIVRE QUATRIÈME. ^ CHAPITRE XIX. 



CHAPITRE XIX. 



IRRÉGULARITÉS DE LA SURFACE DE NIVEAU 
ATTRACTIONS LOCALES. 



Il faut se rendre compte de la restriction exprimée par ces mots: 
à très peu près. Les mesures géodésiques les plus longues donnent 
s avec une incertitude de 5^ ou 6^ seulement; les amplitud<'s 
astronomiques sont mesurées à •lzo",'] près, ce qui équivaut à 
i5^ X 0,7 = lo^, 5 d'incertitude sur 5. En réunissant ces deu\ 
causes d'erreur, on trouve 



v/ 






pour Terreur probable d'un arc mesuré, tandis que le calcul basé 
sur riiypothèse de Tellipsoïde de révolution laisse subsister des 
écarts qui s'élèvent parfois à 60^ et dont la valeur probable est de 
dz 23^,6. La théorie conduit donc à des écarts que ne comporte 
pas, à première vue, la précision des mesures. Examinons de plus 
près cette question en comparant tous les segments de l'un des 
grands arcs, celui des Indes par exemple, avec les (5) correspon- 
dants. On trouve ainsi les nombres de la première colonne. 



T 

Shnhpur 0,0 

Khiinnanu ' ^^)9 

Kaliana 1 13,4 

Gnrinda ...... - 2,8 

Khamor - 86,8 

Kalianpui - 33,9 

Fikri — 8,4 

Walwaii — ia5,9 

Damargîdda ... — 71,3 

Darur r2o,5 



<M>»ervatlon — Calcul. 




T 

-•- 5i ,5 


3', 4 


_ / 


1,0 


Cl,» 


4,1 


54,3 


3,6 


- 3i,3 


- «,i 


17,6 


»,a 


- 43,1 


- ••».9 


- 74,4 


- 4,96 


- - '9,8 


1,3 


- <«J.o 


- 4,6 



IRRÉGULARITÉS DE LA SURFACE DE NIVEAU. 3ui 

Obserratlon — Oilfai. 
T T , 

Honur - 5,9 -- 57,4 -1-3,8 

Bangalorc - 96,9 -— 4^,4 — 3,o 

Putchapoliam. . — 14, 4 -^- 27,1 -^2,5 

Kudankulam. . . -- 1,1 -;- jo,{ --- 3,3 

Si Ton désigne par j:^, Xa? «^a? . . . , ^i* les corrections relatives aiiK 
diverses stations, pour répartir entre elles les écarts selon la règle 
de probabilité, on aura les équations de condition 



iTi 




-^1 








58, 


•9' 


cZ-3 




•^1 







ii3, 


4, 


^4 

• • 1 


1 • ■ 


•^1 

• ■ « 


1 • • 


• • 


2, 

■ • • • 


8, 



a'n — JTj — 4- iji» 



et pour la condition du minimum de la somme des carrés 

•^ I 1" ^2 "• • • • ~H "^ \ \9 

U'i -\- J'i -f- JTa -h . . . -\- JCi\~^- O. 

On en déduit ^i = 4-5i^,5, et en ajoutant 5i,5 a tous les 
nombres de la première colonne on obtient ceux de la deuxième. 
Mais, a cause de la grande précision des mesures géodésiques, el 
en considérant que les influences locales portent surla direction de 
la pesanteur, c'est-à-dire de la verticale, il est naturel d'attribuer 
ces écarts aux colatitudes et non aux longueurs des arcs s : nous les 
transformerons donc en secondes en les divisant par i5^, et nous 
aurons ainsi les écarts en colatitudc consignés dans la dernière 
colonne. 

Attraction des montagnes. 

L'ellipsoïde de révolution dont nous avons donné les éléments 
représente l'arc entier des Indes, sauf de petits écarts imputables 
à des causes locales accidentelles, car ces écarts ont lieu tantôt 
dans un sens, tantôt dans l'autre, changeant huit fois de signe 
sur une étendue de 23". On en retrouverait d'analogues pour l'arr 
russe ou l'arc anglo-francals el, en général, dans toutes les me- 
sures de ce genre. Ils s'expliquent par des variations brusques de 



3oa LIVRE QUATRIÈME. — CHAPITRE XIX. 

densité dans Tépaisseur de récorce lerreslre, telle que les d^kes 
de matériaux très denses (basalte, serpentine) qui ont été injectés 
cà et là de bas en haut, à Tétat liquide ou pâteux, dans des fissures 
plus ou moins larges, ou bien encore des saillies superficielles, 
collines ou montagnes isolées. Dans le voisinage immédiat de ces 
accidents, le fil à plomb est légèrement dévié; il se produit une pe- 
tite ondulation dans la surface de niveau qui n^en altère pas sensi- 
blement la figure générale. 

rig. 90. 

! 



X 

; I 



Pour fixer a ce sujet les idées, cherchons la déviation maximum z 
qu'une masse sphérique de rayon r ctde densité imprimerait au 
fil à plomb, tout près de sa surface. En représentant les attractions 
de cette masse et du globe terrestre sur le point P par PR et IH>, on a 



PU 
lanî;a=i — 



Ces attractions étant proportionnelles aux masses et réciproque^ 
aux carrés des dislances aux centres de ces sphères, si Ton dé- 
signe par /•, II, 0, A les rayons et leurs densités, on aura 



^ - #-3 r 



laiiira zzz 






*" "" ^rH'A "" Ha 

Si la sphère m est formée des éléments de la croule superficielle, 
sera à peu près égal à ^ A; par conséquent 

2 H 



ATTRACTIONS LOCALES. 3o3 

La déviation a sera d'une seconde, si r = 64". Bouguer, à qui 
celte remarque est due, en a conclu la possibilité de déterminer la 
densité moyenne A du globe terrestre en observant la déviation du 
(il à plomb occasionnée par le voisinage d'une montagne, et il a 
exécuté l'expérience au Pérou, sur le Chimboraço. Plus tard, Mas- 
kelynea répété l'expérience de Bouguer sur une montagne d'Ecosse, 
le Shehallien. En voici les détails. L'astronome anglais commença 



par observer les colalitudes À et)/ de deux stations Â, B, au pied de 
la montagne, l'une au nord, l'autre au sud; puis il mesura, par une 
série de triangles contournant la montagne, l'arc de grand cercle a 
compris entre ces stations. L'excès de l'amplitude astronomique 

X' — X de cet arc sur son amplitude géodésique 206 265" 1^ se trouva 

être de 1 1"; c'était la somme des déviations de sens contraire que 
la montagne produisait dans les verticales des deux stations. 
D'autre part, un habile géologue, Hulton, cuba la montagne au 
moyen d'une opération topographique et en détermina la densité 
moyenne 2,7. Pour calculer son attraction sur le fil à plomb, on la 
décomposa en prismes verticaux dont l'action fut calculée une à une ; 
et finalement, de l'attraction totale comparée à celle du globe, on 
conclut 1 , 8 pour le rapport des densités. On trouva ainsi A :^ 4? 5. 
Les officiers anglais attachés aux opérations géodésiques du 
Royaume-Uni ont répété les mêmes mesures sur une colline d'E- 
dimbourg, V Arthur Seat, et ont obtenu A:= 5,3. 

Constitution intérieure de la croûte terrestre. 

Ainsi ces accidents ne produisent, dans la figure générale du 
globe terrestre, que de petites altérations purement locales. Mais 
si des collines ou des montagnes isolées n'ont pas d'autre action. 



3o4 LIVRE QUATRIÈME. — CHAPITRE XIX. 

il semblerail que les grandes irrégularités superficielles, Finégale 
répartition des mers et des continents, dont la densité varie brus- 
quement de I à 2,7, devraient altérer bien plus profondénicnt 
cette figure. Aussi les géomètres étaient-ils d'avis, au commence- 
ment de ce siècle, que si le globe à Tétat de fusion ignée, et composé 
de couches homogènes rangées par ordre de densités, avait pris la 
ligure d'un ellipsoïde de révolution aplati, cette figure première 
d'équilibre n'avait pu subsister à la suite des dislocations que la 
croûte a subies en s'épaississant, et de la répartition si inégale qui 
s'est faite, à la surface et jusqu'à une certaine profondeur, entre le> 
matériaux les plus denses et les plus légers. Dans leur opinion, 
cette figure avait dû s'altérer, et n'être plus aujourd'hui qu'un 
sphéroïde à méridiens inégaux non elliptiques. 

On vient de voir, au contraire, par la discussion des mesures de 
ilegré les plus étendues, que la figure de l'ellipsoïde de révolution 
subsiste encore. Pour que la figure première se soit ainsi consenée 
à travers les âges géologiques, il faut que l'excès de densité des 
continents émergés soit compensé par quelque défaut de densité 
au-dessous, et que la légèreté spécifique des mers soit pareille- 
ment compensée par des couches inférieures plus denses. 

La cause physique qui a produit cette compensation remar- 
quable est bien simple. Au-dessous des mers, le refroidissemcnl 
\a plus vite et plus profondément que sous les continents. L^s 
sondages exécutés en plein océan nous ont appris, en effet. quVi 
ijoo" de profondeur la température de Teau est d'environ r* 
i M. DE Tessaa, } ovas^e de circumnavigation de la frégate la 
Vénus, commandant Dupetit-Thouars, i835k tandis qu'à la 
même profondeur, sous un continent, la température s'élèverait à 
ijo**. I^ croûte terrestre doit donc avoir acquis dans le premier 
«^as bien plus d'épaisseur que dans le second. C'est ce que j'ai tâché 
«le représenter dans la figure ci-jointe. 

Klle représente une coupe du globe terrestre suivant le parallèle 
de fio'*. La ligne poinlillée marque le niveau des mers prolongé 
|»ar-dess()us les continents : c'est, comme nous venons de le con- 
slatiT dans son ensemble, une véritable circonférence. Au-dessus 
de cette ligne s'élèvent les coiitir.ents d'Afrique, d'Asie et d'A- 
ni«*ri(|ue et en particulier lo plateau de riliinalava. Au-dessous se 
lrou\enl les ileu\ grands «K'éaii'i» tlont la pn^toinleur ino\eniie est 



FORME DE LA CROUTE TERRESTRE. 



3o5 



comparable à la saillie des continents. Là répaisseiir de la croûte 
terrestre solidifiée compense le défaut de densité des mers, tandis 
que, sous les continents, la minceur relative de la croûte compense 
la saillie des terres émergées. A mesure que le refroidissement 
progresse, cette différence d'épaisseur augmente ; la croûte sous-ma- 



Fig. 9î. 




rine exerce un léger excès de pression sur le noyau liquide, et, 
comme cette pression se transmet en tous sens, elle tend à soulever 
de plus en plus Técorce moins résistante et déjà fracturée des 
continents. Là est la cause des lents phénomènes géologiques qui 
ont façonné et remanient encore aujourd'hui leai couches supé- 
rieures de la Terre. 

S'il en est ainsi, on conçoit que l'équilibre premier subsiste, que 
la surface mathématique du globe ne soit pas sensiblement altérée., 
non plus que la direction de Taxe de rotation. Mais auâsi il n'y aura 
lieu de tenir compte des grandes inégalités de la couche super- 
ficielle, ni dans la mesure des degrés, ni dans l'observation du 
pendule. 

C'est justement le contraire que l'on a fait jusqu'ici pour ces 
dernières mesures. On ne se contente pas de réduire la pesanteur 
observée au niveau des mers : on la corrige en outre de l'attrac- 
tion du plateau continental sur lequel on a observé. 

20 



3o6 LIVRE QUATRIÂME. — CHAPITRE XIX. 

Première correction. — Soient h la hauteur de ce cootinent, et 
en même temps Taltitude du lieu d^observation , R le rayon de la 
Terre. La pesanteur y sera diminuée dans le rapport de i à 

( — n — ) > o"> comme h est très petit par rapport à R, dans le rap- 
port de à I 4- -rT-* Si / est la longueur du pendule observée à la 

station, /q cette longueur ramenée au niveau de la mer, on aura 
donc 

Seconde correction. — Assimilons le massif continental sur le- 
quel on a opéré à un c^'lindre plat de rayon X, de hauteur A et de 
densité S. Son attraction s^ajoutant, à ce que Ton suppose, à celle 
du globe terrestre, fera paraître celle-ci trop forte et allongera un 
peu la longueur du pendule qu^on aurait obtenue sans sa présence. 
Pour la déterminer, décomposons ce cylindre en tranches d*épais- 
seur dhj et prenons dans une de ces tranches un anneau circulaire 
de ra^'on a: et de largeur dx, La masse de ce dernier sera aie ôjrrfx; 
son potentiel par rapport à la station, c'est-à-dire la somme des 
masses élémentaires divisées respectivement par leur distance à la 

station, sera 

*n:^xdxdh 



\Ar* H- A* 
L*inlégrale prise de a: ::^ o à a: =:^ X, ou 

sera le potentiel de la tranche d'épaisseur dh et de rayon X, ou, 
comme X est très grand par rapport à A, 

2it5^/A(X — A). 

L'attraction de cette tranche sur le pendule étant, à un facteur 
constant près, la différentielle de cette expression divisée par 
— e/A, elle se réduira à aTCorfA,et celle du cylindre entier de hau- 
teur A sera anoA. Son rapport à l'attraction du globe exprimée 
parl^R'A, au même facteur près, ou ^tcA en prenant R pour 

unité,scraf A --9OU simplement- A, puisque la densité des conti- 

nents est à peu près la moitié de la densité moyenne A de la Terre. 



FORMB DE LA CROUTE TERRESTRE. 3oy 

Diaprés cela on aurait, pour le pendule réduit au niveau de la 
mer et corrigé de Tattraction de la masse du continent, 

/o = / ( 1 -^ 2 A - f A ) --= / ( I 4- 1 A) . 

Mais ^observation ne justifie nullement l'introduction de cette 
seconde correction, c'est-à-dire du terme — jh. Voici comme 
exemple celles de Bouguer à l'équateur : 









/ rédnit 


/ réduit 


SUlion. 


AUltttde. 


/ obterfé. 


par (i -h 2/1) A 


P«r(H-|yi)/. 


Ile de rinra.. 


m 

78 


mm 

990,9" 


mm 

99o»935 


mm 
990» 926 


Quito 


2857 


990,121 
Différence. . . 


991,008 


990,675 




-H 0,073 


— o,25i 



Dans le premier cas la différence est à peu près de l'ordre des 
erreurs d'observation; dans le second elle s'élève à j de milli- 
mètre, ce qui est inadmissible. Les observations du pendule faites 
récemment par les officiers anglais, aux Indes et sur les hauts pla- 
teaux du continent asiatique, sont encore plus manifestement en 
désaccord avec cette seconde correction; elle leur a donné partout 
des Iq beaucoup trop petits, comme s'il y avait sous ces plateaux 
de grandes cavités vides de matière. 

Par la même raison qu'on a cru devoir retrancher, de la pesan- 
teur observée sur les continents, l'attraction exercée par la saillie 
continentale, il aurait fallu, pour les observations faites en mer, 
ajouter quelque chose pour tenir compte du défaut de densité de 
l'eau qui remplace ici le massif continental. Heureusement on ne 
s'en est pas avisé. 

En résumé, la longueur du pendule simple suit la loi de Clairaut : 
elle s'adapte parfaitement à l'ellipsoïde lorsqu'on la réduit au niveau 
des mers sans tenir compte, soit des saillies continentales, soit de 
la trop faible densité des océans. Ce résultat confirme donc pleine- 
ment la compensation que M. Pratt déduisait déjà de la discus- 
sion des degrés mesurés aux Indes, en disant que la quantité de 
matière contenue dans chaque colonne verticale, allant de la sur- 
face jusqu'à une nappe de niveau inférieure, devait être partout la 
même. Nous venons d'indiquer la raison physique de cette sin- 
gulière compensation; elle tient à la rapidité du refroidissement 



3o8 LIVRE QUATRIÈME. — CHAPITRE Xl\. 

plus grande sous les mers que sous les continents. C'est ainsi que 
la Géologie se trouve rattachée désormais à la Géodésie, dont elk* 
semblait autrefois élre absolument indépendante. 

Quant aux accidents superficiels, une colline, une montagne, 
une dépression du sol, un épanchement de matières lourdes ve- 
nues de rintérieur à l'état de fusion par les failles de récorce 
terrestre, il n'y a pas de compensation; leur efi*et sur la figure do 
la Terre se traduit par de petites ondulations qui n'en ait«!TeDl 
pas sensiblement la forme générale. Leur étude est un des buts dr 
la Géodésie, mais elle ne saurait être développée ici('). 



(') Nous renvoyons pour cela à la Mécanique céleste cl aux M<^nioires de M. Vil- 
lurceau sur les attractions locales. 



SYSTEME METRIQUE. 3CK) 



CHAPITRE XX. 

SYSTÈME MÉTRI.QUE. 



Lorsque la Commission du système métrique, convoquée à 
Paris à la fîn du dernier siècle, se décida à prendre pour unité de 
longueur la looooooo** partie de quart du méridien, elle présu- 
mait que la Terre était un ellipsoïde de révolution ; on vient de voir 
que Tensemble des mesures géodésiqucs actuelles lui donne raison 
sur ce point. Â cette époque, on ne disposait que des arcs de 
France et du Pérou que nous avons rapportés plus haut. En intro- 
duisant ces données dans Texpression de s que nous venons d^em- 
ployer, on forme deux équations distinctes entre a ete^, et en les 
divisant membre à membre on obtient une équation en e^ele^. 
La Commission a trouvé ainsi e'-^ = o, ooSg^g, ce qui répond à un 
aplatissement de ■^. 

Pour avoir le quart du méridien, que nous désignerons par Q, il 
suffit de faire \= o, V= 90** dans Péquation (6) de la page 296, 

ce qui donne aL = Ç)'i^= - (en parties du rayon), 2X1 =90**; par 



2 

conséquent, 



En divisant S par Q on élimine a et on a 

--z=z - H- (f e*H-||e^)-sinacos2Xi-h-rî^e^ - sin2acos4Xi, 

(^ 200 20D 7: •*7: *'*i: 

équation où Ton mettra pour S la longueur de Tare français. 

On sentait bien que e^ n'était pas déterminé avec une précision 
suffisante par les seuls arcs de France et du Pérou, mais la Com- 
mission trouva, dans une particularité de Tare français, le moyen 
d'éluder cette incertitude. C'était de prolonger cet arc jusqu'à l'île 



3lO LIVRE QUATRIÈME. — CHAPITRE. XX. 

Formenlera (une des Baléares). Dans ces conditions, en effet, Tare 
français se trouvant bissecté exactement parle parallèle de 45^7 on 
a X, = 45°> et Téquation précédente se réduil à 

S a Q 4 » L ^ • 

p*^ a disparu ; Tincertitude ne porte plus que sur le dernier terme, 
qui est lui-même extrêmement petit. 

On résolut donc : i^ de reprendre la mesure de Casslni, deDun- 
kerque à Perpignan, parce que cette mesure n'avait pas la préci- 
sion requise; 2? de la prolonger, à travers le territoire espagnol, 
jusqu'à Tîle de Formentera ( * ). 

L'arc français ainsi porté à la^ n'aurait encore été que le y ou le 
~ de Q. Toute erreur commise dans cette mesure devait donc être 
multipliée par 7, 5. De là la nécessité de donner aux opérations 
géodésiques et astronomiques une précision toute nouvelle. 

En effet, pour avoir le mètre à o"*"", i près, il fallait être sûr de 
ne pas commettre sur Q une erreur de 1 000" ou de 5oo^, et, par 
suite, de 67*"^ sur 5, c'est-à-dire sur la longueur de l'arc français. 
De plus, en supposant un succès complet dans la partie géode- 
sique, il fallait que l'amplitude astronomique V — \ ou a ne com- 
portât pas une erreur de 4"» car 4"» à raison de i5^ pour 1', font 
aussi 69''^. Il fallait donc déterminer les colatitudes à i'^ près, degré 
de précision dont on était bien loin à cette époque. 

Borda fut chargé de créer des instruments nouveaux. Il produi- 
sit, à cette ocasion, l'Invention du cercle répétiteur, si précieux à 
une époque où l'art de diviser les cercles des instruments était en- 
core dans l'enfance, l'invention des règles de platine à thermo- 
mètre bimétallique, etc. Les opérations géodésiques furent exécu- 
tées au milieu de mille difficultés par deux excellents astronomes, 
au nord par Delambre, au sud par Méchain. Mais la guerre vint 
interrompre les opérations que Méchain poursuivait en Elspagne; 
on dut se contenter de l'arc de 9", 5 compris entre Dunkerque et 
Montjouy près de Barcelone; c^ reparut dans l'équation finale, 



(*) l«c prolongemeot de la méridienne de France jusqu'à Formenlera a été tié- 
ni le longtemps après rétablissement du système métrique par Biot et Ango, cl 
ne lui a servi que de Yérification. 



SYSTEME MÉTRIQUE. 



3l 



heureasement avec un 1res pelit coefficient. Le calcul fut fait de la 
manière suivante : 



Dunkerque, 
Montjouy . . 
a 

2X1 

aa 

4X1 



i = 55i583,6 



38.57.49,5 
48.38. i5, 2 
9.40.25,7 = 34825',7 
87.36. 4i7 

19.20.51,4 
175.12. 9,4 



logo*., 
206265. 
log a. . 



log^. 



4,5418999 
5, 3144^51 
9,2274748 

9,8o388oi 



log«« 7,77663 

logj 9,87506 

7,65169 



log i*^ terme. 9,o3i3549 

Iog«* 5,553ji6 

^ogll 9,57403 



5,12729 






64 



e' 



0,0044842 
0,0000134 
0,0014976 



'»g|; 

logsinst. .. . 
logcos 2X1 . . 
log 2* terme. 



7,65298 

9,8o388 

9,22541 

8,62172 

5,3o399 



loge* 

log XL.... 

'ogl- 

]ogsin2a . . 

logcos 4X1. 

lop3* terme 



5,55326 
9,06888 

9,8o388 

9,52022 

9,99848 /t 

3,9417^^/* 



i**" lerme 

2* 

3-^ 



» 



» 



Par conséquent, 



55 1 583 ,6 



o, 10748673 

0,00002014 
-0,00000088 
0,10750599 



= 0,10750655. 



log* 5,74i6iiî 

9, o3 1^327 
logQ 6,7101787 Q — ji3o72>f 

Le nombre de la Commission est, comme on sait, 5 i3o 740*"". Mais 
ce qu'on ignorait alors et ce que nous savons aujourd'hui, c'est que 
les attractions purement locales, accidentelles, peuvent fort bien 
altérer de quelques secondes Tamplitude angulaire d'un arc géo- 
désique. En outre, malgré Thabileté des astronomes Delambre et 
Méchain, qui ont fait la triangulation et déterminé les colatitudes 



3ia LIVRE QUATRlàME. — CHAPITRE XX. 

extrêmes, le défaut inhérent aux instruments répétiteurs dont nous 
avons donné Texplication à la page 107 est fort capable de fausser 
sensiblement les colatitudes. Il suiUrait de 6' d'erreur, provenant 
de ces deux causes réunies, sur Tamplitude astronomique de l'arc 
compris entre Dunkerque et Montjouy, pour introduire une erreur 
de 90''^ dans la longueur calculée de s et, par suite, de 900^ dans 
celle de a. 

En fait^ nous sommes aujourd'hui en état de soumettre les 
opérations de la grande Commission à une vérification rigoureuse. 
Il suffit pour cela de faire ol = go^ = 'i 24 000' dans le premier 
terme de la valeur de s que nous avons déduite, page 298, de l'en- 
semble des mesures existantes : 

logi*' coefficient 1,1997220 

log 324000 5,5io545o 

log Q 6,71 02670 

Q ::^ 5i3i758T. 

Ainsi, Terreur de la Commission est 1018^; le mètre est trop court 
d'un dix-millième de toise ou de 0^0864. ^^ ^*^" ^^ prendre pour 
le mètre ^ 11^296, il aurait fallu 3''ii^38a. 

Faut-il changer la longueur de l'étalon légal et lui donner la 
longueur susdite, qui est plus exacte et représente mieux la dix- 
millionième partie du quart du méridien terrestre? 

Si Ton agissait ainsi, on sacrifierait le côté essentiel de tout sys- 
tème de poids et de mesures, c'est-à-dire l'invariabilité. La longueur 
de l'étalon, au lieu d'être fixe, deviendrait une quantité variable et 
relative aux progrès de la Science. 11 est probable que le chiffre 
actuel, 5 141 743^5 subira à son tour des modifications, lorsque 
l'arc anglo-franco-espagnol sera poussé aux limites du Sahara, et 
lorsque les grandes opérations géodésiques des États-Unis et du 
Brésil seront terminées. Alors il faudrait encore retoucher le 
mètre étalon, et ainsi de suite, ce qui serait absurde. 

La définition légale du mètre n'est pas de dire : c'est la dix- 
millionième partie du quart du méridien terrestre; mais bien : 
le mètre est la longueur, de bout en bout, d'une règle de platine 
qui a été prise pour unité de longueur en vertu d'une loi, et qui 
est déposée aux Archives nationales. A quoi Ton doit ajouter, à 
titre de renseignement précieux, que cette longueur est, à très peu 



STSTéUE MÉTRIQUE. 3l3 

prèSy la dix-millionième partie du quart du méridien, et qu^on 
peut remployer comme telle, sans erreur sensible , dans toutes 
les applications à la géographie et à la navigation. 

Une nouvelle Commission internationale, a^ant en vue de faciliter 
la propagation universelle du système métrique, s'est réunie à 
Paris, en 1870, pour transformer l'étalon légal à bouts en un 
étalon à traits. Aucun de ses membres étrangers n'a eu l'idée de 
saisir cette occasion pour ajouter o""", 19 à l'étalon actuel. La 
Commission se borne à le copier le plus exactement possible, c'est- 
à-dire à donner au nouvel étalon à traits, qui deviendra le proto- 
type de toutes les mesures, la longueur exacte de l'étalon à bouts 
conservé dans nos Archives. 

Ce qu'il y avait de plus juste et de plus élevé dans l'idée de la 
grande Commission de 1795, lorsqu'elle a voulu rattacher son unité 
fondamentale aux dimensions de la Terre, c'était d'ôter au système 
métrique tout caractère d'une nationalité particulière , et de le 
rendre ainsi admissible pour toutes les nations. Aujourd'hui ce 
système est légalement obligatoire en Italie, en Suisse, en Hol- 
lande, en Belgique, en Danemark, en Suède, etc. 11 vient d'être 
imposé légalement en Allemagne; Tusage en est autorisé par la 
loi en Angleterre et aux États-Unis. Les hommes de science de 
toutes les nations l'emploient presque exclusivement dans leurs 
travaux. L'Association géodésiquc internationale vient elle-même 
d'adopter, pour étalon des mesures géodésiques, une règle de 
platine de 4"* semblable à celles de Borda. 



3i4 



LIVKB Ql'&TBIÈMK. — CUAPITBE XXI. 



CHAPITRE XXI. 



COORDONNÉES GÉOGRAPHIQUES. ARCS DE PARALLÈLE. 



On a déterminé aslronomiqueraenl, au point de départ A d'une 
triangulation, la colatitudeXet Tazimut SAB = M de Tun des côlés 
AB, c'est-à-dire Tazimut du sommet B sur l'horizon du point A. 
D'ailleurs, tous les angles de la triangulation ont été mesurés el 
tous les côtés ont été calculés en mètres. Dès lors il est facile de 




déterminer de proche en proche les coordonnées géographiques de 
tous les sommets B, C, D, . . . , c'est-à-dire leurs colatitudes et leur» 
longitudes comptées à partir du méridien initial du point A. 

Reprenons pour cela notre première hypothèse d'une Terre 
sphérlque, quitte à montrer plus tard comment on devra modifier 
les résultats pour les adapter à l'ellipsoïde. Soient, sur cette sphère, 
P le pôle, PAS le méridien du point A, PBS celui du point voisin B. 
Dans le triangle sphérique PAB nous connaissons deux côtés 

PA ^^ A, AB = - (c étant le côté en mètres du triangle géodésique 



COORDONNEES GÉOGRAPHIQUES. ARCS DE PARALLELE. 3l5 

ABC), et Tangle compris PAB = i8o** — M. On en déduira donc 
jes trois autres éléments, à savoir 

PB =X', colatitude du second sommet B, 

F ou APB, longitude du point B, 

S'B A = M'r= iSo»— PBA, azimut de A sur Thorizon de B (»)• 

Les formules sont, en désignant par A et B les angles du 
triangle PAB, 

(i) cosX' = cosX cos — h sinX sin - cosA, 

r r 

, . . -^ . c sinA 

(a) smPzn sin - . . , » 

/• smX 

(3) ta„gi(A-^B)=S2iia;^eotir>. 

Le rapport - étant très petit {-^ environ), on en profite pour 

développer les formules en séries. Ainsi, par un développement 
identique à celui de la page a68, la formule (2) donne 

p c siii A I c' sin A ( sin X' -4- A ) sin ( X' — A ) 

r sinX' 6 r'* sin*X' 

Avant de calculer P, il faut obtenir V. Prenons la première 
équation et posons X'=X-|-e/; le premier membre deviendra 
cosXcose/ — sinXsin^. Développons en série les sinus et co- 

sinus de - et de ^ jusqu'aux termes du quatrième ordre exclusi- 
vement, et divisons les deux membres par cosXv, nous aurons 



\d^ — ^tangX 4- id^ tangX 



(4) 



I C* C . . I c** 



= -\ — tangXcosA — 7: -- tangXcosA; 



si Ton s'en tenait au premier ordre, on aurait 



(5) d :=z cos A. 



(') Nous continuons, en Géodésie, à compter les azimuts comme les astronomes, 
A partir de la portion sud du méridien, de o« à 360% dans le sens rétrograde 
S.-O.-N.-E. 



3l6 LIVRE QUATRIÈME. — CHAPITRE XXI. 

Pour tenir compte des termes du deuxième ordre, on rem- 
placera \d'^ par — jjCOS^A, ce qui donne, après avoir divisé par 
lang)., 

(6) —d — r r H- - CCS A. 

^ ' 2 /•' taiigA /• 

Pour aller jusqu'au troisième ordre, il faut remplacer, dans le 
premier membre de (4), {-rf^par sa valeur tirée de (6), en excluant 
les termes d'ordre supérieur au troisième, c'est-à-dirc par 

1 c* .. i c'* si 11' A ces A 

CCS* A — r — , 

2 /•* 2 /•* taii^A 

I c^ 
et mettre pour Jrf' sa valeur approchée ^ — cos'A. On a ainsi 

finalement, après réduction des termes et division par tang a, 



, c . 1 c* sin*A I c . • 4 4 / 3 

a =: ces A 7 r ■+• 7: —r Sin' A CCS A ( I -h 

/• 2 /** tanîTA o r^ 



/ ^ 3 \ 
\ lanjj*)./ 



c • • • 

Comme - est ici exprimé en parties du rayon, on multipliera le 

deuxième membre par 206 265"pouravoir r/ou a' — Àen secondes. 

Nous avons vu plus haut la manière de développer en série 
Tangle P déduit de Fanalogie (2). 

Enfin, l'angle j (A -f- B)devient, en y introduisant les azimuts 
réciproques M et M', 

i(i8o»-M 4- M'— 180") = {(M'— M). 

M' — M ne difTère de 180® que d'un petit angle auquel les topo- 
graphes ont donné le nom de convergence des méridiens. Rieu 
de plus simple que de le développer en série; nous ne nous y 
arrêterons pas. 

Nous connaissons maintenant, pour le point B, les coordonnées 
P et X' ainsi que M', azimut de A sur Thorizon de B. En ajoutant à 
ce dernier l'angle ABC du triangle géodésique, on aura l'azimut M' 
de C sur l'horizon de B. On se retrouve donc en B dans les mêmes 
conditions qu'on avait en A, et l'on déterminera les coordonnées du 
sommet C par des calculs identiques aux précédents. 



COORDONNÉES GÉOGRAPHIQUES. ARCS DE PARALLÈLE. 3l7 



Réduction à rellipsoîde. 

Si nous passons à rellipsoîde, nous trouvons sur celte surface, 
au lieu de PAB, un triangle P'AB' formé de deux grands arcs d'el- 
lipse méridienne PA, PB' et du petit côté géodésique AB'. Les 
verticales en P ou en P, et en A, sont communes. aux deux triangles ; 
elles se rencontrent au pied N de la grande normale en A; mais la 
verticale en B' va couper Taxe un peu plus haut, en N'. 

Le triangle sphérique PAB que nous lui substituons est donc si- 




tué sur une sphère ayant son centre en N et pour rayon la grande 
normale en A ou AN. Cette sphère est osculatrice à Tellipsoïde en 
un seul sens, transversalement au méridien en A; et il en est de 
même sur tous les points du parallèle AA', c'est-à-dire en A' aussi 
bien qu'en A. 

Il serait impossible d'appliquer sur celte sphère le grand triangle 
ellipsoïdal P'AB', car les arcs d'ellipse PA, P'B' sont loin d'être 
égaux aux arcs PA, PB. Néanmoins ces deux triangles ont des par- 
ties communes. Ainsi les angles dièdres en P et en P' sont égaux ; 
par suite, l'angle P qu€ nous venons de déterminer sur la sphère 
u'a besoin d'aucune correction pour passer sur Tellipsoïde. Il en 



3l8 LIVRE QUATRlàVB. — CHAPITEB XXI. 

est de même de Tangle en A, c^est-à-dire de Tazimul du poîot B 
ou B'. Nous verrons tout à Theure que BB^ est négligeable^ en sorte 
que les angles dièdres en B etB' ne diffèrent pas sensiblement. La 
seule diflerence entre ces triangles vient de ce que le point B' n-à 
pas rigoureusement la même colatitude que B. 

La différence est Tangle a de la vraie normale B'N' avec le ravon 
BN de la sphère. 

A la colatitude V, que nous avons trouvée pourB, il faudra ajou- 
ter a pour avoir la colatitude du vrai sommet B'. 

Le triangle B'CN, dans lequel CB' se confond avec le rayon 

de courbure R calculé pour le point dont la colatitude est -^ 

et où CN = N — R, nous donne 

R si n a -^ ( \ — R) sin ( X' — X ), 
Rcosarzz \ — z — (N — R)cos(a' — a). 

Par la première équation on a 

«= — ^-(^ — >0» 



« r 



e' 



ou, à très peu près, 

a zrz — - — - sin*X(A' — - a). 
I — e* 

La seconde relation donne 

. — 2(\ _ R) sin4(X'— X) =: 2\e*sin*X sin*i(A'— A). 

En France, sur le parallèle moyen, ce petit écart, pour )/ — a = 20, 
se réduit à quelques centimètres. 

«* 7,835 — 10 Iog\ 0,001 

GMog(i--e*)... o,oo3 Iog«« 7,B35 — 10 

s»n*^ 9,698 — 10 sin*io' 4,9^7 — 10 

X'— X = i2oo'.. 3,079 1,-63 — 10 

>^g« o,6i5 loga 6,8o5 

» 4',i2 log^ 8,568 — 10 

'S o", 037 

Ainsi le sommet B du triangle sphérique PAB est à o",o37 au- 
dessus de la surface de rellipsoïde, et l'angle a qu'il faut ajouter au 
)/ sphérique est de 4*^, 1 2. 



COORDONNEE^ GE0GAAPHIQUE8. \RCS DB PARALLELE. 



^19 



Arcs de parallèle. 

Au Heu de mesurer géodésiquemenlun arc de méridien, on peut 
mesurer un arc de parallèle terrestre, tel que AE, situé à U colati- 
tude PA ou PE = X. La marche est la même. On enveloppe l'arc 
d'une série de triangles dont on mesure les angles et dont on cal- 
cule les côtés AB, BC, CD, ... à Taide d'une base. Puis on pro- 
jette ces côtés sur l'arc de parallèle, qui se trouve ainsi décomposé 
en segments A6, 6c, cd, rfE, dont la somme forme l'arc AE. Pour 
cela, il faut encore ici déterminer astronomiquement en A la cola- 

Fig. 90. 




litude PA == )v et l'azimut 1 80° + PAB du premier côté. Le triangle 
PAB, sur la sphère osculatrice le long du parallèle, donne PB =. )/, 
et Ton a l'angle dièdre P par l'analogie 

sinP sinA 

sinAB sinX' 

qu'on remplacera par le développement donné plus haut ; et comme 
\b = PNsinX, N étant la grande normale en A, il suffira de mul- 
tiplier l'expression de P par NsinX; on aura donc, pour le pre- 
mier segment du parallèle, 

. , .-.sinA . . I AB' sin A sin(X'-+- A) sin(X' — A) . . 

A 0^=1 AB . ., sm A — ^ -^r; ^-TD ^111 A, 

smX' IN* sm'X 

d'où l'on voit que N ne sert ici qu'à calculer un terme extrême- 
ment petit, et qu'on n'a besoin que d'une valeur grossièrement 
approchée de cet élément. 

Après avoir calculé tous les segments de cette manière, on en 
fait la somme pour avoir AE. 



3'aO LIVRE QUATRIÈME. — CIIAPITRÇ XXI. 

Si d'autre part on a mesuré astronomiquement la dîflerence 
A.PE de longitude des stations extrêmes A et E, en comparant, par 
le télégraphe, deux pendules bien réglées en ces deux stations, on 
aura \J — L par la différence des heures que ces pendules marquent 
au même instant. Cela posé, si Ton désigne par e^ et a les élé- 
ments de Tellipsoïde terrestre, la relation 

.^ L' — L ^sinX 
AE = 



206265 y/7^e*COS»X 

dans laquelle AE est donné, comme on vient de le voir, par une 
triangulation, est une équation nouvelle entre a et e*; elle pourra 
concourir, avec celles qu'on tire de la mesure d'arcs de méridien, 
à la détermination de ces inconnues. 



NIVELLEMENT GK0DÊ8IQUE. 3lt 



CHAPITRE XXII. 

NIVELLEMENT GÉODÉSIQUE. 



inj>i^ 



On détermine le relief du sol par les cotes d'altitude de ses dif- 
férents points, comptées à partir de la surface de Tellipsoïde ter- 
restre; celle-ci se confond avec la surface d'équilibre des mers, 
prolongée idéalement au-dessous des continents, du moins quand 
on fait abstraction des irrégularités locales. 




A et B sont deux stations géodésiques situées aux altitudes /t et 
/i au-dessus de Tellipsoïdc terrestre. L'arc compris entre les pro- 
jections de ces points sur l'ellipsoïde est un côté de la triangula- 
tion; sa longueur en mètres est donc parfaitement connue. Soient* 
a cette longueur, N le ravon de la sphère oscnlatrice locale dont le 

centre est en C, c l'angle au centre exprimé par -^ en parties du 

rayon. Supposons que deux observateurs, placés en A et B. 
aient mesuré simultanément les distances zénithales réciproques 

il 



3aa LIVRB QUATRlàMB. — CHAPITRE XXII. 

Le rayon de lumière allant de B en A est légèrement courbé par 
la réfraction atmosphérique, en sorte que le signal B est vu suivant 
la tangente en. A à cette trajectoire. En désignant par p Tangle des 
tangentes extrêmes, le quadrilatère formé par ces deux tangentes 
et par les deux normales donne 

(i) w, H- z\ -h p --- i8o»-j- r. 

Ainsi Topération susdite fait connaître immédiatement la réfrac- 
tion géodésique p, indépendamment de toute théorie. La courbure 

de la trajectoire lumineuse étant très faible et son amplitude vue 

1 , 1 4o ooo™ I , ., . j 

dépassant euère ^-, = -^- = 20 , il sera permis de con- 

*^ ^ 6400000™ 160 '^ 

fondre cette courbe avec une portion de son cercle osculateur 
dont le rayon est d'environ 8N. Dès lors les petits angles formés, 
en A et B, par les tangentes à cet arc avec la corde AB, sont égaux 
à ^p. Ces angles constituent la réfraction en A et en B; par consé- 
quent les distances zénithales vraies ZAB, Z'BA sont données par 

-i + ip» -i + iP- 

Dans le triangle ACB on a 

sin(;;i- f-i p ) _ ^-^^' 
sin(j', -^}p) "" N 4- A * 

d'où, en tenant compte de la relation (1), 

tang^(^,~yj ^ h'— h 
langA(i8o»-h v) 2\ -f- A-t- A'' 

ce qui peut s'écrire 

(2) — 2N tang|(5, — z\) tangji'zr: A'— A. 

On obtient ainsi la différence de niveau des deux stations par 
un calcul indépendant de la réfraction géodésique p. 

On a trouvé par des nivellements de ce genre, exécutés sur uoe 
grande échelle dans toutes les parties du monde, et au moyeo de 
la relation (1), que la réfraction géodésique p est toujours égales 
la même fraction^ de Tangle au centre i^, quelles que soient la tem- 
pérature et la pression. I^ théorie conduit précisément au même 



NIVELLEMENT GÉODÉSIQUE. 3l3 

résultat. En effet, Téquation différentielle de la réfraction étant, 
page II 5, 

dp — — y tangl, 

remplaçons tangl par -7-7- et -y par sa valeur déduite de la loi sup- 
posée de Tatmosphère ( ' ), 

/•/"*= cens t., 

qui donne 

dr dl 

r l ' 

il viendra 

dp=: — , 

' m 

et, en intégrant (la constante est nulle), 

c» 

^ ~ /n 

Nous avons vu effectivement, dans la théorie de la réfraction 
astronomique, que m = S. 

L'exposant m est donc aussi la constante de la réfraction géo- 
désique. 

D'après cela, une seule observation de distance zénithale J| sui- 
Krait pour obtenir h — A'. La réfraction J p étant connue, on aurait, 

pour la distance zénithale vraie, Z| -h 7 p = -1 4- , — y et le triangle 

précédent donnerait pour la seconde, non observée, 

, 2 /?< — r 

Dès lors la proportion 

sinf^iH ) 

. l im — I \ ~" N -h 

sin Zy i» 

\ 2 m 



(') Toutes les lois admises pour le calcul de la réfraction astronomique con- 
duisent au même résultat, non plus rigoureusement, mais approximativement. 



3'l4 LIVRB QUATRIÈME. *~ CHAPITRE XXII. 

devient 

tanjrjr h' — h 



tan 



/ m — I \ 2 N 



Variations diurnes du coefficient m. 

En réalité, la réfraction géodésique n'est constante que pour les 
heures moyennes du jour, de 8** du matin à 4** de l'après-midi. Le 
soir elle croît de plus en plus à partir de 4** et atteint son maximum 
dans la nuit. De même le matin, vers 6'', elle atteint un secooil 
maximum. Ces phénomènes sont bien connus des géodésiens qui 
en profitent parfois pour voir des signaux trop peu élevés au-des- 
sus du sol. Ils ne sont pas réciproquement visibles pendant le jour, 
mais le soir, la réfraction allant en croissant, il arrive un moiiieni 
où le signal B s'élève au-dessus de l'horizon du point A et devient 
visible en cette station. Cela prouve que les astronomes ne sont 
pas fondés à assigner une loi invariable à la constitution de Tul- 
mosphère, supposition qui n'a d'ailleurs d'inconvénient que ponr 
Ic calcul des observations faites à plus de So"* du zénith. Mais cr> 
faits montrent aussi que les nivellements géodésiqucs doivent éln* 
exécutés par des distances zénithales réciproques et simultanées. 
si l'on veut éviter l'incertitude des réfractions géodésiqui^s. 

Précision du nivellement géodésique comparée à celle 

du nivellement ordinaire. 

La formule (2) peut s'écrire ainsi 

200 2d;> 
d'où, en diOercntianl, 

" 206. 65' =''^'^-'')- 

Si l'erreur probable de ;;| et de z\ est de i", celle de z\ — z^ sera 
I "y/a; en faisant a = 40000", on aura sensiblement 

f/(/i'— //) = ±: 2^ = ih o"',i4. 



NIVELLEMENT GEODESIQVE. 



3a5 



D'autre part, Terreur probable d'un nivellement à petites por- 
tées, exécuté par les méthodes de M. Bourdaloue, dont on se sert 
aujourd'hui en tous pays, n'est que de di i""" par kilomètre ou de 

±: i"" X v/4Ô = 6"",3 pour la longueur d'un côté géodésiquc 
de 40*^"*. La précision de ce dernier est donc vingt fois plus grande ; 
aussi a-t-on renoncé désormais aux grands nivellements géodé- 
siques pour les remplacer par le nivellement à très petites portées 
des Ponts et Chaussées, bien que celui-ci soit beaucoup plus lent 
et plus coûteux. Les cotes d'altitude de la Carte de France sont 
dues néanmoins à l'application du premier système. 



Altitude absolue d'une station; dépression de l'horizon 

de la mer. 

Les nivellements doivent être poussés jusqu'à la mer, si l'on veut 
en conclure les altitudes absolues. Supposons que, de la dernière 

F»g- 97- 




station A {Jig» 97), on ait mesuré la distance zénithale z^ de l'ho- 
rizon de la mer. La trajectoire lumineuse AB sera tangente en B à 
la surface de la mer et l'on aura z\ = 90**. Dès lors l'équation (i) 
devient 

2Ntang|(;tang|^(5i — 90®)=: h; 

mais cette formule ne saurait être utilisée parce qu'ici (^ est inconnu. 



326 LIVRE QUATRIKMB. — CHAPITRE XXII. 

Il faut avoir recours à l'équation générale de la trajectoire lumi- 
neuse, p^ge i 12, 

/7sinl i=z r, /,sinx;|, 

qui devient ici 

Eliminons / entre cette relation et la suivante 

on aura 



■'"='=(7) 



m 



Remplaçons Zi par 90°-!- rf, d désignant la dépression , r par N el 
/'i par N 4- A, il viendra, en développant en série, 

I — ^ 4 r/* . . . -= I xT • • • > 

d'où, à 1res peu près. 



cl —\/ — , 



formule où Ton fera /?? = 8. Elle donnera h si Ton a mesuré d ou 
w|, et, inversement, elle donnera d si li est connu. 

La dépression ainsi calculée pour les marins ne compte en tout*' 
rigueur que pour les heures moyennes de la journée. Dans certains 
cas exceptionnels (mirage), elle peut prendre des valeurs très dif- 
férentes et même devenir momentanément négative. 

Description astronomique d'un grand pays. 

Dans les pays d'une vaste étendue et d'une population très 
inégalement répartie, comme la Russie, on procède géodésique- 
ment dans les contrées importantes ; pour les autres, on se contente 
de déterminer astronomiquement les longitudes et les colatilude> 
des points essentiels. La figure de notre globe étant désormais assez 
bien connue, il est aisé de placer ces points sur une Carte de 
grande étendue et de s'en servir comme de points de repère pour 
la topographie locale. Celle-ci s'appuiera donc, non sur des 
triangles, comme dans les contrées géodésiques, mais sur un 



NIYBLLBMENT GÉODÉSIQUE. 



3a7 



certain nombre de points de repère dont la distance et les azimuts 
respectifs pourront être calculés avec une grande exactitude. 

Cette méthode des coordonnées astronomiques est à recom- 
mander aux ofliciers qui parcourent des pays mal connus et qui 
tiennent à rapporter des éléments sérieux de ces pays. Pour cela, 
il suflit d^un sextant et d'une bonne montre, et de déterminer 
astronomiqueraentles points essentiels de ritinéraire suivi. L'emploi 
delà boussole et les distances évaluées par journées de marche, etc., 
ainsi que des azimuts de cimes remarquables, relevés de différentes 
stations, permettent de compléter le canevas. C'est ainsi que 
M. d'Abbadie est parvenu, à lui seul, à faire une Carte excellente 
de l'Abyssinie. 

Calcul des éléments locaux de T ellipsoïde terrestre : grande 
normale, distance au centre de la Terre, colatitude géodé- 
sique, etc. 

Si l'on prend, pour coordonnées d'un point A donné par sa co- 
latitude astronomique X, les variables cp et p qui se rapportent au 
centre, on a, pour formules de transformation, 

^ ^^ N sin X = p sin o, 

y --. N(i — e^) cosX =z p cos?p. 




A/ 



d'où l'on tire p et ç, N étant 



a 



y/ 1 — e* ces* X 



328 LIVRE QUATRIÈME. — GHAPITRB XXII. 

On peut aussi en déduire 

Ne* sinX cosX =z p sin(«p — X), 

a" 
N — Ne"cos"X= -|^ r^pcos(<p — X), 

expressions où Ton fait 

a = 6378284"'", e* = 0,0067853. 

Par exemple, à l'Observatoire de Paris, où 

Xr=4iV47% 

on trouverait 

o-XzzIII'4I^77J 
d'où 

* = 4i'ai'îî8',77, 

et 

logp =: 6, 8038705. 

ftésumé des formules pour Vellipsoïde terrestre. 

Grande normale AN ÎN = rt(i — e^ cos*X)* 

N» 
Rayon de courbure de IVllipsc méridienne. R = — j (i — e^) 

Rayon de courbure dans Tazimut A N ( in ^ sin*X cos*A | 

Petite normale An N ( i — e' ) 

Rayon du parallèle j: = N sinX 

Ordonnée j' = \ ( i — e^) cos X 

Distance du point A au centre p = d^ N-* séc( o — X ) 

Relation entre © et X tang9 = j tangX 

Tangente AT N tangX 

Tangente AT \(i-- tf*)colX 

Sous-tangente N(i — e')cosX colX 

Sous-normale N(i — «*) sinX 

On \ tf * sin X 

ON N <?« cos X 

Nn N<r« 

Distance du centre à la tangente p cos(o — X) = N — Ne* côs* X =- -« 



*—* 



INTENSITÉ DE LA PESANTEUR EN UN LIEU DONNE. 3^9 



CHAPITRE XXIII. 

INTENSITÉ DE LA PESANTEUR EN UN LIEU DONNÉ. 



La constante g de la pesanteur, en un Heu donné, est liée à la 
longueur / d'un pendule dont roscillalion infiniment petite a pour 
durée /, dans le vide, par la relation 



/7 
t 



v^- 



Si Ton prend pour unité la seconde sexagésimale de temps moyen, 
on a, en désignant encore par / la longueur du pendule qui bat 
cette seconde, 



= 114/— > d'où £r:=TZ*L 

y ^ 



Il suffit donc de mesurer en un lieu donné la longueur de ce 
pendule, pour obtenir immédiatement la constante locale de la 
pesanteur. 

La formule de Clairaut (p. 204) donne, pour la colatitude X au 
niveau de la mer, 

(1) l^l'^flg—^\l'cOSn, 

t étant la longueur du pendule à Téquateur. En multipliant les 
deux membres par tî^, on a 

(2) ^ — ^r/4_^2^_jxU,'c0S«X, 

^ ou Tz^t étant la pesanteur équatoriale. On verra un peu plus 

loin que q =-ôs-ô?; nous venons de trouver u= : il suffît 

^ ^ 288,36' ^ 291,9' 

donc d'une détermination de /oude ^ en un lieu quelconque pour 
obtenir la constante ^ , 



33o 



LIVRB QUATRIEME. — CHAPITRE XXIII. 



Il serait naturel de prendre pour cela les mesures du pendule 
que Ton a eflectuées dans les régions équatoriales; mais elles sont 
d^ancienne date et n'ont pas été faites avec toute la précision requise 
aujourd'hui. Voici des observations toutes récentes duesà M. Peirce ; 
elles ne laissent rien à désirer. On en a déduit /' par 

/=i: /'-h [0,7 1.571] COS')v, 

en ayant soin de supprimer, comme il a été dit plus haut (p. 307), 
la correction relative à l'attraction des continents : 



Paris 4»' 10 

Berlin 87.30 

Kiew 33.33 

Genève 43.4^ 

New-York ... 49- * '^ 



A titre de vérification, nous rapporterons les valeurs de T déduites 
de la même manière des valeurs de / observées sur les continents, 
près de l'équaleur : 







/ rMult^ 








au 




/*. 


/ obtetTée. 


nireau de la mer. 


/' conclae. 


m 


mn 


■m 


■B 


7« 


993,92 


993,94 


990,99 


34 


99l»2Î 


994,25 


990,98 


» 


994,18 


994,18 


99' ,09 


407 


993,^6 


993,69 


990,97 


10 


993,21 


993,21 


99«,oo 






Movenne 


QQi ,006 



X. 



Lac de l'Inca 90. 14 

Quito 90.14 

Para 9* «27 

Maranhani 92 . 3'>t 



/'. 



mm 



99o>9i 
99«,oi 

991,00 
990,97 



Moyenne... 990,98 (*) 



(' ) Les observations faites dans les Iles équatoriales donnent, comoae nous FaToas 
vu pour toutes les Iles, des résultats trop forts : 

X. /'. 

o f mm 

Iles Gallapagos 89.28 991 >o9 

Ile Saint-Thomas 89.35 991 , 19 

lie Gaunsah-Lout. . . . . 89.68 9:)i|i'-' 

Ile Hawalv 90. 2 991 »i3 

L*observation est bien faite à la surface de la mer, mais on a opéré au sommet 
d'une lie plus dense que Teau; il faudrait en défalquer l'attraction de la masse 
excédante de Tlle par rapport à l'eau qu'elle remplace. Les éléments d'une telle 
correction manquent. 



INTENSITÉ DE L\ PESANTEUR EN UN LIEU DONNÉ. 33l 

Nous prendrons /'=99i*"",oo en évaluant l'incertitude à j^^- 
ou j|^ de millimèlre. La formule (2) devient alors 

(3) ^ =19^,7807 -H o", 06129 ces' X, 

avec une incertitude de i ou 2 unités du dernier ordre. 

 Paris, pour les questions de Mécanique ordinaire où intervient 
le nombre g^ on prendra 0^,99394 x t:^ ou 

^ — 9«,8o98; 

rincerlitude ne dépasse pas i unité du dernier ordre. Le nombre 
adopté ordinairement est 9", 80896 ; l'erreur est de près de o'",ooi . 

Attraction de la Terre sur un point extérieur. 

On a besoin, en Astronomie, de connaître, non plus g^ mais 
l'attraction de la Terre sur un point extérieur. 

La pesanteur, en un lieu donné, est la résultante de l'attraction 
du globe et de la force centrifuge née de la rotation diurne. En un 
lieu dont les coordonnées, dans le plan du méridien, sont N et A 
ou X el^, la composante verticale de cette force est 

-rp^ j?smA, 

T étant la durée de la rotation, et comme 

a sin X 



j? z=: N sinX =: 



\J \ — é^ cos* X 



on aura, pour l'attraction du globe (pesanteur H- composante de la 
force centrifuge) au point considéré, 

t^^} asiii'X 
^ y I — e^ ces* A 

g étant calculé par la formule (3). 

On démontre, en Mécanique, que l'attraction du globe sur un 
point extérieur répond à celle qu'il exerce sur un point de la 
surface dont la colatitude a pour cosinus carré \. Faisons donc, dans 
la formule (4), 

cos' X ^i: I, sin* X =zi I, e' =: o, ooôSSgS, 



332 LIVRE QUATRlÉlklE. — CHAPITRE \XIII. 

nous aurons, pour cette attraction, 

9'»,82o.î. 
Le carré du rayon terrestre correspondant est 



.sin'X4-(i — c')'cos'X 

^ ^ I — C*C08*A 

Cette formule donne, pour cos^ A = |, 

^ =o> 99773- 

L^attractlon du globe terrestre variant en raison inverse du carre 
de la distance, on aura, à la distance quelconque D, 

9'",8o,o4^=9"%79«i^!- 

Telle est la constante que nous adopterons dans la suite. Quant à la 

force centrifuge équatoriale -7=^- a et au rapport q de cette force à 

la pesanteur équatoriale qui figure dans la formule de Clairaut, en 
voici le calcul; la vitesse de rotation de la Terre est de i tour 
par 86 4oo' sidérales ou par 86 164* de temps moyen : 

log \ 0,60206 

log^* Oi9943o 

loga 6,80471 

CMogT* 0,12935 — 10 

log force ceiitrii*. cqiiat. . . . 8,53o42 — 10 

log pesant, équat 0,99037 

log^ 7.54005 — 10 

^-* ^,45994 

^ ~ 288 , 3() * 



GÉOGRAPHIE. 333 



LIVRE CINQUIÈME. 



GEOGRAPHIE. 



La Géographie malhémalique se compose de deux parties: Tune, 
qui dépend de yÂslrouomie, a pour but de détcrmluer, dans tous 
les points importants du globe, les coordonnées terrestres de cola- 
titude et de longitude, ainsi que l'orientation, afin de rattacher à 
des bases certlaines les renseignements de toute provenance qu'elle 
utilise pour la description du globe; Tautre, qui dépend de la Géo- 
métrie pure, a pour but de rej orler sur des Cartes générales ou 
partielles la conligiiralion des pavs, des continents et des mers. 

La première partie a déjà été traitée amplement dans le cours de 
ce Volume ; elle sera complétée dans le second à Toccasion de la 
navigation astronomique. Nous exposerons ici rapidement la se- 
conde. 

La sphère n^est pas une surface développable ; on ne peut donc 
la représenter en tout ou en partie sur un plan qu'en lui faisant 
subir quelque déformation. Il y a une infinité de systèmes de 
Cartes; tous ont leurs déformations particulières : les uns altèrent 
les longueuis et conservent les angles; les autres altèrent les 
angles et les longueurs et conservent les surfaces, etc. Nous allons 
passer en revue les principaux systèmes de Cartes par projection 
ou par développement, en insistant sur les déformations qui leur 
sont propres. Disons seulement, au point de vue historique, que 
les projections sont dues à Hipparque, et que les premières Cartes 
par développement viennent de Ptolémée. 



VHE ClNQCIHSIi;. 



PITRE XMV. 



CHAPITRE XXIV. 



CAKTES PAR PROJECTION. 



Projection orthographique. 



C'est la projection ordinaire d"uQ hémisphère sur le grand 
cercle qui lui sert de base. Prenons pour base lc<])lan d'un méri- 
dien, comme dans la figure ci-dessous. Les autres méridiens seront 
représentés par des ellipses ajanl pour axe commun la ligne NS. 
c'csl-à-dire la ligne des pùles. Les pai-allèles de la sphère seront 
représentés par des droites perpendiculaires à cet axe. 



Construction du canevas. — Rabattons le demi-cercle équato- 
rialOE sur te plan de la Carte en ONE, et divisons-le de iS^en i'*' 




;'i partir du point N. Par les points de division, menons des perpen- 
diculaires sur OE; nous aurons ainsi la graduation de rci|UB- 



CARTES PAR PROJECTION. 335 

leur en longitude, et en même temps celle du cercle méridien NES 
en colatitude. Par les points de division de Téquateur, faisons 
passer des ellipses ayant pour grand axe commun NS ; par ceux du 
méridien NE, menons des parallèles à OE. Nous aurons la repré- 
sentation d'un réseau de méridiens et de parallèles de la sphère 
distribués de i5° en i5®. 

Cette projection est usitée en Astronomie pour représenter les 
astres- à diamètre sensible, tels que le Soleil, la Lune, les planètes. 
C'est en eflFet à très peu près sous la forme d'une telle projection 
que nous les voyons. 

Déformation. — Elle est nulle au centre et 1res faible près 



du centre, mais elle croît rapidement sur les bords. Rapportons 
les points de la sphère par leurs dislances z au point C qui se pro- 
jette sur le centre c de la Carte. 

Un point M, dont la distance sphérique est Zy aura sur la Carte, 
pour distance au centre c, sin^. Si la première augmente de la 
({uantité constante dz, la seconde augmentera de d sinz = cou zdz. 
Un petit cercle de la sphère, décrit autour de M avec le rayon dz, 
«leviendra sur la Carte une ellipse dont les demi-axes seront dz et 
cos^ dZy et, sur les bords, une simple ligne droite égale à 2dz. 

L'altération des longueurs autour de M sera donc nulle dans la 
direction perpendiculaire à c/n, et proportionnelle à cosz dans la 
direction cm. L'angle de ces deux directions reproduit exactement 

Fig. loi. 




celui delà sphère ; mais toutes les autres directions autour du point 
M se trouvent altérées sur la Carte. Le maximum de déformation 



336 LIVRE CINQUIÈME. ~ CHAPITRE XXIV. 

des angles a lieu pour le système de diamètres rectangulaires du 
cercle qui se projette sur les diamètres conjugués égauxderellîpsem. 
Soient X leur demi-longueur et U leur angle. On aura, par les 
théorèmes d'Apollonius, 

clz X dz ces 5 = x^ sinU, 
dz'^ -h dz^ cos* -3 = 2 x*. 

En divisant membre à membre, on en tire ^sinU = ^^-- 

^ I -h cos'c 

Soit, par exemple, z= 6o*; alors cos-3 = |-. La formule donne 
sinU = |, d'où U == 53**. Ainsi, si Ton voulait tracer dans col 
endroit de la Carte une rose des vents, des directions telles que X( ) 
et NE, comprenant en réalité 90^, n*en comprendraient que 53 sur 
la Carte. Ces énormes déformations rendent ce système inappli> 
cable à toute autre représentation que celle des astres à diamèln* 
sensible. C'est ainsi que les cirques de la Lune, si parfaitement 
ronds quand on lès voit dans la région centrale, apparaissent dt* 
plus en plus elliptiques à mesure qu'ils en sont plus éloignés, cl 
que les taches du Soleil, rondes très souvent vers le centre, s'apla- 
tissent vers les bords et s'y réduisent presque à une simple lign»' 
droite. 

Projection stéréographique. 

Au lieu de projeter l'hciiiisphèrc sur le plan de sa base, prenons- 
en la perspective sur ce plan, Tœil étant placé en V à Textrémi^'* 
du diamètre perpendiculaire CV {Jig- loa). 

Les propriétés de cette projection tiennent à ce que tout ravon 
visuel VmM rencontrera la sphère et le plan du tableau sous le 
même angle. En effet, menons par ce rayon visuel et par le dia- 
mètre CV un plan qui coupera la sphère suivant le grand cercle 
de la figure. L*angle de la tangente TM avec MV aura pour 

mesure^ h ^- Il en sera de même de l'angle VmB. 

D'après cela, si TT'est l'intersection du plan tangent en M avec 
le plan du tableau, cette droite sera perpendiculaire au plan du 
triangle isoscèle TM/?i, et tous ses points seront également éloignés» 
de M et de m. Si donc nous joignons un point quelconque "F de 



CARTES PAR PROJECTION. 337 

cette droite aux points M et w, l'égalité des triangles TT'M, Tï'//i 
entraînera celle des angles en M et en m. 

Or, si deux courbes tracées sur la sphère et se croisant en Mont 
pour tangentes Mï, MT', leurs projections auront pour tangentes 



//iT, mT\ celles-ci se croisent donc sous Tangle TmT'=TMT'. 
Ainsi, dans cette projection, les angles sont conservés. 

Il en résulte qu'un cercle quelconque de la sphère aura pour pro- 
jection stéréographique un cercle (*). En effet, circonscrivons à la 
sphère un cône ayant ce cercle pour ligne de contact. Les généra- 
trices seront partout normales à ce cercle. Mettons en perspective 
le cercle et les génératrices du cône. Puisque les angles sont con- 
servés, les perspectives des génératrices, issues d'un même point, 
seronl normales à la perspective du cercle, ce qui exige que cette 
perspective soit elle-même un cercle. Il faut remarquer que le 
centre de cette perspective est la perspective du sommet du cône 
circonscrit à la sphère, et non celle du centre ou du pôle de la 
courbe de contact (Chasles). 

S'il s'agit d'un grand cercle de la sphère, le cône circonscrit dé- 
génère en un cylindre dont les génératrices ont encore pour per- 
spectives des droites qui divergent d'un point de fuite. On déter- 
mine ce point en menant par le point de vue V une parallèle à ces 
génératrices, et en cherchant Tinlersection de cette parallèle avec 
le Tableau. 

Canevas sur un méridien. — D'après cela, on construira de la 



(*) A moins que le plan de ce cercle ne passe par le point de vue; alors la pro- 
jection se réduit à une droite. 



LIVRE CINQtItEUE. ' 



APITBE \X1V. 



luanicre suivante la projection stcréograpliiquc d'un hémisphère 
sur le plan d'un méridien. 
Soient 

NESO le cercle méridien servant de base à rhémispliére qu'il s'agil 
de représenter sur le plan dudit cercle; 



/<^M 


-^^ 


4 1 . iV?,. „^ 


n^^r— — 'T'] 


\\\\ o y 

\V^ Q/ 



NS la ligne des pâles et en même temps la projectiun du niéridiou 

central; 
EO l'équateur. 

Le point de vue sera aux antipodes du centre de la Carte, sur 
l'équateur même. Pour graduer l'équateur, rabattons-le autour 
de EO, sur le demi-cercte ENO. Le point de vue se rabattra en S. 

Divisons de i5° en lù" l'équalcurrabattu, et joignons les points 
de division au point de vue en S. Les points de rencontre de ces 
droites avec la ligne OK donneront la perspective des divisions de 
l'équateur. Les méridiens passeront par ces points de division ainsi 
projetés, cl, comme ils doivent aussi passer par N'cl S, on aur<i 
trois points de chacun d'eux. 

On opérera de même pour les parallèles qui coupent le méridien 
central SN en des points espacés de iS" en iS". Rabattons àgauche 
ce méridien central ainsi divisé. Le point de vue se raballra i 
droite, en E. On joindra ce point aux divisions de iS", Su". 
^5°, . . . , et les points de rencontre de ces droites avec U droili* 



CARTES PAR PROJECTION. 



339 



NS donneront les perspectives de la graduation du méridien cen- 
tral. La perspective du parallèle de i5**, par exemple, passera par 
les trois points marqués i5^ sur la figure. 

Ces parallèles couperont les méridiens à angle droit. Ceux-<:i 
coupent, en N et S, le méridien central NS, suivant des angles 
égaux à leurs longitudes comptées à partir du méridien central. 

Canevas stéréo graphique sur un plan diamétral parallèle à 
V horizon d'un lieu donnée par exemple, sur celui de Paris, dont 
la colatitude est 4 i"io'. — Soit NS le diamètre du cercle parallèle à 
rhorizon de Paris. Ce sera aussi le méridien central de la Carte. 
Paris sera au centre p. 

Fig. 10^. 




Lepointde vue doit être pris au point opposé à/> sur l'hémisphère 
inférieur. Rabattons ce méridien central sur la gauche, en N/>'S,et 
le point de vue à droite, en V. Si l'on prend />'F= 4i"*o', P' sera 
le rabattement du pôle nord et VV" la ligne des pôles ; nous aurons 
les perspectives de ces points à l'itilerseclion des. droites VP', VP^ 



340 LIVRE CINQUIÈME. — CHAPITRE XXIV. 

avec NS, Tune en P, l'autre en Q. P et Q seront donc les deux 
pôles sur la Carte. 

Les méridiens sont des cercles qui se croiseront en P et Q sous 
les angles mêmes qu'ils font entre eux sur la sphère. Leurs centres 
seront sur une perpendiculaire au milieu de PQ. Pour construire 
le méridien de 60", nous tracerons en P une droite faisant 6o* 
avec PS; puis nous lui mènerons en P une perpendiculaire qui 
déterminera le centre en O. PO sera le raj'on de ce méridien. 

Les parallèles seront des cercles ou des portions de cercle ; con- 
struisons, par exemple, le parallèle sur lequel X=3o**. Pour cela 
prenons, sur le rabattement NPS du méridien, deux arcs V a\ Vb' 
de 3o", et joignons a' et b' à V. Les points de rencontre avec NS 
détermineront ab^ diamètre dudit parallèle. 

Quant à Téquateur, menez />£' perpendiculairement à la ligne 
des pôles P'F';/>E' sera le rabattement de là trace de Téquateur 
sur le méridien central. Joignons E' et V; E sera la perspective d'un 
point de Téquateur. Sa trace sur le plan du Tableau est d'ailleurs 
/>'V, et sa perspective sera le cercle passant par />', E et V. 

Au lieu de construire géométriquement ces centres et ces rayons, 
il serait facile d'obtenir par le calcul tous les éléments d'un cane- 
vas stéréographique. 

L'avantage de cette projection, cas particulier de la transforma- 
tion d'une figure par rayons vecteurs réciproques, est de n'em- 
ployer que des arcs de cercle pour le canevas et de reproduire 
fidèlement les angles; aussi s'en sert-on pour de petites mappe- 
mondes; mais les déformations linéaires et superficielles sont con- 
sidérables. 

Fi g. io3. 

c 



Déformation. — Rapportons 'les points de la sphère au point C, 



CARTES PAR PROJECTION. 34 I 

centre de rhémisphère supérieur, par leurs distances 3 à ce point. 
Soient M un point de cet hémisphère et m sa perspective. L'angle 
mVC étant égal à ^s, on aura, si le rayon cV est pris pour unité, 
mc= tangjS, \m = séc^^, VM projection de CV =: 2 cos^z. Le 
point m étant déterminé par sa coordonnée mc= tang^3, si z va- 
rie de dz sur la sphère, la projection me variera de 

diSLîi^^z =:\dz séc^J-;;. 

Imaginons autour de M un cercle de rayon dz sur la sphère. Il 
aura pour projection stéréographique une section conique dont 
l'un des axes sera ^dzséc^^z. Pour avoir l'autre axe, menez dans 
le cercle Mie diamètre parallèle au plan du Tableau. La projection 

de ce demi-diamètre dz, réduite dans le rapport de \m à VM, 

^dz 
c'est-à-dire de séc^z à 2Cos^-3, sera donc * . ^ comme pour lo 

ces jS 
premier axe. La section conique est donc un cercle. Dès lors tout 

couple de diamètres rectangulaires pris dans le petit cercle de lu 
sphère sera représenté par un couple de diamètres rectangulaires 
sur la projection. Les angles seront donc conservés, mais les di- 
mensions linéaires sont réduites dans le rapport de i à t-t- • 

^^ 2cos*|:; 

Au centre de la Carte, où ^ = o", ce rapport est ^; aux bords, où 
z = 90**, il est égal à i . 

Ainsi la déformation porte sur les dimensions linéaires et super- 
ficielles. Bien que les angles soient conservés, les figures de gran- 
deur finie tracées sur la sphère ne sont pas, en général, représentées 
par des figures semblables sur la projection, parce que, dans l'éten- 
due de ces figures, le coefficient de déformation linéaire varie très 
sensiblement. Mais, comme on peut le considérer comme constant 
dans l'étendue des figures infiniment petites, celles-là sont repré- 
sentées par des figures semblables, deux fois plus petites linéaire- 
ment et quatre fois plus petites en superficie, au centre de la 
Carte, tandis qu'elles conservent la môme grandeur linéaire. et su- 
perficielle aux bords. 

Nous omettons ici la projection centrale ou gnomonique; il en 
sera question dans le second Volume, à l'occasion des cadrans. 



>>••< 



3i2 



LIVRE CINQUIEME. -— CHAPITRE XXV. 



CHAPITRE XXV. 



DÉVELOPPEMENTS. 



Décomposons la sphère en une série de zones comprises en:re 
des parallèles espacés de d\ en d\. Ces zones sont assimilables 
à des troncs de cône séparément développables. Chacun d'eux 
aura pour apothème la tangente de la colatitude correspondante. 
Si tous ces troncs de cône sont ouverts suivant un même mérî- 

Fig. lofî. 




dien PE'P' et développés Tun au-dessus de l'autre de manière a 
se toucher par le milieu, en sorte que la ligne médiane pe soil le 
développement du méridien PE, la sphère sera représentée par 
une série de bandes circulaires. Sur chacune d'elles les angles et 
les dimensions linéaires seront conservés, ainsi que les surfaces; 
mais ces bandes laisseront entre elles de petites solutions de con- 
tinuité. Sauf le méridien central, tous les autres méridiens seront 
discontinus. On ne peut faire disparaître ces déchirures sans sa- 
crifier les dimensions linéaires. 



DEVELOPPE!! 



Développement polyconique. 

Supposons qu'on dîiale progressivement chaque bande, de ma- 
nit-re qu'elles se rejoignent toutes. Il est évident qu'un cercle 
infiniment petit, compris dans une zone de la sphère, se trouvera 
dilaté dans le sens des méridiens et transformé en une ellipse. Les 




couples de diamètres conjugués de ces ellipses seront des transfor- 
mées des couples de diamètres rectangulaires du cercle. Les angles 
seront altérés. Il en sera de même des longueurs, excepté dans le 
sens des parallèles. 

Ce sjsième, usité aux États-Unis et en Angleterre, convient as- 
sez bien, par ses parties centrales, à la représentation d'un conti- 
nent entier. On voit, par la figure ci-dessus, quelle mappemonde 
singulière il fournirait, si l'on voulait y représenter, en une seule 
Planclic, le monde tout entier. 



.IVRE CtNQDIÊHE. — CHAPITRR \\V. 



Développement de Flamsteed, od plutAt de SaïuoD. 

Un auLre moyen de Taire disparaître les déchirures consiste à rec- 
tifier toutes ces bandes en leur conservant même longueur cl m^mi- 
largeur. Il est évident que les surfaces seraient conservées; seule- 
ment tout rectangle infiniment petit se trouverait iransfomir. 



l-ig. loK. 




Mir les bords de la Carte, en un parallélogramme de même base et 
ih: même hauteur, et un cercle inscrit dans ce rectangle se trou\e- 
riiil transformé en une ellipse inscrite dans le parallélogramme. 
liHs diamètres conjugués de l'ellipse répondraient encore tcï au\ 
diamètres conjugués du cercle. 

Les méridiens ont la forme de sinusoïdes, car, si l'on place l'ori- 
gine au pôle/), et qu'on porte les colatiludes sur l'axe des j- en 
vraie grandeur, elles arcs de parallèles rectiliéssur des ordonnées, 
le méridien de 60°, par exemple, s'obtiendra en portant sur chaque 
ordonnée les ^ du parallèle correspondant, cl en Joignant tous ce> 
points d'un Irait continu. Soit en général L la longitude de ce mé- 
lidien; l'abscisse d'un de ses points sera x^ a; le rayon du pa- 
rallèle sera sin). (nous prenons le rayon pour unité), et la portion 
du parallèle qui doit ser>'ir d'ordonnée j' sera LsînA, L étant 
<:xprimé en parties du rayon. On aura donc, pour l'équation de 
la courbe, 

J — L sinj-. 

Soit I l'inclinaison de ce méridien sur l'axe des x, au point où 



DEVELOPPEMENTS. 34S 

se trouvera représenté, sous forme d'ellipse, un cercle ayant sur la 
sphère le rayon d\. Les diamètres conjugués de celte ellipse se- 
ront d\ et -' Leur an^Ie sera évidemment oo" — L La surface 

cosl ° ^ 

de cette ellipse, Tzd\ — ^ sin(9o" — I), se réduira à iz{d\Y\ elle 

sera donc égale à celle du cercle correspondant de la sphère. On 
voit que les surfaces seront conservées. 

Quant à Tangle I, altération angulaire, on a 

dy 
lan^I 1= -T- zn LcosA. 
'^ d.r 

90" — I est Tangle sous lequel le méridien de la Carte coupe le pa- 
rallèle au point considéré. 

Voyons si ce système pourrait s'appliquer à une Carte comme 
celle de la France, et pour cela calculons I pour un point ex- 
trême du territoire, à Brest par exemple, où \^= ^\°Zo' el 
L = ^'^^ 0,1 222 en parties du rayon pris pour unité. On aura : 

L 9 , 08669 

cosX 9,874^ 

tangl 8,9614 

1 5°!^ 

Alors le canevas de ce développement représenterait, dans celle 
région, Fangle droit sous lequel le méridien croise le parallèle par 
84*46' Cette altération étant intolérable, l'ingénieur géographe 
Bonne, qui avait à choisir un système de développement pour la 
Carte de France, dut rejeter celui-là. 

Carte de rËtat-major (déyeloppement du colonel Bonne}. 

Le colonel Bonne imagina de plier toutes les bandes de In 
figure précédente sur le développement de la bande de 45**. Il 
parvint ainsi à réduire cette erreur de 5**i4' à 18', tout en conser- 
vant les surfaces et en n'altérant les longueurs que de quantités très 
faibles. 

Soit M' le parallèle moyen qui traverse le pays à représenter, el 
dont la colatitude sera désignée par)v|. Considérons un cône cir- 



346 



LIVRE CINQUIEME. — CHAPITRE X\V. 



conscrit à la sphère le long de ce parallèle, cône dont rapothème 
C']Vr= tangX|. Nous supposerons ce cône développé, de manière 
que la génératrice centrale soit CM. L'arc M/?î, décrit de C comme 
centre avec CMr=z tangAi comme rayon, représentera le parallèle 

Fi g. 109. 





moyen et ses divisions que nous porterons surM/?icn vrai gran- 
deur. Pour construire le développement d'un autre parallèle tel 
(|ue A', portons Tare M'A', que Ton désignera par a, en MA, m 
sorte que CA = tangAi -{- a, et avec ce rayon décrivons le cercle 
Vr7, sur lequel nous porterons les divisions en longitude du pa- 
rallèle A'. En faisant passer un trait continu par les divisions de 
même longitude des parallèles ainsi tracés sur la Carte, nous aurons 
un méridien de celle-ci. 

Par exemple, soit L la longitude d'un méridien Pm' comptée en 
parties du rayon. La longueur du parallèle moyen correspondant 
Mm sera LsinXi, et celle de Tare A^r du parallèle de colatitude 
A| 'i- a sera L sin().| -+- a). Rapportons cette courbe Pma à des coor- 
ilonnées polaires ayant C pour pôle et Ce/' pour axe. Nous aurons 

p -n- Ca -^ Ca':= tangX| -f- 2, 



aa' 



Art' Art 



co 



Crt' Crt' Crt 



Mais 



Art' Mm LsinX. , > 
7 — . ronst. = -jT— = ^ := l-cosA| ; 






Cm tangXi 



c'est Tangle ACrt'. On aura donc, pour Tangle aCa\ 



vi - LcosX| 



Lsin().,-- a) 
tangXj-T- a 



DÉVELOPPEMENTS. 347 

On obtiendrait Téquation du méridien en éliminant a entre p 
et (0. Mais il nous suffit de calculer Tangle I sous lequel celle courbe 
coupe le rayon vecteur : 



pdtù (langX, -h a) cos(XiH- a) — sin(Xi-+-a) 

dp ~ ^ (lanj;X|-f a)2 



tangi^q;;!^-,!/--^"^--'-^-^;;;-^^^^^^^ 



Pour appliquer cette formule à la Carie de France, faisons 
),,r=:45", remplaçons cos a par i elsinapara; il viendra 

ï 1 • ,. (l -4-a)(i — a) — (1 4-a) , . ,w„ 
laiij^i = — Ji sin/|.> "' ■ 1- sin/4D°a. 

Pour le point le plus défavorablement situé de notre territoire, 
pour lequel 'L = — 7"= — 0,1222, ar=^ — 3"3o'= — 0,061, on 
trouve : 

^ 9»o^7i 

sin i )''..... . 9,8195 

3t. 8 , j86o 

langl 7,72*26 

I i8'i5' 

Il s'en faut donc de i8'i5" qu'en ce point extrême le méridien 
de la Carte soit perpendiculaire au parallèle. Ainsi, les déforma- 
lions angulaires du canevas sont peu sensibles. 

Quant à la déformation linéaire, elle est nulle dans le sens du 
parallèle. Dans le sens du méridien, Tare ds de cette courbe a pour 
expression 

dp\\ -r- lanjj'M : (1 -- J tanj;-I)r/a. 

lojTï 9'G99o 

logtang*! 5,4452 

5,1412 Nombre^— J- 

De ces deux directions conjuguées, celle du parallèle ne subit 
aucune altération linéaire ; celle du méridien en subit une totale- 
ment insensible dans la région la plus défavorable de la Carte de 
France. 

Ce n'est pas à dire cependant que les longueurs mesurées sur 
la Carte dans les directions intermédiaires à celles-là ne soient pas 
sensiblement altérées. Nous aurons les directions où Tallération 



348 LIVRE CINQUIÈME. — CHAPITRE XXV. 

linéaire atteint son maximum en cherchant les axes de Tellipse in- 
finiment petite qui représente sur la Carte autour du point a un 
cercle de rayon rfa sur la sphère, ellipse dont nous connaissons ici 

(h 
deux diamètres conjugués e/a et > comprenant l'angle (90® — I). 

Soient ad b les deux axes: nous aurons, par les théorèmes d'Apol- 
lonius, 

afj =: uoL r sinfoo" — 1) z=ffx^, 

ce qui prouve que l'ellipse a même surface que le cercle, et par 
suite que les aires sont conservées; puis 

r/- -h b^=z r/3* H — =: 1 cIj} -h ^a* tang' I. 

On en lire 

a — b^^ doL tan<;I, 

a -h b— idoL (en négligeant tang*I), 

et par suite 

^ ^i (i — J-langI)^/a. 

Ainsi, dans le sens de ce pelil axe, qui est à très peu près une 
bissectrice de l'angle formé par les diamètres conjugués précé- 
dents, c'est-à-dire de l'angle formé sur la Carte par le méridien el 
le parallèle, l'altération de longueur est de^tangl = jfj. Telle esl 
la plus grande déformation de ce genre que présente notre Carte. 

M. Tissot, ancien répétiteur de ce Cours, remarquant que cette 
altération est proportionnelle à a^ c'est-à-dire à la distance du 
point considéré au parallèle moyen de la Carte, a conclu qu^on la 
diminuerait en remplaçant le parallèle adopté de 45" par un paral- 
lèle qui partagerait réellement la France en deux parties égales. 
Les deux colatitudes extrêmes étant Sy" el 4^**? >1 faudrait faire 
Xi m 43°3o'. Alors, en effet, si le cùne à développer était tangent à 
la sphère le long de ce parallèle-là, la plus grande altération de 
longueur serait de ^, et la plus grande altération angulaire serait 
de 10' 3o" au lieu de 18' 1 5". 

Cette condition que les angles soient très peu altérés sur unr 
Carte comme celle de la France, faite en vue de tous les ser\ice> 
publics, esl essentielle. Il faut, en effet, que les erreurs propres au 



DÉVELOPPEMENTS. 349 

canevas de la Carte ne dépassent pas celles des levés lopographiques 
qui viennent se rattacher à telle ou telle région de cette Carte. 

On p>ourrait choisir d^autres systèmes parmi Finfinité de ceux 
qui n'altèrent pas du tout les angles; mais il y a une seconde condi- 
tion non moins nécessaire : c'est que les altérations de longueur 
ne varient pas trop d'un bout à l'autre de la Carte, afin que 
l'échelle de celle-ci puisse être considérée comme constante dans 
l'étendue de chacune des feuilles dont la réunion forme la Carte 
d'ensemble. 

Le système français satisfait bien à ces conditions, et c'est là ce 
qui a facilité le travail de sa construction, en permettant d'insérer, 
dans les polygones rigoureusement déterminés par la Géodésie, les 
levés topographiques de détail, au moyen d'une simple réduction 
d'échelle, peu différente d'une région à l'autre. 

Les arcs de cercle de très grand rayon étant difficiles à tracer, 
on a calculé les coordonnées rectilignes de leurs points d'intersec- 
tion avec les méridiens, ce qui montre combien il est peu utile de 
s'astreindre à représenter sur une grande Carte les cercles de la 
sphère par des arcs de cercle. 

Enfm, ce système se prête très bien aux modifications rendues 
nécessaires parla figure de la Terre. Il suffit de remplacer dans les 
formules précédentes tangXi par N tangXi, a par l'arc elliptique s 
dont nous avons donné le développement en série, et le rayon du 
parallèle X| -h a par N sin().| -h a), N étant calculé par la formule 

a 



y 1 — e?*cos*(X,-h a) 



C'est effectivement ce qui a été fait. 

La Carte de l'État-major, ordonnée dès 1808 par l'empereur, fut 
exécutée à partir de 1818 par le corps des ingénieurs géographes, 
qui se fondit en i83i avec celui des officiers d'État-major. Le travail 
a duré quarante-cinq ans. 11 se compose de deux cent soixante- 
neuf Cartes à l'échelle de gô^ôïï» '^^ originaux, conservés au Dépôt 
da la Guerre, sont à une échelle double et peuvent être consultés 
à tout instant par les ingénieurs de tout ordre qui ont des projets 
à étudier. 

Pour les usages courants, on a fait une réduction à l'échelle de 
jjWôù^y ^^ trente-deux feuilles, couvrant un espace de i a"*i, 60, don- 



35o JLIVRE CINQUIÈME. — CHAPITRE XXV. 

nant les routes et les cours d'eau, les divisions principales des 
cultures, le relief du terrain, et tous les chefs-lieux de commune, 
au lieu de tous les lieux habités, comme le fait ia grande Carte. 

Celte œuvre immense s'appuie sur un réseau de triangles dont 
la Carte géodésique de la fig. 86 donne une idée fort nette, en ce 
qui touche la Géodésie du premier ordre. 

Le plan premier de ces travaux a été conçu et proposé par l'in- 
génieur géographe Bonne; à l'exécution du travail se rattachent 
encore les noms du colonel Puissant, de Çorabœuf, Henrv, Brous- 
saud, Peytier, du chef d'escadron Hossard, depuis professeur d'As- 
tronomie à l'École Polytechnique, et de beaucoup d'autres ofTicîers 
du corps d'élat-major. De jeunes officiers, placés sous la direction 
du colonel Perrier, revisent aujourd'hui les parties les plus impor- 
tantes de cette grande triangulation afin de les tenir au courant de 
la Science; ces derniers viennent de terminer en Algérie des tra- 
vaux analogues pour la Carte de cette région. 

Ancienne Carte de France (Carte de Cassini). 

Soient O le centre de la contrée qu'il s'agit de représenter, OM le 
méridien central, OQ un grand cercle perpendiculaire à ce méri- 
dien. Un point sera déterminé si l'on mesure en toises, sur la 
sphère, ses distances à ces deux cercles, c'est-à-dire les arcs «6, ac. 

Adoptons pour la Carte un s^^stème semblable, en représentant 
par des droites les deux axes OM et OQ; le point a y sera porté 




au moyen des deux coordonnées rectilignes ahy ac, égales en lon- 
gueur aux arcs de même nom sur la sphère. Le canevas se réduit, 
comme on le voit, à des droites parallèles à la méridienne OM et 
à une autre série de droites parallèles à la perpendiculaire OQ. C'est 
assurément le plus simple et le meilleur de tous les svstèmes pour 



dëveloppesients. 35i 

représenter une contrée de peu d'étendue; mais il offre déjà quel- 
ques inconvénients pour un pavs aussi grand que la France. 

Les coordonnées géographiques des divers points ne se lisent 
pas immédiatement sur la Carte de Cassini ; on les déduit facile- 
ment, par le calcul, des coordonnées ab et ac. Le triangle rec- 
tangle Vac contient ces éléments, car Tangle en P ^= L et Pa :^ \, 

Ce système, abandonné pour la Carte de France, est encon* 
journellement appliqué dans les services publics, pour les Cartes 
de détail ; Tassemblage de ces Cartes se fait immédiatement et sans 
difficulté. 

Quant au tracé des courbes de niveau et des hachures, nous 
renvoyons le lecteur aux Ouvrages spéciaux. 



352 LIVRB CINQUIÈME. — GHAPITRK XXVI. 



CHAPITRE XXVI. 



CARTES DE MERCATOR (POUR LA NAVIGATION). 



*—— 



Depuis rintroduclion de la boussole dans la navigation, au 
XIII* siècle, on a pris Thabitude de déternoiiner, au départ, la direc- 
tion de la route que le navire doit suivre pour arriver à un point 
donné; on maintient, à Taide du gouvernail, Taxe du navire dans 
cette direction que la boussole permet de retrouver à tout instant 
et en tout lieu. Pour se rendre compte chaque jour de la position 
du navire, il faut tracer sur une Carte la route déjà parcourue. Or 
la ligne suivie par le navire coupe sous un angle constant les mé- 
ridiens terrestres; c'est une courbe nommée loxodromie. Il serait 
donc utile d'avoir des Cartes sur lesquelles cette courbe serait re- 
présentée par une simple droite toujours facile à tracer. Pour cela, 
il suflQt que les méridiens soient transformés en droites parallèles 
et que les angles soient conservés. 

Les angles sont conservés lorsqu'un cercle infiniment petit tracé 
sur la sphère est représenté, sur la Carte, par un cercle infiniment 
petit plus ou moins dilaté. Autrement dit, la dilatation qu'un élé- 
ment infiniment petit doit subir sur la Carte doit être la même 
dans deux directions perpendiculaires. 

Prenons un système analogue à celui de Cassini, mais appliqué 
à l'équateur et non à un autre grand cercle perpendiculaire k un 
méridien. Les méridiens seront représentés par des droites espa- 
cées de degré en degré perpendiculairement à l'équateur; les 
parallèles par des droites équidistantes perpendiculaires aux pre- 
mières. C'est là le système que les navigateurs employaient autre- 
fois sous le nom de Cartes plates, 11 est facile de voir que, sauf 
la direction des parallèles et des méridiens, toutes les aulres direc- 
tions autour d'un point quelconque pris hors de l'équateur sont 
altérées. En effet, la dilatation est nulle dans le sens des méridiens, 



CARTES DE MERCATOR (POUR LA NAVIGATION). 3jS 

puisque ceux-ci sont représentés en vraie grandeur; mais elle esl 
très sensible pour les parallèles, puisque ceux-ci, qui devraient 
décroître comme sur la sphère proportionnellement à sinX, ont 
partout même longueur. La dilatation, dans ce sens, est telle, qu'un 
clément ciT^, pris sur le parallèle de colatitude X, est représente 

sur la Carte par -r-r-* Il faut donc, comme Ta montré Gérard 

^ sinA 

Mercator, au xvi'' siècle, dilater pareillement Tclémenl d\ pris au 

même lieu sur le méridien, c'est-à-dire lui donner sur la Carte la 

longueur -r-rr* Cela revient à espacer de plus en plus les parallèles 

ù mesure qu'on s'écarte de l'équateur. 

La somme de ces éléments amplifiés d'un même méridien, depuis 
le parallèle à jusqu'à l'équateur où X = go*', sera 

90" 



f. sm  



L'intégrale générale s'obtient en remarquant que, ^désignant un 
logarithme népérien, 

, . I ^ {fk fi 9,1 

^ taiigA eus'/ siriAcosA sinaX 

elle est donc ^^tangyX -\- const. L'intégrale définie sera 

^i — 4;^tangp. — 4^cot^X. 

Ayant fait choix d'une longueur m pour les degrés de l'équa- 
teur, il faudra, pour tracer les parallèles de 89**, 88**, 87", . . . , les 
reporter à des distances de l'équateur égales à 

8()» 88» 8-7" 
/wJ'cot-^) mi* cet — > wJ'cot-^> 

Pour tenir compte de la figure elliptique de la Terre, on rem- 
placera é/X par l'élément de l'ellipse méridienne 

ds = RéA —(i — e^) — dky 

^ ar 

et le rayon du parallèle, qui serait r sinX sur une sphère de rayon /•, 
par NsinX. L'expression précédente devient, en prenant a pour 

23 



354 LIVRE CINQUIÈME. — CHAPITRE XXVI. 

unité, 

J^ N sinX ~~ J^ sinX(i — e* cos* 



^) 



On pourrait obtenir l'intégrale complète, mais il sufGt de réduire 
en série, en négligeant e*, . . . , et d'intégrer. Pour cela, multiplions 
haut et bas par i + e^cos^X et supprimons les termes en e'; il 
viendra 

r^'i^eHinn ^ , X , , 

I ;— 7- aA=:J*cot e'cosX. 

/, smX ^2 



-x 



Si l'on veut remplacer les logarithmes népériens par les loga- 
rithmes ordinaires, il faut diviser ceux-ci par log^ = 0,434^, et, 
pour obtenir le résultat en minutes, on devra multiplier les deux 
termes par 3437', 8, ce qui donne, avec e^=z 0,0068, 

79i5',7o51ogcot-' — 23',36cosX. 

Voici les valeurs des distances de divers parallèles à l'équateur: 



O » 90' 

20 99. 4,2 70 

3o 75. 7,2 60 

40 57.36,5 5o 

5o 43.27,7 4® 

60 3i.i6,7 3o 

70 20.17,1 20 

80 9.59,1 10 

90 0,0 o 

Construisons le canevas de celte carte. L'équateur y sera repré- 
senté par une ligne droite, en vraie grandeur, bien entendu à 
l'échelle convenue. Divisons-le de 10** en 10**. Les méridiens seront 
des droites perpendiculaires à la droite équatoriale et passant par 
les points de division. Les parallèles seront des droites parallèles 
à l'équateur; leur espacement sera donné par les nombres précé- 
dents, 

9*,98, 2o*,28, 3i*,28, 43",49» 57«,6i, 75M2, 99*,07. ..., 



CASTES DE IIEBC4T0B (pOtR LA NAVIGATION')- 355 

OU par ces luémes nombres en ceDtimèlres si dans la figure ci-jointe 
nous prenons û'iOI pour i". Le canevas ainsi construit jouit des 
propriétés suivantes : t° la dilatation d'un élément linéaire de la 

sphère autour d'un point de colatitude "k est -;-^ dans toutes les 

directions autour de ce point; cette dilatation reste la même tout 



^ 


Fis 


.,.. 


* 


--Ï 




.- 


A 




;■ 















































le long du parallèle de ce point; elle ne varie que d'un parallèle à 
l'autre ; a° une figure infiniment petite de la sphère tracée autour 
d'un point de colatitude ). est représentée sur la Carte par une 

figure semblable ; le rapport de similitude est -^; il n'en sera pas 
de même desfigures de dimensions finies ; 3''lesarcsdeloxodroniiey 
seront représentés par des lignes droites, mais leurs éléments 
linéaires subissent une amplification croissante vers les pAles. 

Nous reviendrons sur ce sujet dans le Chapitre relatif à la 
navigation; en attendant, nous présentons ici une mappemonde 
construite dans ce système. 



DÉVELOPPE 











-f- 



i J ] i t / 



r^r jr A iii - ç \T IL If V: ^ ' 



358 LIVRE CINQUIBIIE. — CHAPITRE XXVI. 



Systèmes de Lambert, de Gauss, etc. 

On retrouve l'intégrale précédente dans toutes les projections 
où les angles sont conservés. Si Ton voulait, par exemple, donner 
au développement de Mcrcator l'avantage d'avoir un pôle C sans 
lui ôter la propriété de conserver les angles, on ferait converger 
vers ce point les méridiens rectilignes sous des angles altérés dans 
un même rapport en posant C = mlj, L et C étant les angles 
compris entre les méridiens sur la sphère et sur la Carte. Ce pôle C 
serait le seul point de la Carte où les angles ne seraient pas égaux 
à ceux de la sphère ; partout ailleurs il est possible d'établir l'égalité. 
11 suffit, pour cela, d'espacer convenablement les parallèles cir- 
culaires dont le centre commun sera en C, et dont nous allons déter- 
miner le rayon p. 

Un petit cercle de rayon rf)v à la colatitude Xsur la sphère devTa, 
pour que les angles soient conservés, être représenté sur la Carte 
par un petit cercle de rayon dp à la distance p du point C. Or, l'axe 
iransversc de ce dernier sera 

p dC ou m p dL = m p -7 



sinX 



La condition de la conservation des angles sera donc exprimée par 
la relation différentielle 

dl 

dp = mp -i—ry 

dont l'intégrale est 

^^przz^tang'^^X-f-^^K, 

^K étant la constante. Cela revient à 

p=:K tang'"-JX. 

C'est la projection de Lambert ou de Gauss employée pour les 
Cartes récentes de Russie et du Hanovre. On ramènerait à la 
même condition analytique le canevas plus général de Lagrange. 
La projection sléréographique polaire en est un cas particulier, et 
répond d m ^^ \. 



SrSTàllES DIVBHS. 3^9 

Si, au lieu de conserver les angles sur celte Carie à méridiens 
rcctilignes convergents et à parallèles circulaires, on voulait con- 
server les surfaces, le cercle de ra^on cA sur la sphère devrait être 
représenté sur ta Carte par une ellipse équivalente. De là la con- 
dition 

(/? X mp-v— r — /'rfA", 

on désignant par /- le ra^on de la sphère. L'intégrale est 

Jmp'= — /'cosX -t-const. 

Celle constante est évidemment r', d'où îl résulte que la Carte sera 
construite d'après la projection de Lorgna, dont il sera question 
plus bas. 

Projection homolograpliiqne de M. Babinet 
ou plutôt de IfoUweide. 

On divise en parties égales le diamètre OE de la Alappemonde; 
par les points de division on fait passer des ellipses ayant NS 
pour axe commun. La surface est ainsi divisée en fuseaux équi- 
valents à la moitié des fuseaux splicriques. Soit AB un parallèle 




qui doit représenter le parallèle de la latitude /, de sorte que OEBA. 
soit la moitié de la demi-sone sphérique. La surface est 

r'x-h #-'sîn.rco3j:^r;ÎTtr'8in^ 



36o LIVRE CINQUIEME. — CHAPITRE XWI. 

OU 

2 J7 -H sin 2 x m Tc sin /, 

d'où Ton déduira les valeurs de x qui répondront aux. diverses 
latitudes. De la sorte, les quadrilatères de ce canevas seront égaux 
en surface à la moitié de ceux de la sphère; mais les angles sont 
notablement altérés sur les bords. 



Projection de Lorgna. 

Elle s'applique aux contrées polaires; nous Tavons déjà déduite 
d'un développement plus général, celui de Gauss. 

La surface d'une calotte sphérique ayant N6 pour arc e>l 
uT:/*(r — /-cosNt); or la corde N 6 est moyenne proportionnelle 

Fig. 114. 





entre ir et r — rcosNt; doncTcNfr = surface de la calotte sphé- 
rique. Si du point N' comme centre d'une Mappemonde on décrit 
des cercles avecNr/, ]\6, . . . comme rayons, les surfaces comprises 
entre les parallèles reproduiront exactement celles de la sphère. 
Il en sera de même des fuseaux correspondants à ceux de la sphère. 
IjCS surfaces seront conservées, ainsi que les angles des méridiens 
et des parallèles, mais non les autres angles ni les distances. 

Projection globulaire. 

Elle diffère de la projection stéréographique en ce que les cercles 
méridiens et les cercles parallèles sont également espacés. Le pa- 
rallèle de 3u'' passe par les deux divisions de 3u° sur le cercle limite 



TIlÉOniB GÉNÉRALE DEH CARTE». 

i:t par un point situé au tiers du rayon ON; ni les angici 
Fis. ■■5- 




surfaces ne sont conservés, ; 
pour une Mappemonde. 



> tes altérations sont peu nolahir- 



Résumé. 

En résumé, quel que soit le système de projection ou de dévelop- 
pement adopté, un cercle infiniment jietit de la sphère y sera 
représenté par une ellipse, et, comme toute ellipse est la projection 
d'un cercle de ravon convenable placé sous une cerLaine 
inclinaison, on peut dire avec M, Tissot que tout cercle ou toute 
ligure inliniment petite de la sphère se trouve transformé, sur une 
Carie, en une simple projection orthogonale à une échelle déter- 
minée. On pourrait dire aussi que l'on passe de la courbe sphériquc 
à sa représentation en inclinant, d'un même angle, les ordonnées 
de la première rapportée à un système d'axes rectangulaires, et 
amplifiées au besoin dans un rapport donné. 



Théorie générale des Cartes. 

Au lieu d'examiner l'un après l'autre les divers systèmes, en 
nombre illimité, de projections ou de développements, et d'en 
chercher les propriétés caractéristiques, on peut suivre imc 
marche inverse beaucoup plus générale. Elle consiste à rapporter 
les points d'une Carte quelconque à un système de coordonnées 
rectangulaires x et^', fonctions elles-mêmes des coordonnées )■ 



362 LIVRE CINQUIÈME. — CHAPITRE XXVI. 

et L sur la sphère, puis à déterminer ces fonctions de manière à 
donner à la Carte des propriétés particulières. 
Soient donc 

Lr-F(X,L) 

les coordonnées x^y d'un point de la Carte répondant au point 
(X, L) de la sphère. Si Ton considère L comme invariable, les équa- 
tions (i) seront celles du méridien de ce point. En passant du 
point (X, L) au point infiniment voisin ()v -+- rf)», L), on aura un 
élément rfX de ce méridien; les coordonnées, sur la Carte, de ce 
second point étant 

df ^ dY j. dx ^ dr 

dX ^ d}. dX ' (U 

rélément du méridien, que nous désignerons par a\ sera 

De même si nous faisons varier L en laissant A constant, nous au- 
rons, pour l'élément du parallèle. 



^■=-v/(^)"Ha)' 



et, si nous voulons que a' et // représentent les diamètres conju- 
gués de l'ellipse qui répond, sur la Carte, au cercle de rayon e/). sur 
la sphère, il faudra poser 

^sinX = c^, 
d'où 



La tangente de l'inclitiaison de l'élément a' sur Taxe des x étant 

-^ :-^ et celle de l'élément b' étant -ir • 3r » on aura, pour l'angle 
dk d). ûfL aL * ^ 



THÉORIE GÉNÉRALE DES CARTES. 363 

compris que nous avons désigné plus haut par 90** — I, 

dy dx dy dx 

, - . / , V dLi d\ dk dh , , . 

(4) tang(9oo-.I)^ ^^ ^^ (M. 

dL dl'^ dL d>. 

Si l'on veut que la Carte jouisse de la propriété de conserver les 
angles, il faudra exprimer, à l'aide de ces relations, que a' = b' et 
que I = o". On arrive ainsi à une équation aux différences par- 
tielles du second ordre, dont l'intégrale donne une indication 
sur la nature des fonctions fÇ^-i L), F(X, L). Pour les déterminer 
entièrement, il suffira d'introduire de nouvelles conditions rela- 
tives, par exemple, à l'espèce de lignes qui doivent constituer le 
canevas : droites, arcs de cercle, courbes du second degré, etc. 

Si l'on veut que les surfaces soient conservées, on exprimera 
que l'aire de l'ellipse dont les diamètres conjugués sont a' et b' 
est égale à l'aire du cercle de rayon cTk sur la sphère. La condition 
a' U cosi = cTk'^ conduira à une équation aux différences partielles 
du premier ordre dont l'intégrale fera connaître la forme de F pour 
une forme donnée de f. 

Contentons-nous de deux exemples des plus simples du premier 

cas. Posons fÇk^ L) = r-j et déterminons F(X, L) de manière 

i>an£r A 

à conserveries angles. On aura 

dx sinL dx cosL 

dL tangX dk sin'X 

* 

En portant ces valeurs dans les équations 

dkj \d\J "" sin«X l\dLj \dLj J' 

dx dx dy dy 

dL'dk ~^'3Ldk' 

on trouve, en éliminant une solution parasite, 

dy cosL dy sinLcosX 

dL sinX d)s sin*X 



(*) Oo déduira, au besoin, des demi-diamètres conjugués a\ b' et de l'angle 
compris I, les demi-axes a et 6 de l'ellipse de la Carte, au moyen des théorèmes 
d'Apollonius. 



304 MVRE CINQUIÈME. — CHAPITRE XXVI. 

Or rinlégrale de 

, rosL ,, sinLcosX ^ 

SIIIA sin*A 

est 

sinL 

V ou r(A, L)~ :— T-« 

sinA 

Il est facile de voir que le canevas se composera d'une série d'el- 
lipses pour les méridiens et d'une série d'hyperboles pour les pa- 
rallèles. 

Admettons pour second exemple que le canevas doive être formé 
de droites parallèles équidistantes pour les méridiens. 11 faudra poser 

.r~/(X, L), 

Pour que 90" — I soit droit, il faut que 

dx dx 

dx 
Par conséquent, — =r o et j: =y().). Si les angles doivent être 

conservés, il faut que r/ -^ V ou que 

dx I dy 1 



d\ siiiX d\j sinX 

relation identique à celle que nous avons eue à intégrer (p. S'iS) 
pour les Cartes marines. 

Les géomètres, dans leurs recherches à ce sujet, se sont attachés 
au cas où les lignes du canevas doivent être en totalité ou en partie 
des arcs de cercles; il suffit pour cela d'exprimer que le rayon <!«• 
courbure des méridiens ou des parallèles est constant dans toute 
l'étendue de ces courbes. Mais cette condition manque d'intérêt 
dans la pratique ; nous avons vu en effet, pour la Carte de France, 
qu'on n'a pu profiter de la figure circulaire des parallèles pour le-? 
tracer au compas sur les feuilles ; il a fallu les déterminer point par 
point au moyen de coordonnées rectangulaires, les seules qu'on 
soit en état de tracer exactement sur ces immenses canevas. Nous 
laisserons donc de côté ces recherches, intéressantes au seul point 
de vue de l'analyse, et nous nous bornerons à appliquer les relations 
précédentes à un sujet plus pratique. 



COORDONNÉES RECTILIGNES DE M. TISSOT. 365 



Coordonnées rectilignes de H. Tissot. 

Proposons-nous de déterminer les fonctions /et F de manière à 
réduire au minimum les déformations linéaires et angulaires de la 
Carte d'un pays limité, tel que la France, PEspagne, TÉgypte, etc. 
L'étendue en tous sens étant d'une douzaine de degrés, par 
exemple, si l'on place l'origine des coordonnées vers le milieu, en 
désignant par )v| la colatitude de ce point, et par X| -f- a, L les coor- 
données sphériques d'un point quelconque de la contrée, a et L 
ne dépasseront pas 5" ou 6**, à peu près ~ en parties du rayon. Dès 
lors, on sera en droit de développer x et j' ouy'()v,L), F()v, L) par 
la formule de Maclaurin, en séries procédant suivant les puissances 
de a et de L, et de négliger les termes du quatrième ordre, lesquels 
n'atteindront pas tôtoî' 

Supposons même, pour simplifier encore, que ce pays ait une 
certaine symétrie par rapport à un méridien, et prenons le méri- 
dien central développé sur la Carte pour axe des x^ ce qui sup- 
prime les termes indépendants de L dans la série de r\ on écrira, 
pour X et 1', les expressions 

I X ".-. nij. -\- n L — /? a' -f q a L h- /• L* H- . . . , 

^^^ I V-:: /i'L-+- ^/aL^-/•'L«-^..., 

et l'on n'aura plus qu'à disposer des indéterminées m, /«,/>, ... de 
manière que les rapports d'altération linéaire -p-^ -pr ne diffèrent 

Cl K Cl r\ 

de l'unité que de petits termes en a et L, et de manière que l'alté- 
ration angulaire I ne contienne dans son expression algébrique que 
des termes du même ordre. 

Après avoir formé les dérivées partielles de j:^ et dej)^ en ). et L 
{d\ ou dx représentant la même chose), on voit immédiatement 

que -TT-j c est-à-dire 



se réduira à i -|- termes en a et L si Ton fait m = i ; que 
b' I ^ 



366 LIVRE CINQUIEME. — CHAPITEE XXVI. 

se réduira pareillement à i -f- termes du premier ordre si Ton fait 

n' -h 7'a ,, . , , .s 

/i=:o et — ;— ~ ml, clou n -h 7 a ==: sida; 

smA 

comme on a 

sinX =1 sin(À, -h a) =: sinX, -h acosXj, 

à des termes près du second ordre, cela revient à prendre 

n'rizsinXi, ^':=r. cosXj, 

ce qui réduit les équations (5) à 

x^=zi -{-poL^ -i-^aL 4- r L*-f-. . ., 
y-:=: L sin X -h r' L* + 

On s'assure aisément que Taltération angulaire I, dont l'expres- 
sion est (en remplaçant la tangente par Tare) 

clx dx dy dy 

- dL d\ dL d\ 

dy dx dy dx 
dLdï~' TIÏTÏT. 

ne contient que des termes du premier ordre et des ordres sui- 
vants. 

Faibons maintenant disparaître de ces trois expressions les 
termes du premier ordre. 

Pour que -j^j c'est-à-dire 



[(i -h 2p7. -+- qL -{- , , ,y ~\- (LcosX 4-. . .)']* 

ne contienne pas de termes du premier ordre, il faut faire p = o, 
fj = o. Pour que -rr ou 



T— r[(2rL-h. . .)*-+- (sinX -h 2r'L -h. . .)*]* 



n'en contienne pas non plus, il faut que r^= o. Nous poserons 

donc 

X ^=zoL -+- rL* -f- termes du troisième ordre, 

y z=i L sin X -h termes du troisième ordre. 



COORDONNÉES RBCTILIGNES DE M. TI8S0T. 867 

On aura alors, pour rallération» angulaire. 



I arL H- sinX, cosXjL .... 

sinXj — ar cosX|L*-i-. . . 

Les termes du premier ordre disparaîtront en posant 

r =z\ sinX, cosXj^ni sinaXi. 

Il ne reste plus qu'à atténuer autant que possible Tinfluence des 
termes du troisième ordre. Écrivons 

X .= a 4- i sin 2 Xi L« -I- ^ a» . - B a« L -h C 3tL« -h 5 L', 
7 := L sinX -h ^'oc' -h B'a«L - C'aL» 4- y L». 

On en déduira les dérivées partielles de x et de ^, et, par suite, 

a' b' 
on calculera les nouvelles expressions de -7y> --pry I, ne contenant 

plus que des termes du deuxième ordre. En disposant des- nou- 
velles indéterminées Â, B, ... et en suivant la même marche 
que précédemment, on fera disparaître les termes du deuxième 

a' b' 
ordre dans I et dans la différence -jr — -rr-» mais non dans ces 

aA ah 

deux altérations linéaires prises séparément. M. Tissot parvient 

ainsi aux expressions finales, en posant, pour abréger, 

L. ^ . , COS 2 Al . 

SinX,!!::/ et k:=z r— — A: 

2sin*X| 

A B 

J7 — a -h * cotX, ^ 4- -5- a' — Ba* / -4- A:a^ 4- -5 /', 

y^ ^/+Ç«3^Aa«/-B.^-h4/» (»). 

^ sinXi o 3 

Les constantes indéterminées se trouvent réduites à deux ; la dé- 
formation linéaire, désormais la même, à très peu près, dans tous 



(') II est permis de remplacer dans ces petits termes X par X,. 

(') Le terme en a' revient ici parce que Tauteur ne suppose pas, comme nous 
l'avons fait, que l'axe des x se confonde avec le méridien central, mais qu'il lui 
est simplement tangent à l'origine. 



308 LlVftE CINQUIÈME. — CHAPITRE XXVI. 

les scnsy a pour expression 

Aa»— 2Ba/-f-(i — A)^. 

11 ne reste plus qu'à profiler, dans chaque cas particulier, ôr 
rindétcrmination des deux coefficients A et B, et du choix de Tori- 
gine (valeur de X| et position du méridien central), pour réduire 
autant que possible le maximum de déformation linéaire. On \ 
parvient aisément par quelques essais graphiques. Les points 
d'égale déformation linéaire étant situés sur des ellipses semblables, 
faciles à tracer sur un transparent, il suffit de faire glisser celle 
feuille sur une Carte provisoire de manière à comprendre la tota- 
lité du territoire dans le périmètre de rdlipse la plus favorable. 
M. Tissot a montré qu'en adoptant ses formules on réduirait les 
déformations maxima, pour la France, à aj" en angle et à j^j^ en 
longueur. Nous avons vu (p. 368) qu'elles vont, dans la (^arle 
actuelle, à 1 8' et à jf^. Quant à l'Espagne, la plus grande altéra- 
tion serait de 4" pour les angles et de j\^ pour les distances. Celle 
des angles est pratiquement nulle. Pour ce qui est de la déforma- 
tion linéaire, aucun système ne saurait la produire plus faible, 
car, par son expression même , où se trouvent les deux con- 
stantes A et B, on voit qu'il n'est pas possible de faire disparaître 
les termes du second ordre. 



FIN 1)K LV PHKMIEIΠPARTI K 



TABLE DES MATIÈRES 



DE LA PREMIÈRE PARTIE. 



Ptfet. 

Avertissement y 

Symboles et Conventions vu 

Introduction i 

Distinction fondamentale entre le monde solaire et l'univers i 

Le système solaire vu de dehors 5 

Le système solaire vu de la Terre 8 

Voûte céleste lo 

Illusion provenant d'un mouvement de translation rectiligne i3 

Illusion provenant d'un mouvement de rotation i5 

Illusion provenant du mouvement de la circulation de la Terre autour 

du Soleil 17 

Conception de l'univers dans l'antiquité 21 

Classification des étoiles et mesure de leur distance a3 

Mouvement de translation du système solaire 27 

Mouvements propres des étoiles 29 



PREMIÈRE PARTIE. 



ASTRONOMIE SPHÉRIQUB. — DESCRIPTION DES INSTRUMENTS. — THÉORIE 

DES ERREURS. — GÉODÉSIE ET GÉOGRAPHIE MATHÉMATIQUE 3i 

Livre premier. — Théorie du mouvement diurne du ciel 33 

Description du mouvement diurne apparent du ciel 33 

Chapitre I. — Systèmes de coordonnées usités en Astronomie 36 

Coordonnées locales des étoiles 36 

Mesure du temps. Jour sidéral. Heure 37 

Coordonnées uranographiques 38 

Coordonnées géographiques 4^ 

Relations mutuelles de ces trois systèmes de coordonnées sphérique:». ... 4' 

Usage des globes céleste ou terrestre 4^ 

Coordonnées zénithales 49 



370 TABLE DES MATléftES. 

Pafet. 

Chapitre II. — Transformation des coordonnées Sa 

Transformation par déplacement de l'origine 5a 

Coordonnées sphériques. Manière de représenter ane direction ou un 

plan 53 

Condition pour que trois points de Ja sphère, donnés par leurs coordon- 
nées angulaires, soient sur un arc de grand cercle 55 

Changement de direction de Taxe des coordonnées sphériques 57 

Application de ces formules aux coordonnées célestes 58 

Trigonométrie sphérique 60 

Formules*calculables par logarithmes 60 

Analogies de Delambre et de Neper 61 

Triangles rectangles 63 

Résolution des triangles quelconques 6^ 

Sur les calculs trigonométriques : 65 

Formules différentielles des triangles sphériques (j8 

Développement en série des fonctions trigonométriques 70 

Chapitrk III. r- Théorie des instruments de mesure angulaire. Principaux 

organes de ces instruments 7^ 

Alidade à pinnules 7} 

Substitution des lunettes aux pinnules 75 

Lunettes astronomiques 77 

Mise au point. Réticule 78 

Verniers. 80 

Vis de rappel. Vis micrométrique 81 

Erreurs d'excentricité; leur élimination au moyen de verniers opposés.. 8i 

Erreurs de division 83 

Chapitre IV. — Description et usage du théodolite 87 

Rectification de Taxe principal. Fil à plomb. Niveaux 90 

Niveau à bulle d'air 91 

Rectification de l'axe secondaire 9j 

Rectification de la ligne de visée ip 

Mesure des azimuts à l'aide du théodolite cp 

Erreurs dues à une rectification imparfaite 97 

Mesure des distances zénithales à l'aide du théodolite 100 

Erreurs dues à une rectification imparfaite 101 

Méthode de la répétition io3 

Angles horizontaux loj 

Angles verticaux 106 

Méthode de la réitération 108 

Lunette de repère 109 

Chapitre V. — Théorie de la réfraction atmosphérique 110 

Théorie de la réfraction, en tenant compte de la courbure de la Terre. . . ii3 

Expression complète de la réfraction en termes finis 1 15 

Développement en série de l'expression de la réfraction 117 

Table des réfractions 119 



TABLE DBS MATIERES. Sjl 

Chapitre VI. — Détermination cutronomique des coordonnées géogra- 
phiques d'un lieu 



Méthode des hauteurs correspondantes 

Circonstances favorables à la détermination exacte de Theure et de la 

colatitude 

Exemples numériques, — Détermination de l'heure 

Détermination de la colatitude par des observations circumméridiennes. 
Orientation 

Livre deuxième. — Grands observatoires astronomiqaes — 



Pendule astronomique 

Échappement à ancre dépendant et à repos 

Remontoir 

Minuterie 



Chapitre VII. — Lunette méridienne. 



Observation du passage d'un astre aux fils de la lunette 

Rectification de la lunette méridienne 

Erreur de collimation 

Erreur d'inclinaison 

Erreur d'azimut 

Extrait des registres de l'Observatoire de Paris 

Collimateurs 

Erreur personnelle 

Suppression de l'observateur par l'enregistrement photographique des 
observations •. 

Chapitre VIII. — Cercle mural 



Lieu du zénith 

Rectification du cercle mural 

Observations faites à Paris 

Réduction au méridien 

Détermination de la colatitu:ic 

Corrections instrumentales 

Erreur personnelle de l'observateur 

Cercle méridien. Flexion des lunettes 

Détermination simultanée de la colatitude et des constantes de la réfrac- 
tion 

Travaux d'un grand observatoire 

Rôle des étoiles fondamentales 



Livre troisième. — Théorie des erreurs 



Chapitre IX. — Erreurs systématiques 

Recherche expérimentale d'une cause d'erreur. 



Chapitre X. — Théorie des erreurs accidentelles 

Équations de condition de forme quelconque. — Méthode des moindres 
carrés 



a3 
24 

a5 

32 

33 
35 

3: 

38 
4o 

43 

44 

47 

49 
5i 

53 

53 

55 

59 
6i 

62 

64 
66 

69 
7' 
V 
73 

l\ 

74 

7^ 
76 

78 
80 

82 

87 

89 
89 

93 
95 



3yiÀ TABLE DBS MATIÂRES. 

PafM 

Équations de condition ramenées à la forme linéaire 196 

Erreur moyenne des observations 198 

Erreur moyenne d'une fonction quelconque de quantités d'une précision 

donnée 200 

Erreur moyenne des solutions fournies par la méthode de Legendre ao3 

Application de la méthode des moindres carrés à un exemple ao4 

Gbapitbe XI. — Observations d*inégale précision 208 

Chapitre XII. — Application du Calcul des probabilités à la théorie des 

erreurs 214 

Enquête a priori sur la loi de probabilité des erreurs fortuites 2i5 

Recherche empirique de cette loi 218 

Signification du paramètre h 22^ 

Erreur probable 220 

Table de probabilités 226 

Démonstration de la méthode des moindres carrés 23o 

Objections qu'on fait communément à la méthode des moindres carrés. . 23o 

Conclusion 235 



LrvRE QUATRIÈME. — Géodésio 237 

Chapitre XIII. — Anciennes mesures de la Terre ajo 

Mesure d'Ératosthénes 240 

Prétendue mesure de Posidonius 2^2 

Évaluation de Ptolémée i\\ 



Vérification de l'évaluation de Ptolémée par les Arabes 244 

Mesures modernes 2\\ 

Femel, Snellius, Norwood 24$ 

Picard et les Cassini 2 46 

Expéditions en Laponie et au Pérou 2^7 

Chapitre XIV. — Opérations géodésiques pour la mesure d'un arc de 

méridien 2 49 

Choix des stations. — Forme des triangles sphériques 3S0 

Mesure des angles des triangles sSi 

Excès sphérique aS3 

Signaux et réduction au centre de la station 264 

Tour d'horizon a56 

Signaux lumineux ; phares ou héliotropes 207 

Mesure des bases 260 

Degré de précision de la mesure d'une base 263 

Réduction de la base au niveau de la mer 263 

Jonction de la base avec le réseau 263 

Chapitre XV. — Calcul des triangles géodésiques 26S 

Réseau géodésique français a6S 

Théorème de Legendre a66 

Compensation des angles d'un triangle 370 



TABL« DBS MATIÈRES. 373 

Ptges. 

Compensation d'un réseau de triangles 2^1 

Observations astronomiques pour déterminer la direction et l'amplitude 

de la méridienne 270 

Calcul de la méridienne par segments 276 

Chapitrx XVI. — Sur la courbure des sur/aces convexes 278 

Indicatrice ; rayons de courbure principaux 278 

Courbure moyenne 280 

Lignes de courbure 288 

Lignes géodcsiques 284 

Chapitre WII. — Formules et données numériques applicables à V ellip- 
soïde terrestre 287 

Hayons de courbure principaux 287 

Rectification d'un arc d'ellipse 289 

Éléments de l'ellipsoïde terrestre 290 

CnAPiTRE XVIII. — Arcs de méridiens mesurés en divers lieux 298 

Détermination des éléments de l'ellipsoïde terrestre 290 

Chapitre XIX. — Irrégularités de la sur/ace de niveau. Attractions lo- 
cales 3oo 

Attraction des montagnes 3oi 

Constitution intérieure de la croûte terrestre 3o3 

Chapitre XX. — Système métrique 309 

Chapitre XXI. — Coordonnées géographiques. Arcs de parallèle 3i4 

Réduction à l'ellipsoïde 317 

Arcs de parallèle 319 

Chapitre XXII. — Nivellement géodésique. Éléments locaux, etc 32 1 

Distances zénithales réciproques et simultanées 821 

Cas d'une seule distance zénithale 32a 

Théorie de la réfraction géodésique 322 

Variations diurnes du coefficient m 32^ 

Précision du nivellement géodésique comparée à celle du nivellement or- 
dinaire 324 

Altitude absolue d'une station; dépression de l'horizon de la mer 325 

Description astronomique d'un grand pays 826 

Calcul des éléments locaux de l'ellipsoïde terrestre : grande normale, 

distance au centre de la Terre, colatitude géodésique, etc 827 

Chapitre XXIII. — Intensité de la pesanteur en un lieu donné. 829 

Attraction de la Terre sur un point extérieur 38i 



374 TABLE DBS MATIÈRES. 

Livre cinquième. — Géographie 333 

Chapitre XXIV. — Cartes par projection 33} 

Projection orthographique 33^ 

Projection stéréographique 336 

Gbapitbb XXV. — Développements 3^2 

Développement polyconique 3^3 

Développement de Flamsteed, ou plutôt de Sanson 3\\ 

Carte de TÉtat-major (développement du colonel Bonne ) 3)5 

Ancienne Carte de France (Carte de Cassini ) 35o 

Chapitre XXVI. — Systèmes divers 352 

Cartes de Mercator ( pour la navigation ) 352 

Systèmes de Lambert, de Gauss, etc 358 

Projection homalographiquc de M. Babinet ou plutôt de MoUwcidc 359 

Projection de lorgna 3fio 

Projection globulaire 3'»o 

Résumé 36i 

Théorie générale 3^*1 

Coordonnées recliligncs de M. Tissot 365 



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FIN DE LA TABLE DES MATIERES. 



6289 PARIS. • IMPRIMCRIE DE GACTHIER-TILLAR*, QUAI BIS ACCCSTIXS , 65.